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CENTRO DE GRAVEDAD, CENTRO DE MASA Y CENTROIDE.pdf
- 1. Estática 2015-1 Profesor HerbertYépez Castillo
- 2. Introducción 6.1 Centro degravedad y Centro de masa para un sistema de partículas. 6.2 Centro de gravedad, Centro de masa y Centroide para un cuerpo. 6.3 Cuerpos compuestos. 6.4 Posicionamiento del CM en cuerpos articulados en un punto. 13/04/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 2
- 3. 13/04/2015 Profesor HerbertYépez Castillo 3
- 4. 6.1 Centro degravedad y Centro de masa para un sistema de partículas. Centro de gravedad Es un punto donde se ubica el peso resultante 13/04/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 4 𝒙 = ∑ 𝒙𝑾 ∑ 𝑾 𝒛 = ∑ 𝒛𝑾 ∑ 𝑾 𝒚 = ∑ 𝒚𝑾 ∑ 𝑾 𝑥 𝑶 𝑦 𝑧 𝑾𝟏 𝑾𝒏 𝑾𝟐 𝑮 𝒙 𝒚 𝒛
- 5. 6.1 Centro degravedad y Centro de masa para un sistema de partículas. Centro de masa Si la aceleración debido a la gravedad es constante, entonces 𝑾 = 𝒎 ∙ 𝒈 13/04/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 5 𝒙 = ∑ 𝒙 𝒎 ∑ 𝒎 𝒛 = ∑ 𝒛 𝒎 ∑ 𝒎 𝒚 = ∑ 𝒚 𝒎 ∑ 𝒎
- 6. 13/04/2015 Profesor HerbertYépez Castillo 6
- 7. 6.2 Centro degravedad, Centro de masa y Centroide para un cuerpo. Centro de gravedad 13/04/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 7 𝒙 = ∑ 𝒙𝑾 ∑ 𝑾 𝒛 = ∑ 𝒛𝑾 ∑ 𝑾 𝒚 = ∑ 𝒚𝑾 ∑ 𝑾 𝒙 = 𝒙 𝒅𝑾 𝒅𝑾 𝒛 = 𝒛 𝒅𝑾 𝒅𝑾 𝒚 = 𝒚 𝒅𝑾 𝒅𝑾
- 8. 6.2 Centro degravedad, Centro de masa y Centroide para un cuerpo. Centro de masa El diferencial de 𝒅𝑾 debe ser expresado en términos de su volumen 𝒅𝑽 13/04/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 8 𝒙 = 𝒙 𝝆𝒈 𝒅𝑽 𝝆𝒈 𝒅𝑽 𝒛 = 𝒛 𝝆𝒈 𝒅𝑽 𝝆𝒈 𝒅𝑽 𝒚 = 𝒚 𝝆𝒈 𝒅𝑽 𝝆𝒈 𝒅𝑽 𝒅𝑾 = 𝜸 𝒅𝑽 𝜸 = 𝝆 𝒈 : densidad . gravedad 𝑘𝑔/𝑚3 ∙ 𝑚/𝑠2 𝜸: peso específico 𝑁/𝑚3
- 9. 6.2 Centro degravedad, Centro de masa y Centroide para un cuerpo. Centroide Es el centro geométrico de un cuerpo Si el material del cuerpo es uniforme u homogéneo, el peso específico o la densidad serán constante, entonces se puede utilizar las expresiones usadas para determinar el centro de masa. 13/04/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 9 𝒙 = 𝒙 𝝆𝒈 𝒅𝑽 𝝆𝒈 𝒅𝑽 𝜸, 𝝆 = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆
