Este documento presenta tres ejercicios relacionados con ecuaciones diferenciales para ser resueltos por estudiantes de ingeniería. El primer ejercicio pide determinar si ciertas funciones son soluciones de ecuaciones diferenciales dadas. El segundo ejercicio pide resolver ecuaciones diferenciales de primer orden usando diferentes métodos. El tercer ejercicio pide resolver ecuaciones diferenciales de orden mayor según el método correspondiente.

1. UNIVERSIDAD FERMIN TORO
VICERECTORADO ACADEMICO
DECANATO DE INGENIERIA
ASIGNACIÒN DE EJERCICIOS DE LA UNIDAD II: ECUACIONES DIFERENCIALES
1.) Determine si la función es solución de la ecuación diferencial.
a.) y = 3sen2 x + e − x ; y ,, + 4 y = 5e − x
1 1
b.) y = senx − cos x + 10e − x ; y , + y = senx
2 2
c) y = C1e − x + C2e x + C3e − 2 x + C4e 2 x ; y ( 4 ) − 5 y ,, + 4 y = 0
Sol:
Para los tres casos tenemos 3 funciones:
a.) y = 3sen2 x + e − x ;
1 1
b.) y = senx − cos x + 10e − x ;
2 2
c) y = C1e − x + C2e x + C3e −2 x + C4e 2 x ;
Para poder resolver los casos debemos derivar la función Y tantas veces sea indicado en el ejercicio y
luego sustituir esas derivadas en la ecuación diferencial, si la igualdad nos da la misma quiere decir
que la función si es solución de la ecuación diferencial, a continuación presentamos la solución de los
ejercicios:
a.) y = 3sen2 x + e − x ; y ,, + 4 y = 5e − x
y = 3 xsen2 x + e − x ⇒ = y ′ = 6 x cos 2 x − e − x
⇒ y ′′ = −12sen 2 x + e − x
Sustituimos y ′′ y y en la ecuación diferencial:
− 12 sen2 x + e − x + 4 ( 3 xsen2 x + e )=
−x
5e − x

2. − 12 sen 2 x + e − x + 12 xsen2 x + 4e − x = 5e − x
5e − x = 5e − x si es solución
1 1
b.) y = senx − cos x + 10e − x ; y , + y = senx
2 2
Solución:
1 1
y' = cos x + senx − 10e − x
2 2
Sustituimos y ′ y y en la ecuación diferencial:
1 1 1 1
cos x + senx − 10e − x + senx − cos x + 10e − x = senx
2 2 2 2
1 1
senx + senx = senx ;
2 2
senx = senx si es solución
c) y = C1e − x + C 2 e x + C 3 e −2 x + C 4 e 2 x ; y ( 4 ) − 5 y ,, + 4 y = 0
y ′ = −c1e − x + c 2 e x − 2c3 e −2 x + 2c 4 e 2 x
y ′′ = c1e − x + c 2 e x + 4c3 e −2 x + 4c 4 e 2 x
y ′′′ = −c1e − x + c 2 e x − 8c3 e −2 x + 8c 4 e 2 x
y ′′′′ = c1e − x + c 2 e x + 16c3 e −2 x + 16c 4 e 2 x
Sustituyendo y ′′′′ , y ′′ y y en la ecuación diferencial;
c1e − x + c 2 e x + 16c3 e −2 x + 16c 4 e 2 x − 5( c1e − x + c 2 e x + 4c3 e −2 x + 4c 4 e 2 x )+4
C1e − x + C 2 e x + C 3 e −2 x + C 4 e 2 x = 0
c1e − x + c 2 e x + 16c3 e −2 x + 16c 4 e 2 x -5
c1e − x − 5c 2 e x − 20c3 e −2 x − 20c 4 e 2 x + 4C1e − x + C 2 e x + C 3 e −2 x + C 4 e 2 x = 0
c1e − x − 5c1e − x + 4C1e − x + c 2 e x − 5c2 e x + C2 e x + C3e −2 x − 20c3e −2 x + C3e −2 x + 16c4 e 2 x − 20c4 e 2 x
+ C 4 e 2 x = 0 Si es solución

