1. Agustín Hernández Partida
Registro 11310204
Salón B203
Profesor : Cesar Octavio MP

2. Índice
 Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes
constantes.
 Coeficientes Indeterminados.
 Coeficientes por operador anular.
 Variación de parametros.
 Ecuación de Cauchy Euler.
 Aplicación de ecuaciones diferenciales ordenadas
lineales de orden superior.

3. Ecuaciones lineales homogéneas
con coeficientes constantes
Sea la forma
Se tiene que calcular el 𝑦 = 𝑒 𝑥= 𝑛=0
∞ 𝑥𝑛
𝑛!
Enseguida se deriva y las veces del grado de la
ecuación, y se sustituye, en la ecuación.
Al haber hecho lo anterior llegamos a la ecuación
auxiliar, de la cual partimos a ter diferentes formas de
resolverlo (Raíces reales distintas, Raíces reales e iguales y
Raíces complejos conjugados)
( 1 )

4. Ejemplo
Sea la ecuación de segundo orden:
𝑎𝑦′′
+ 𝑏𝑦′
+ 𝑐𝑦 = 0
Por lo tanto 𝑦 = 𝑒𝑚𝑥
, entonces 𝑦′ = 𝑚𝑒𝑚𝑥
y 𝑦′′
= 𝑚2
𝑒𝑚𝑥
y se sustituye en la ecuación (2) por lo que queda de la
siguiente manera:
𝑎𝑚2
𝑒𝑚𝑥
+ 𝑏𝑚𝑒𝑚𝑥
+ 𝑐𝑒𝑚𝑥
= 0
Ahora lo dividimos todo entre 𝑒𝑚𝑥, por lo que queda.
𝑎𝑚2
+ 𝑏𝑚 + 𝑐 = 0
( 2 )
( 3 )

5. Raíces reales distintas
Si la ecuación (3) tiene dos raíces reales distintas,
𝑚1 𝑦 𝑚2 , llegamos a dos soluciones:
𝑦1 = 𝑒𝑚1𝑥
𝑦 𝑦2 = 𝑒𝑚2𝑥
O si son lineal mente independientes en (∞, −∞):
𝑦 = 𝐶1𝑒𝑚1𝑥 + 𝐶2𝑒𝑚2𝑥

6. Raíces reales e iguales
Cuando 𝑚1 𝑦 𝑚2 son iguales, llegamos a una sola
exponencial 𝑦 = 𝑒𝑚1𝑥
, por lo que la ecuación general
seria:
𝑦 = 𝐶1𝑒𝑚1𝑥
+ 𝐶2𝑒𝑚1𝑥

7. Raíces complejos conjugados
Cuando 𝑚1 𝑦 𝑚2 son complejas, podemos escribir 𝑚1 =
α + β𝑖 𝑦 = 𝑒𝑚1𝑥
, por lo que la ecuación general seria:
𝑦 = 𝐶1𝑒(α+β𝑖)𝑥
+ 𝐶2𝑒(α+β𝑖)𝑥
O
𝑦 = 𝑒α𝑥
(𝐶1 cos β𝑥 + 𝐶2𝑠𝑒𝑛 β𝑥)

8. Coeficientes Indeterminados
Sea la forma:
𝑎𝑛𝑦𝑛 + 𝑎𝑛 − 1𝑦 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1𝑦′ + 𝑎0𝑦 = 𝑔 𝑥
Enseguida se debe determinar una solución
complementaria (𝑦𝑐) y una solución particular (𝑦𝑝).
La solución complementaria es la solución general de
la ecuación homogénea y la solución particular es la
originada por los tipos de funciones del lado de la
función g(x).

9. Tabla

10. Para resolver este tipo de ecuaciones, las funciones
deben ser polinomial, exponenciales, trigonométrica y
combinaciones de las anteriores.
La solución particular se deriva las veces del orden de la
operación inicial, y se sustituye en la misma, una ves
hecho lo anterior se reduce , para obtener los valores de
𝑎, 𝑏, 𝑐, … , 𝑛.
Se obtiene la ecuación general, en la cual anteponemos
el resultado de la ecuación complementaria.