- 10. 6.2 Centro degravedad, Centro de masa y Centroide para un cuerpo. Centroide 13/04/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 10 𝒙 = 𝒙 𝒅𝑽 𝒅𝑽 𝑥 𝑦 𝑧 Volumen Área 𝑥 𝑦 𝒙 = 𝒙 𝒅𝑨 𝒅𝑨 Línea 𝒙 = 𝒙 𝒅𝑳 𝒅𝑳 𝑥 𝑦
- 11. 13/04/2015 Profesor HerbertYépez Castillo 11
- 12. 6.3 Cuerpos compuestos. Áreacompuesta (Centroide = Centro de masa) 13/04/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 12 𝑨𝒊 𝒙𝒊 𝒚𝒊 𝒙𝒊𝑨𝒊 𝒚𝒊𝑨𝒊 Semi círculo (+) (−) 0 + − = (−) 0 Rectángulo (+) (+) 0 + + = (+) 0 Círculo (−) (+) 0 − + = (−) 0 Total + --- --- ? 0 𝑦 𝑥 𝑥 𝑦 𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝒙 = ∑ 𝒙𝒊 𝑨𝒊 ∑ 𝑨𝒊 𝒚 = ∑ 𝒚𝒊 𝑨𝒊 ∑ 𝑨𝒊 = 𝟎
- 13. 6.3 Cuerpos compuestos. Volumencompuest0 (Centroide = Centro de masa) 13/04/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 13 𝑽𝒊 𝒙𝒊 𝒚𝒊 𝒛𝒊 𝒙𝒊𝑽𝒊 𝒚𝒊𝑽𝒊 𝒛𝒊𝑽𝒊 Semi esfera (+) (−) 0 0 + − = (−) 0 0 Cilindro (+) (+) 0 0 + + = (+) 0 0 Cono (−) (+) 0 0 − + = (−) 0 0 Total + --- --- --- ? 0 0 𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝒙 = ∑ 𝒙𝒊 𝑽𝒊 ∑ 𝑽𝒊 𝒚 = ∑ 𝒚𝒊 𝑽𝒊 ∑ 𝑽𝒊 = 𝟎 𝒛 = ∑ 𝒛𝒊 𝑽𝒊 ∑ 𝑽𝒊 = 𝟎
- 14. 6.3 Cuerpos compuestos. Líneacompuesta (Centroide = Centro de masa) 13/04/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 14 𝑳𝒊 𝒙𝒊 𝒚𝒊 𝒙𝒊𝑳𝒊 𝒚𝒊𝑳𝒊 Circunferencia completa (+) 𝟎 0 𝟎 0 Arco de circunferencia (−) (+) 0 + + = (−) 0 Total + --- --- (−) 0 𝒙 = ∑ 𝒙𝒊 𝑳𝒊 ∑ 𝑳𝒊 𝒚 = ∑ 𝒚𝒊 𝑳𝒊 ∑ 𝑳𝒊 = 𝟎 − 𝒙𝟐 𝒙𝟏
- 15. 6.3 Cuerpos compuestos. Cuerpocompuesto de diferentes densidades (Centro de masa) 13/04/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 15 𝒙 = ∑ 𝒙𝒊 𝑾𝒊 ∑ 𝑾𝒊 𝒚 = ∑ 𝒚𝒊 𝑾𝒊 ∑ 𝑾𝒊 = 𝟎 𝑽𝒊 𝜸𝒊 = 𝝆𝒊. 𝒈 𝑾𝒊 𝒙𝒊 𝒚𝒊 𝒛𝒊 𝒙𝒊𝑾𝒊 𝒚𝒊𝑾𝒊 𝒛𝒊𝑾𝒊 Mango de plástico 𝜸𝒑𝒍á𝒔𝒕𝒊𝒄𝒐 0 0 0 0 Aguja de acero 𝜸𝒂𝒄𝒆𝒓𝒐 0 0 0 0 Total --- --- --- 0 0 𝒛 = ∑ 𝒛𝒊 𝑾𝒊 ∑ 𝑾𝒊 = 𝟎 𝑥 𝑦 𝑥
- 16. 13/04/2015 Profesor HerbertYépez Castillo 16
- 17. 13/04/2015 Profesor HerbertYépez Castillo 17 α 𝑊 𝑅𝐴 = 𝑊 A 𝑊 𝑅𝐴 = 𝑊
- 18. 13/04/2015 Profesor HerbertYépez Castillo 18 A B C A B C B C A α α 𝑊 𝑅𝐴 = 𝑊
- 19. 13/04/2015 Profesor HerbertYépez Castillo 19
- 20. 13/04/2015 Profesor HerbertYépez Castillo 20 Componente Rectángulo =120x80 Semicírculo =120/2 Triángulo =-60/3 Círculo = - π40^2 Total 54.79 𝒙 𝒚 𝒙𝑨 𝒚𝑨 𝑨 𝒙 = 𝒙𝑨 𝑨 = 𝒚 = 𝒚𝑨 𝑨 =
- 21. 13/04/2015 Profesor HerbertYépez Castillo 21 Componente Rectángulo =20x60 Triángulo =20+30/3 Total 16.21 𝒙 𝒚 𝒙𝑨 𝒚𝑨 𝑨 𝒙 = 𝒙𝑨 𝑨 = 𝒚 = 𝒚𝑨 𝑨 =