3. 2.) Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales de primer orden de acuerdo al método
correspondiente.
a.) e y sen 2 xdx + cos x e 2 y − y dy = 0 ( )
b.) ( xy + y + x )dx − x dy = 0
2 2 2
c) ( y cos x )dx + ( 4 +5 ysenx )dy = 0
2
2
d) y, − y = x 2 cos x
x
Sol:
a.) e y sen2 xdx + cos x( e 2 y − y ) dy = 0
El método que se aplicara para resolver la ecuación diferencial es el meto de ecuaciones separables de la
siguiente manera:
e y sen 2 xdx = − cos x( e 2 y − y ) dy
sen 2 x
dx =
( e 2 y − y ) dy
− cos x ey
Sabemos que:
sen2 x = 2 senx cos x
Entonces:
2 senx cos x
dx =
( e 2 y − y ) ⇒ 2senxdx = ( e y − ye − y )dy Integrando ambos lados de la igualdad tenemos:
− cos x ey
− 2 cos x = −e y − e y ( y + 1) + c
b.) ( xy + y 2
+ x 2 ) dx − x 2 dy = 0
Buscamos la forma que tiene para poder solucionar el problema:
Veamos es homogénea sin embargo no se puede resolver como tal; pero sin embargo se puede llevar a la
forma realizando un cambio de variable; de la forma siguiente:

4. ( xy + y 2
+ x 2 ) dx − x 2 dy == 0
( xy + y 2
+ x 2 ) dx = x 2 dy
dy xy + y 2 + x 2
=
dx x2
xy + y 2 + x 2 u 2 xy + u 2 y 2 + u 2 x 2
f ( x, y ) = ⇒ f ( ux, uy ) =
x2 u2x
u 2 ( xy + y 2 + x 2 )
⇒ f ( ux, uy ) =
u2 x2
xy + y 2 + x 2
⇒ f ( ux, uy ) =
x2
f ( ux, uy ) = f ( x, y )
Como f ( ux, uy ) = f ( x, y ) ⇒ la ecuación diferencial es homogénea, con lo cual
Podemos hacer el cambio de variable y = tx Así:
dy dt
y = tx ⇒ = .x + t
dx dx
Sustituyendo:
dt xtx + t 2 x 2 + x 2
x+t =
dx x2
dt x 2 ( t + t 2 + 1)
.x =
dx x2
dt
.x = t 2 + t + 1
dx
dx dt
= 2
x t + t +1
Integrando:

5. 2  2t + 1
tg −1 

x 3  3 +c
Ln =
Regresando el cambio de variable:
2 −1  2 y / x + x
tg 
x 3  3
Ln = +c
2 −1  2 y + x
tg 
x 3  3x
Ln = +c solución general
c) (y 2
cos x ) dx + ( 4 + 5 ysenx ) dy = 0
y 2 cos xdx + (4 + 5 ysenx)dy = 0
Como posee la forma de las ecuaciones diferenciales exactas comprobémosla:
∂M
M ( x, y ) = y 2 cos x ⇒ = 2 y cos x
∂y
∂N
N ( x, y ) = 4 + 5 ysenx ⇒ = 5 y cos x
∂x
∂M ∂N
Como ≠ ⇒ no es exacta, veamos si podemos encontrar un factor integrante usando:
∂y ∂x
 ∂N ∂M 
∫  ∂x − ∂y dy
 
µ ( y) = e  
 5 y cos x − 2 y cos x 
∫
 y 2 cos x
 dy

=e  
dy
=e 3 ∫ y = e 3 Lnly 3 = y 3
Entonces
FI ( y ) = y 3 Es el factor integrante, multipliquemos ± por FI (y) = y3
cos xdx + (4 y 3 + 5 y 4 senx)dy = 0
Veamos ahora si es exacta:

6. M′
M = y 5 cos x ⇒ = 5 y 4 cos x
y′
N′
N = 4 y 3 + 5 y 4 senx ⇒ = 5 y 4 cos x
X′
aM aN
Como = ⇒ es exacta!
ay ax
x y
∫a
M ( xb)dx + ∫ N = ( xy) = 0
b
x y
∫b cos xdx + ∫ (ay 4 + 5 y 4 senx) dy = 0
5
a b
x y
∫ + (y + y 5 senx) ∫ = 0
4
b5senx
a b
b5senx - b5sena + y4 + y5 senx – b4 b5senx = 0
y4 + y5 senx +c = 0 c = -b5sena – b4
2
d ) y, − y = x 2 cos x
x
2
y´ - y = x2 cosx
x
La ecuación tiene la estructura de una ecuación lineal de 1er orden con lo cual
Q(x) = x2 cosx
2 dx
P(x) = -
x
⇒ ∫ P ( x )dx = −2 ∫
x
= −2 ln x
Así la solución es de la forma
∫
− P ( x ) dx  Q( x)e ∫ P ( x ) dx dx + c 
Y=e ∫
 

