Este documento presenta la teoría elemental de los números. Define números primos y presenta lemas sobre cómo los números primos dividen otros enteros. Luego demuestra que cada entero mayor que 1 tiene una factorización única en productos de primos.

1. Teor´ Elemental de los N´meros
ıa u N´meros Primos
u
Definici´n. Un entero p es primo si y s´lo si sus unicos divisores posibles son el 1 y p mismo.
o o ´
Lema 1. Sea p un primo y sean a y b cualquier entero. Entonces,
(a) p divide a a ´ a y p son coprimos.
o
(b) Si p divide ab, entonces p divide a o p divide b.
Demostraci´n.o
(a) Por la definici´n, mcd(a, p) es un divisor positivo de p, por lo tanto debe de ser ´ 1, ´ p, ya que p es un n´mero
o o o u
primo. Si mcd(a, p) = p entonces mcd(a, p) = p divide a a de aqu´ que p|a; y si i mcd(a, p) = 1 esto implicar´ que a
ı ıa
y p son coprimos.
(b) Sea p|ab. Si p no divide a entonces (a) implica que mcd(a, p) = 1. Ahora la identidad de Bezout, nos da
1 = au + pv para algunos enteros u y v, entonces b = aub + pvb. Entonces por nuestra hip´tesis p divide ab y de
o
aqu´ divide aub; y claramente divide pvb, entonces tambi´n divide b.
ı e
Corolario 1.
Si p es primo y p divide a1 ...ak , entonces p divide ai para alguna i.
Demostraci´n. o
Usamos inducci´n en k. Si k = 1 entonces la hip´tesis p|a1 , entonces la conclusi´n es autom´ticamente verdadera
o o o a
(con i = 1). Ahora asumimos que k > 1 y que el resultado est´ probado para todos los productos ai factores de k − 1.
a
Si ponemos a = a1 ...ak−1 y b = ak , entonces a1 ...ak = ab y tambi´n p|ab. Por el lema 2.1(b), esto implica que p|a o
e
p|b. En el primer caso tenemos p|a1 ...ak − 1, la hip´tesis de inducci´n implica que p|ai para alguna i = 1...k − 1; en
o o
el segundo caso tenemos que p|ak . Entonces en cada caso p|ai , para alguna i, como se requer´ ıa.
Ejercicio 1. Demostrar que si p es primo y p|ak , entonces p|a, y por lo tanto pk |ak ; ¿es esto v´lido si p es compuesto?.
a
Soluci´n 1. Del corolario anterior p|a, sea a = pq; entonces ak = pk q k es divisible por pk .
o
Teorema 1.
Cada entero n > 1 tiene una factorizaci´n de productos primos
o
n = p1 e1 ...pek ,
k
donde p1 , ..., pk son distintos primos y ea , ...ek son enteros positivos, esta factorizaci´n es unica, sin contar las
o ´
permutaciones de los factores.
Demostraci´n. o
Primero usaremos el principio de inducci´n fuerte para probar la existencia de la factorizaci´n de productos
o o
primos. Como estamos asumiendo que n > 1, la inducci´n empieza con n = 2. Como siempre, este caso es sencillo:
o
la factorizaci´n requerida es simple n = 21 . Ahora asumimos que n > 2 y que estrictamente cada entero entre 1 y
o
n tiene una factorizaci´n de productos primos. Si n es primo entonces m = n1 es la factorizaci´n requerida de n,
o o
entonces podemos asumir que n es un compuesto, digamos n = ab donde 1 < a, b < n. Por la hip´tesis de inducci´n
o o
ambos a y b tienen una factorizaci´n de productos primos, ahora sustituyendolos en la ecuaci´n n = ab y luego
o o
juntando los productos de cada primo pi obtenemos una factorizaci´n de productos primos de n.
o
Ahora probaremos la unicidad. Supongamos que n tiene una factorizaci´n de productos primos
o
f
n = p1 e1 ...pek = q1 f1 ...qt l ,
k
donde p1 , ..., pk y q1 , ..., qt don dos conjuntos de distintos primos, y los exponentes ei y fj son todos positivos. La
primer factorizaci´n muestra que p1 |n, entonces el corolario 2.2 (aplicado a la segunda factorizaci´n) implica que p1 |qj
o o
para alguna j = 1, ...l. Por la permutaci´n (o renumeramiento) de los productos primos en la segunda factorizaci´n.
o o
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