- 22. 13/04/2015 Profesor HerbertYépez Castillo 22 Componente Rectángulo =60x120 Cuarto Circ =4x60/3π Cuarto Circ = 4x60/3π Total -10.00 𝒙 𝒚 𝒙𝑨 𝒚𝑨 𝑨 𝒙 = 𝒙𝑨 𝑨 𝒚 = 𝒚𝑨 𝑨 =
- 23. 13/04/2015 Profesor HerbertYépez Castillo 23 Componente Semielipse =0 Triángulo =-70/3 Total -9.90 𝒙 𝒚 𝒙𝑨 𝒚𝑨 𝑨 𝒙 = 𝒙𝑨 𝑨 𝒚 = 𝒚𝑨 𝑨 =
- 24. 13/04/2015 Profesor HerbertYépez Castillo 24 Componente Rectángulo =80/2 Semiparaból. Total 50.53 𝒙 𝒚 𝒙𝑨 𝒚𝑨 𝑨 𝒙 = 𝒙𝑨 𝑨 𝒚 = 𝒚𝑨 𝑨 =
- 25. 13/04/2015 Profesor HerbertYépez Castillo 25 Componente Cuarto Circ =π30^2 /4 Enjunta Parb Total 11.91 𝒙 𝒚 𝒙𝑨 𝒚𝑨 𝑨 𝒙 = 𝒙𝑨 𝑨 𝒚 = 𝒚𝑨 𝑨 =
- 26. 13/04/2015 Profesor HerbertYépez Castillo 26 Cara superior Lateral Derecha Cara Inferior Lateral Izquierda Componente 1/4 Circu 400 =π400^2 /4 230.235 1/4 Circu 200 =400 - 4x200/3π -9899703.95 Rectg 2x1 -7000000 -6000000 1/4 Circu 400 1/4 Circu 200 Rectg 2x1 Sup R 400 6940883.334 Sup R 200 6510441.667 Sup 100x76 1520000 Total 227723.87 Cara Sup Cara Inf L Izq Lat Der. 𝒙 𝒚 𝒙𝑨 𝒚𝑨 𝑨 𝒙 = 𝒙𝑨 𝑨 = 𝟏 𝟑. 𝟑 𝒚 = 𝒚𝑨 𝑨 = 𝟏 𝟎.𝟐𝟎 𝒛 = 𝒛𝑨 𝑨 =
- 27. 13/04/2015 Profesor HerbertYépez Castillo 27 𝑥 𝑦 2.0 m Segmento AB BD DE Total 0.2386 𝒙 𝒚 𝒙𝑳 𝒚𝑳 𝑳 𝒙 = 𝒙𝑳 𝑳 = 𝒚 = 𝒚𝑳 𝑳 = Si se cuelga el conjunto desde el punto C, determinar el ángulo que formaría el segmento CD con la horizontal
- 28. 13/04/2015 Profesor HerbertYépez Castillo 28 Segmento AB BC CD Total 𝒙 𝒚 𝒙𝑳 𝒚𝑳 𝑳 𝒙 = 𝒙𝑳 𝑳 = 𝒚 = 𝒚𝑳 𝑳 = Determinar el ángulo tal que el conjunto permanezca en la posición mostrada.
- 29. 13/04/2015 Profesor HerbertYépez Castillo 29 Componente Semi esfera 452160 Cilindro Cono Total 1205760 0 15 𝒙 𝒚 𝒙𝑽 𝒛V 𝑽 𝒙 = 𝒙𝑽 𝑽 = 𝒚 = 𝒚𝑽 𝑽 = 𝒛 = 𝒛𝑽 𝑽 = 𝒚𝑽 𝒛
- 30. 13/04/2015 Profesor HerbertYépez Castillo 30 Componente PL Rect. 4.5 PL Cuarto Circ 1.57 Agujero 1 Agujero 2 Total 5.285 1.62 𝒚 𝒛V 𝒙 𝒚 𝒙𝑽 𝒛V 𝑽 𝒙 = 𝒙𝑽 𝑽 = 𝒚 = 𝒚𝑽 𝑽 = 𝒛 = 𝒛𝑽 𝑽 = 𝒚𝑽 𝒛
- 31. 13/04/2015 Profesor HerbertYépez Castillo 31 Componente Ducto Cilind 200.96 Ducto S-Cilind 50.24 Ducto Rectang Semi círculo 1 Semi círculo 2 -25.12 Total 539.20 2.809 𝒙 𝒚 𝒙𝑨 𝒛𝑨 𝑨 𝒙 = 𝒙𝑨 𝑨 = 𝒚 = 𝒚𝑨 𝑨 = 𝒛 = 𝒛𝑨 𝑨 = 𝒚𝑨 𝒛
- 32. 13/04/2015 Profesor HerbertYépez Castillo 32 Componente Semi esf. Plast. 1.010E-05 Cilindro Plast. Cilindro Plast. Cilindro Acero Cono Acero Total 48.6 𝒙 = 𝒙𝑾 𝑾 = 𝑾 𝒛𝑾 𝝆. 𝒈 𝒙𝑾 𝑽 𝒚 = 𝒚𝑾 𝑾 = 𝒛 = 𝒛𝑾 𝑾 = 𝒚𝑾 𝒙 𝒚 𝒛