Sustituyendo ∫ P( x)dx , tenemos
y=e
2 Ln x
[∫ x cos xe
2 − 2 Ln x
dx + c ]

7. 2 Ln x 2  x 2 cos xe −1n x −2 dx + c 
y=e ∫
 

y = x2 [∫ x 2
cos x.x −2 dx + c ]
y = x2 [∫ cos xdx + c]
y = x 2 [ senx + c ]
3.) Resolver las ecuaciones diferenciales de orden N según el método correspondiente:
a.) y ,, − 3 y , + 2 y = 3e − x − 10 cos 3 x
Y” – 3y3 + 2y = 3e-x – 10cos3x
Usaremos el método del anulador, entonces
R(x) = 3e-x -10cos3x
L(D) = D2 – 3D + 2 = (D - 1) (D - 2)
A (D) = (D + 1) (D2 + 9) anulador de R(x)
Entonces la ecuación I se puede escribir como
(D2 – 3 D + 2) y = 3 e-x – 10cos 3x
Multiplicando ambos lados de la igualdad por A(D)
(D-1)(D+2)(D+1)(D2+9) y = (D+1)(D2+9)(3e-x-10cos3x)
(D-1)(D-2)(D+1)(D2+9) = 0, polinômios característicos
D -1 = 0, D - 2 = 0, D + 1 = 0 y D2 + 9 = 0
D = 1, D = 2, D = -1 y D = ± 3
La solución tiene forma
Y = c, ex + c2 e2x + c3 e-x + c4 sen3x + c5cos3x
Sustituyendo en II
(D2-3D+2)(c, ex+c2 e2x + c3e-x + c4sen3x + c5cos3x) = 3e-x-10cos3x
Desarrollando tenemos que

8. 2c, ex + 2 c2 e2x + 2 c3 e-x + 2 c4 sem 3x + 2 c5 cos 3x
-3(c, e2 + 2 c2 e-2x – c3 e-x + 3 c4 cos 3x – 3 c5 sem 3x)
+ c, ex + 4 c2 e-2x + c, e-x – 9 c4 sen3x – 9 c5 cos 3x = 3 e-x – 10 cos 3x
3c1 e2 + 6 c2 e-2x + 3 c3 e-x – 7 c4 sem 3x – 7 c5 cos 3x – 3 c, ex
- 6 c2 e-2x + 3c3 e-x – 9 c4 cos3x + 9 c5 sem 3x = 3 e-x – 10 cos 3x
6 c3 e-x + (-7 c4 + 9 c5) sem 3x – (9 c4 + 7 c5) cos 3x = 3 e-x – 10 cos 3x
Igualando coeficientes
6 c3 = 3 ⇒ c3 = ½
-7 c4 9 c5 = 0 ⇒ c4 = 9/7 c5
9
9 c4 + 7 c5 = 10 ⇒ 9 c5 + 7 c5 = 10 ⇒ 130 c5 = 70
7
⇒ c5 = 7/13 ∧ c4 = 9/13
Por lo tanto la solución es
1 -x 7 9
y = c, ex + c2 e2x e + sen 3x + cos 3x
2 13 13
b.) y ( 6 ) − 5 y ( 4 ) + 16 y ,,, + 36 y ,, − 16 y , − 32 y = 0
y(6) – 5 y(4) + 15 y”´ 35 y” 16 y´ - 32 y = 0
es una ecuación homogénea, la cual le escribimos como
(D6 – 5D4 + 16D3 + 36D2 – 16D - 32). y = 0
Entonces
D6 – 5D4 + 16D3 + 36D2 – 16D - 32). Y = 0, polinomio característico
Usando Ruffini
32 = {± 1, ±2, ±4, ±8, ±16}
a51

9. 1 0 -5 16 36 -16 -32
1 1 1 -4 12 48 32
1 1 -4 12 48 32 0 0=1
-1
-1 0 4 -16 -32
1 0 -4 16 32 0 D = -1
-2
-2 4 0 -32
1 -2 0 16 0 D = -2
-2 -2 8 -16
1 -4 8 3 D = -1
− (−4) ± (−4) 2 − 4(1)(8) D = 2 + 26
D= =
2(1)
D = 2 - 26
La solución es
y = c, ex + c2 e-x + c3 e-2x + c4 x e-2x + c5 e2x sem x + c5 e2x cos 2x