11. Coeficientes por operador anular
Es un polinomio en derivadas 𝑃1 𝐷 , que al aplicarlo a
una función lo hace cero.
𝑃1 𝐷
p
o
l
i
n
o
m
i
o
D
e
r
i
v
a
d
a

12. Caso 1, Ejemplos
Cuando la función f(X) es un polinomio, el operador
anular es
𝑃1 𝐷 = 𝐷𝑛+1
f(X)=5 polinomio de grado cero – D(9) = 0 primera
derivada.
f(X)=X+2 polinomio de grado uno y se deriva dos
veces ya que el grado va ser 2 (n+1).

13. Caso 2
Cuando la función f(X) contiene términos como los sig.:
𝑒α𝑥
, 𝑥𝑒α𝑥
, 𝑥2
𝑒α𝑥
, … , 𝑋𝑛−1
𝑒α𝑥
.
El operador anular en este caso es:
𝑃1 𝐷 = (𝐷 − α)𝑛+1
Es exponencial
Se multiplica la función por cada uno de los factores y se
obtiene cero.

14. Variación de parametros
Se tuene que obtener y=y(t) de la forma:
𝑎 𝑡 𝑦𝑛 + 𝑎 𝑡 𝑦𝑛−1 + ⋯ + 𝑎0 𝑡 𝑦′ + 𝑦 = 𝑓 𝑥
De acuerdo a este modelo y el uso del concepto Wroskiano
(W) definido como el determinado de la solución del sistema
homogéneo.
𝑊 𝑦1, 𝑦2 =
𝑦1 𝑦2
𝑦′1 𝑦′2
= 𝑦1 𝑦′
2 − 𝑦′
1(𝑦2)
LA solución general para este método seria:
𝑦 = 𝑦ℎ y 𝑦𝑝
Donde 𝑦ℎ es la solución homogénea y 𝑦𝑝 es la solución
particular

15. La solución general es igual a la suma de la solución
complementaria y la solución particular.
La solución particular corresponde a la ecuación f(x), por
lo tanto:
𝑦𝑝 = 𝑀1𝑌1 + 𝑌2𝑀2
Este tiene dos condiciones son (𝑊1 𝑦 𝑉1), y para esto
tenemos:
𝑀′1 =
0 𝑦2
𝑓(𝑥) 𝑦′2
/𝑊 y 𝑉′1 =
𝑦2 0
𝑦′1 𝑓(𝑥)
/W
Ahora se integran para poder sumar M1 yV1 y calcular la
solución particular y en seguida la solución general.

16. Ecuación de Cauchy Euler
La forma de solución sea y= 𝑥𝑚
, donde m esta por
determinar, la primera y segunda derivadas son
respectivamente.
𝑑𝑣
dx
= mxm−1 y
𝑑2𝑦
dx2 = m m − 1 xm−2
Según sea la forma se sustituye, se simplifica y m es la
solución de la ecuación auxiliar, por lo tanto se resuelve
en tres distintas formas, cuando son iguales, diferente o
complejos diferentes.

17. Aplicación de ecuaciones diferenciales
ordenadas lineales de orden superior.
Las ecuaciones diferenciales ordinarias simultaneas
consisten en dos o mas ecuaciones con derivadas de dos
o mas funciones de una sola variable independiente. Si x,
y y z son funciones de la variable t.
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2 = 6𝑥 + 𝑦y 𝑥′
− 3𝑥 + 𝑦′
+ 𝑧′
= 8
Son dos ejemplos de sistemas de ecuaciones
diferenciales simultaneas.

18. Solución de un sistema: Una solución de un sistema de
ecuaciones diferenciales es un conjunto de funciones
diferentes 𝑥 = ø1 𝑡 , 𝑦 = ø2 𝑡 , 𝑧 = ø3 𝑡 , 𝑒𝑡𝑐, que
satisfacen cada ecuación del sistema en un intervalo
común I.
Eliminación sistemática: El primer método para resolver
ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes
constantes de basa en el principio algebraico de la
ecuación sistemática de variables. El análogo de
multiplicar una ecuación algebraica por una constante es
operar una ecuación de un sistema en términos del
operador diferencial D.