1) Este documento describe diferentes tipos de ecuaciones diferenciales, incluyendo ecuaciones diferenciales exactas, lineales y de Bernoulli. 2) Las ecuaciones diferenciales exactas tienen una forma específica y se pueden resolver usando un factor integrante. 3) Las ecuaciones diferenciales lineales contienen variables separadas o un factor integrante dependiendo de si la función es igual a cero.

1. Ecuaciones Diferenciales Exactas (E.D.E.)<br />Una ecuación exacta tiene la siguiente forma (nota- la persona necesita hacer los arreglos aritmética o algebraicos necesarios para apreciar, si la ecuación tiene esta forma-)<br />Mx,ydx+Nx,ydy=0<br />217551050800002175510508000375666050800Forma ordinaria00Forma ordinaria<br /> <br />De manera que, para comprobar si esta es una E. D. exacta; la derivada de M con respecto a dy debe de resultar lo mismo que al derivar la otra parte N con respecto a dx.<br />ddyM=ddx(N)<br />Ya que se probó que sus resultados son los mismos, se usa la siguiente formula:<br />fx,y=Mx,ydx+Nx,y-ddyM(x,y)dxdy<br />Por ejemplo:<br />2xydx+x2-1dy=0<br />16256020120600146812016374100<br />ddy2xy=2x ddxx2-1=2x ddyM=ddxN ☺<br />ddyM ddyN <br />fx,y=2xydx+(x2-1)-ddy2xydxdy<br /> =x2y+x2-1-ddy(x2y)dy<br />=x2y+x2-1-ddy(x2y)dy<br />=x2y+x2-1-x2dy<br />=x2y-dy<br />=x2y-y+c<br />En el caso anterior se mencionó que si la derivada de M con respecto a dy y N con respecto a dx resultaban en lo mismo, se tomara la formula, pero cuando NO sale exacta, seguimos el siguiente desarrollo.<br />1939397-114783No es exactaNo es exactaddy(M)≠ddx(N)<br />Se busca un factor, que le permita a la ecuacion ser exacta. En este caso lo llamaremos u(x,y)<br />Y se forma la siguiente expresión.<br />u=ep(x)dx ó u=ep(y)dy<br />Y p(x) ó p(y) se consiguen usando las siguientes formulas, que con alguna de ellas te salga un factor de la misma variable (esto es por ejemplo p(x)=Axn)<br />px=My-NxN ó px=Nx-MyM<br />Por ejemplo:<br />3x2ydx+ydy=0<br />ddy3x2y=3x2 ddxy=0 Diferentes <br />py=0-3x23x2y=-1y<br />1520736100965001430655144056u=e-dyy=e-lny=elny-1=y-1 *Este es el factor integrante*<br />(3x2ydx+ydy=0)1y 3x2dx+dy=0<br />ddy3x2=0 ddx1=0 Ya son exactas, y ahora se sigue la formula antes <br /> mencionada<br />fx,y=3x2dx+1-ddy3x2dxdy<br />=x3+1-ddyx3dy<br />=x3+(1-0)dy<br />=x3+dy<br />=x3+y+c<br />Ecuaciones Diferenciales Lineales (E.D.L)<br />axy'+bxy=c(x)<br />ax bx cx Son variables de la función x<br />La cual se puede expresar como:<br />1334090249966x'+pyx=qy ó y'+pxy=q(y)<br />3259455117412Forma ordinaria0Forma ordinaria13662876616500<br />1043305393700001237499401123Variables separadas0Variables separadasPero cuando q(x) es igual a 0, se resuelve por variables separadas. Y cuando es diferente de 0 se puede resolver por factor integrante o por variación de parámetros.<br />393933141829 =0<br />1237499118691Factor integrante óVariación de parámetros0Factor integrante óVariación de parámetros10439401181100393933125131Q(x)<br /> ≠0<br />Cuando q(x)≠0 el factor integrante es ux=ep(x) ó uy=ep(y); como se vio anteriormente.<br />Y la ecuación que se usa es:<br />y=1u(x)Qx·u(x)dx<br />Ejemplo:<br />y dx=(yey-2x)dy<br />dxdy=yey-2xy ux=e2dyy=e2 lny=y2 <br />dxdy=ey-2xy Qx=ey<br />dxdy+2xy=ey <br />x=1y2ey·y2dy<br />x=1y2y2ey-2yey+2ey+c<br />Ecuaciones Diferenciales de Bernoulli (E.D.B)<br />Las ecuaciones diferenciales de Bernoulli, son ecuaciones no lineales, las lineales se resuelven por factor integrante, es decir con n≠1 ó 0. Es decir:<br />dydx+Pxy=Q(x)yn<br />Sea:<br />u=y1-n<br />dydx+Pxyn-1=Q(x)yn<br />Se divide la ecuación entre yn<br />y-ndydx+Pxy=Q(x)<br />Usaremos la regla de la cadena para calcular y’ a partir de la sustitución u=y1-n<br />dudx=(1-n)yn-1dydx<br />Ahora, volviendo, sustituimos en la primera ecuación.<br />11-ndydx+pxu=Q(x)<br />Ahora ya es una ecuación diferencial lineal de primer orden y se puede resolver con los métodos anteriores.<br />