2. Unidad 10. Propiedades de las áreas
• Centro de gravedad, centroide de área
• Primer momento estático de área
• Segundo momento estático de área (momento
de inercia) y teorema de ejes paralelos
• Momento polar de inercia
4. Centros de gravedad o masa
El peso se idealiza como una carga puntual en el Centro
de Gravedad (CG)
Cuando en realidad la atracción gravitacional se da en
todas las partículas.
Si trabajamos en un plano:
Cuando se trabaja en un plano, se le puede llamar al centro de
gravedad como Centroide, ya que coinciden.
7. Centroides de figuras compuestas
ҧ
𝑥 =
𝑥𝑑𝐴
𝑑𝐴
=
σ 𝐴𝑖𝑥𝑖
σ 𝐴𝑖
ത
𝑦 =
𝑦𝑑𝐴
𝑑𝐴
=
σ 𝐴𝑖𝑦𝑖
σ 𝐴𝑖
Se descompone la figura en tantas áreas conocidas, como sea necesario.
Pueden ser áreas positivas o negativas.
Las áreas negativas nos permiten simplificar muchas áreas más complicadas.
negativa
8. Ejemplo
Determine el centroide de la figura que se muestra.
SOLUCION
1. Indico los ejes de referencia a utilizar para realizar los cálculos
2. Separo la figura mostrada en áreas conocidas
3. Completo la siguiente tabla
11. • Es una magnitud geométrica que se define para un área plana
• Se utiliza para calcular los esfuerzos cortantes
• Se expresa en unidades lineales al cubo (ul³)
𝑄𝑥𝑖 = 𝐴𝑖 𝑦𝑖 𝑄𝑦𝑗 = 𝐴𝑗 𝑥𝑗
Ai, Aj: Área por arriba o por abajo del punto en estudio (eje neutro)
yi, xj: distancia entre centroides, en valor absoluto
Si el área a analizar está compuesta de varias áreas
𝑄𝑥𝑖 = ∑𝐴𝑖 𝑦𝑖 𝑄𝑦𝑗 = ∑𝐴𝑗 𝑥𝑗
Primer Momento Estático de Área (Q)
13. Paso 1: Encontrar el centroide de TODA la figura, como en este caso nos
piden Q con respecto a x, solo se necesita el centroide en el eje y
Componente Área ഥ
𝒚 ഥ
𝒚𝑨
Rectángulo 1
180 ∙ 60
= 10800
60
2
+ 180 + 60 = 270
10800 ∙ 270
= 2916000
Rectángulo 2
60 ∙ 180
= 10800
180
2
+ 60 = 150
10800 ∙ 150
= 1620000
Rectángulo 3
180 ∙ 60
= 10800
60
2
= 30
10800 ∙ 30
= 324000
Sumatoria 32400 4860000
ത
𝑦 =
σ ത
𝑦𝐴
σ 𝐴
ത
𝑦 =
4860000
32400
ത
𝑦 = 150 𝑚𝑚
14. Paso 2: Para encontrar QxA, puedo trabajar el área por abajo o
por encima de A (punto de estudio)
15. Paso 3: Como el área por encima de A es compuesta, la divido en dos
áreas sencillas (1 y 2). A cada área se debe determinar su centroide en el
eje y y determinar la distancia entre centroides (centroide de la figura total
(eje neutro) y el centroide de las áreas 1 y 2, para este ejemplo
Componente ഥ
𝒚
Área 1
60
2
+ 90 = 120
Área 2
90
2
= 45
16. 𝑄𝑥𝑖 = ∑𝐴𝑖 𝑦𝑖
Donde:
𝑄𝑥𝐴 = 𝐴1𝑦1 + 𝐴2𝑦2
Paso 4: Como el área es compuesta aplico la fórmula
17. Paso 5:
A1 = 180 x 60 = 10.800 y1 = 120
A2 = 60 x 90 = 5.400 y2 = 45
QxA = 10.800 (120) + 5.400 (45)
QxA = 1.539.000 mm³
QxA = 1.54 x 10⁶ mm³
Calcular 𝑸𝒙𝑩 𝐲 𝑸𝒙𝑪, con base en la explicación anterior
22. Se utiliza para determinar momentos de inercia de figuras compuestas
𝐼𝑥𝑥 = 𝐼yy = (𝐼 + 𝐴𝑑2)
𝐼𝑥𝑥 = 𝐼 ҧ
𝑥 + A(ത
𝑦 − 𝑦𝐴)2
𝐼𝑦𝑦 = 𝐼 ത
𝑦 + A( ҧ
𝑥 − 𝑥𝐴)2
Donde:
𝐼 ҧ
𝑥, 𝐼 ത
𝑦: inercia centroidal del área estudiada (momento de inercia de la figura
sencilla)
A: Área de la región estudiada
d: Distancia del centroide de la figura total al centroide del área estudiada
26. Paso 3: Vamos a iniciar calculando Ixx por lo que se debe determinar
las distancias entre centroides
x x
𝑦1 = ത
𝑦 − 𝑦1
𝑦1 = 150 − 30
𝒚𝟏 = 𝟏𝟐𝟎𝒎𝒎
𝑦2 = ത
𝑦 − 𝑦2
𝑦2 = 150 − 150
𝒚𝟐 = 𝟎𝒎𝒎
𝑦3 = ത
𝑦 − 𝑦3
𝑦3 = 150 − 270
𝒚𝟑 = 𝟏𝟐𝟎𝒎𝒎
27. Paso 4: Aplicar fórmulas, en este caso, se va a calcular el Ixx para cada figura
simple, y luego se hará la sumatoria de valores para determinar el Ixx de la figura
total
I para las 3 áreas es 𝑰ഥ
𝒙 =
𝒃𝒉𝟑
𝟏𝟐
𝐼𝑥𝑥 = 𝐼 ҧ
𝑥 + A(ത
𝑦 − 𝑦𝐴)2
𝐼𝑥𝑥1 e 𝐼𝑥𝑥3 son iguales
𝐼𝑥𝑥1 𝑦 3 =
180(60)3
12
+ 180(60)(120)2
𝑰𝒙𝒙𝟏 𝒚 𝟑 = 𝟏, 𝟓𝟗𝒙𝟏𝟎𝟖𝒎𝒎𝟒
𝑰𝒙𝒙𝟐 = 𝟐, 𝟗𝟐𝒙𝟏𝟎𝟕𝒎𝒎𝟒
𝐼𝑥𝑥2 =
60(180)3
12
+ 180(60)(0)2
Los centroides
coinciden
𝐼𝑥𝑥 = 𝐼𝑥𝑥1 + 𝐼𝑥𝑥2 + 𝐼𝑥𝑥3 𝐼𝑥𝑥 = 1,59𝑥108
+ 2,92𝑥107
+ 1,59𝑥108
𝑰𝒙𝒙 = 𝟑, 𝟒𝟕𝒙𝟏𝟎𝟖
𝒎𝒎𝟒
28. Paso 5: Vamos a seguir calculando Iyy por lo que se debe determinar las
distancias entre centroides
En este caso todos los centroides coinciden,
por lo que la distancia d entre centroides es
cero!!
𝑥1 = ҧ
𝑥 − 𝑥1
𝑥1 = 90 − 90
𝒙𝟏 = 𝟎𝒎𝒎
𝑥2 = ҧ
𝑥 − 𝑥2
𝑥2 = 90 − 90
𝒙𝟐 = 𝟎𝒎𝒎
𝑥3 = ҧ
𝑥 − 𝑥3
𝑥3 = 90 − 90
𝒙𝟑 = 𝟎𝒎𝒎
29. Paso 5: Aplicar fórmulas, en este caso, se va a calcular el Iyy para cada figura
simple, y luego se hará la sumatoria de valores para determinar el Iyy de la figura
total
I para las 3 áreas es 𝑰ഥ
𝒚 =
𝒉𝒃𝟑
𝟏𝟐
𝐼𝑦𝑦 = 𝐼 ത
𝑦 + A( ҧ
𝑥 − 𝑥𝐴)2
𝐼𝑦𝑦1 e 𝐼𝑦𝑦3 son iguales 𝐼𝑦𝑦1 𝑦 3 =
60(180)3
12
+ 180(60)(0)2
𝑰𝒚𝒚𝟏 𝒚 𝟑 = 𝟐𝟗, 𝟏𝟔𝒙𝟏𝟎𝟔
𝒎𝒎𝟒
𝑰𝒚𝒚𝟐 = 𝟑, 𝟐𝟒𝒙𝟏𝟎𝟔
𝒎𝒎𝟒
𝐼𝑦𝑦2 =
180(60)3
12
+ 180(60)(0)2
𝐼𝑦𝑦 = 𝐼𝑦𝑦1 + 𝐼𝑦𝑦2 + 𝐼𝑦𝑦3
𝐼𝑦𝑦 = 29,16𝑥106
+ 3,24𝑥106
+ 29,16𝑥106
𝑰𝒚𝒚 = 𝟔, 𝟏𝟔𝒙𝟏𝟎𝟕
𝒎𝒎𝟒
35. J= Ixx + Iyy
Para el ejercicio anterior
J = 87,28+ 203,70
J = 290,98 m4
• Es una magnitud geométrica que se define para un área
plana
• Se utiliza para calcular el esfuerzo cortante por torsión
• Se expresa en unidades a la cuatro (ul⁴)
36. Práctica para
resolver en clase
Resolver los siguientes ejercicios. El docente podrá ir
consultando por los resultados obtenidos.
¡Aproveche para hacer todas las consultas al docente y
así evacuar las dudas!
