El documento describe los conceptos fundamentales de la difusión en metales y aleaciones desde una perspectiva matemática y física. Explica la ecuación de Arrhenius y cómo se puede usar para calcular la tasa de difusión a diferentes temperaturas. También describe las leyes de Fick de la difusión, incluida la primera ley que relaciona el flujo con el gradiente de concentración, y la segunda ley que vincula el cambio en la concentración con el tiempo. Finalmente, presenta ejemplos del efecto Kirkendall durante la difusión en

1. CURSO: METALURGIA FÍSICA I
MODULO I
DIFUSIÓN Y SOLIDIFICACIÓN DE METALES Y
ALEACIONES
CLASE 03 – Jueves 04 de Noviembre

2. ANALISIS MATEMATICO DE LA DIFUSIÓN
Mucho de los procesos metalúrgicos y químicos, incluyendo la difusión, se pueden analizar
cuantitativamente describiendo la proporción a la que se desenvuelve un proceso. Con mucha
frecuencia la ecuación de Arrhenius describe en término matemático la relación entre el tiempo de
desarrollo de un proceso y la temperatura. Esta expresión toma la forma siguiente:
Proporción de desarrollo =C e− 𝑄/𝑅𝑇
Donde: C = Constante (independiente de la temperatura), Q = Energía de activación del proceso
R Constante del gas (2 cal/mol °K) T = Temperatura absoluta
Por ejemplo si se aplica está ecuación a la ocupación de un átomo de una vacancia vecina, se
puede estimar la cantidad de saltos por segundos con la ecuación siguiente:
Γv = Ae−𝑄𝑚/𝑅𝑇
Donde: Γv: Es la proporción de saltos, el N° de veces por segundo que intercambia posiciones un
átomo y una vacancia, y Qm: Es la energía de activación o barrera de energía del proceso.
R: Constante universal de los gases
T: Temperatura absoluta

3. Ejemplo: Compare la proporción de saltos (Γv) de cobre a las temperaturas de (a) 27 °C y (b) 1080°C
Sí Ccu es aprox. 1015 y Qm es 29000 cal/mol.
Solución:
(a) Para 27 °C = 27 + 273 = 300 °K (b) para 1080 °C + 273 = 1353 °K
Entonces Γv = (1015)e− 29000/(2)(300)
Γv = 1015 e− 29000/(2)(1353)
= 1.1 x 10-6 saltos/s = 2.2 x 1010 saltos/s
Un análisis de los resultados muestra que a 1080 °C (cercano al punto de fusión: 1085 °C), un mol de cobre presenta
una proporción de saltos de vacancias de aproximadamente de 22 mil millones de saltos por segundo; pero a
temperatura ambiente transcurre un intervalo de tiempo de unos 10.5 días cada salto. Esto enfatiza de forma
concreta la importancia de la relación entre la temperatura y la difusión de los átomos por medio del mecanismo
de vacancias, en las aleaciones sólidas.
MOVIMIENTO MACROSCOPICO DE LOS ÁTOMOS: LEYES DE DIFUSIÓN DE FICK
L a distancia macroscópica (a lo largo de la cual la materia se desplaza) se puede medir experimentalmente y se
expresa matemáticamente por medio de las leyes de Fick.
Primera ley de Fick o Difusión en estado estable o estacionario
En la difusión, el estímulo es un gradiente de concentración (∂c/∂x) y la respuesta es un flujo (J) especifico de
materia por unidad de área y por unidad de tiempo. En este contexto, una concentración gradiente significa sólo
que la concentración del soluto cambia con la distancia y no con el tiempo. Cuando la concentración en
cualquier punto a lo largo de la distancia (X) no cambia con el tiempo se dice que el proceso esta en estado
estacionario.

4. Considere los planos atómicos adyacentes (1 y 2) separados por una distancia interatómica (a) en un
volumen elemental con un área unitaria en su sección transversal como se ilustra en la figura
La concentración de los átomos disueltos es mayor en el plano 1 (C1)
Que en el plano 2 (C2). Las proporciones respectivas de los saltos se
Pueden establecer así:
J1→2 =
𝑛𝑎𝐶1
2
J2→1 =
𝑛𝑎𝐶2
2
J1→2: Indica la cantidad de átomos disueltos que saltan del plano 1
Al plano 2 y J2→1: indica la proporción de saltos de los solutos del
Plano 2 al plano 1, n: Es el número de saltos de los átomos disueltos
Por segundo en cualquier dirección, fuera de cualquiera de los planos.
El flujo neto o movimiento de los átomos disueltos (J). De establece así:
J = J1→2 – J2→1 =
𝑛𝑎𝐶1
2
-
𝑛𝑎𝐶2
2
=
𝑛𝑎
2
(C1 – C2) -------- (*)
Sí se expresa el gradiente de concentración (∂c/∂x) como C1 –C2/a. Entonces: C1 – C2 = a (
𝜕𝐶
𝜕𝑥
)
Sustituyendo este valor en la Ecuación (*). Obtenemos J =
𝑛𝑎2
2
𝜕𝐶
𝜕𝑥
Generalmente se escribe esta
ecuación así: J = - D
𝜕𝐶
𝜕𝑥
(Esta expresión es la primera ley de FICK). Que expresa el flujo de
átomos neto, depende de la naturaleza del soluto y del solvente, de la estructura cristalina y de la
temperatura. Y el signo (-) es porque la concentración va de una concentración mayor a una menor
En la que: D = na2/2 , es el coeficiente de difusión.
J = átomos/ cm2s, D = cm2/s,
𝜕𝐶
𝜕𝑥
= átomos/cm3 cm (es cte porque no cambia con el tiempo
Esto indica: Que el flujo (J) es el movimiento de una masa a través de un área unitaria en una unidad
de tiempo, baja la influencia de un gradiente de concentración uniforme.

5. PROBLEMAS Y CASOS
DE ESTUDIO

9. PROBLEMAS
PROPUESTOS

10. Segunda ley de Fick o difusión de estado transitorio o no uniforme o no estacionario
Es el estado más común en la practica. En está difusión el perfil de concentración de los átomos que se
difunden (soluto) cambia con el tiempo. Es decir la concentración es función tanto del tiempo como de
la posición C(x,t).(ver Figura)
En el caso de la difusión de estado no uniforme podemos
ampliar la ley de Fick suponiendo que los planos paralelos
están separados a una distancia dx. Entonces el flujo de
los átomos disuelto hacia el volumen elemental ( que
describe el área unitaria) a través del plano 1 es:
J1 = -D(
𝜕𝑐
𝜕𝑥
)1 y a través del plano 2 es: J2 = - D(
𝜕𝑐
𝜕𝑥
)2
Por lo tanto el flujo neto a través del volumen elemental es:
J = J1 – J2 = - D(
𝜕𝑐
𝜕𝑥
)1 – [ -D(
𝜕𝑐
𝜕𝑥
)2] = -D [ (
𝜕𝑐
𝜕𝑥
)2 – (
𝜕𝑐
𝜕𝑥
)1]---**
Donde: (
𝜕𝑐
𝜕𝑥
)1 es el gradiente de concentración en el plano 1
(
𝜕𝑐
𝜕𝑥
)2 es el gradiente de concentración en el plano 2, pero
Este gradiente también se puede expresar así:
(
𝜕𝑐
𝜕𝑥
)2 = (
𝜕𝑐
𝜕𝑥
)1 + ∂x (
𝜕2
𝑐
𝜕𝑥2)
En la que (
𝜕2
𝑐
𝜕𝑥2) es la proporción de cambio en el gradiente de concentración con la distancia (x)
Ahora podemos escribir la ecuación(**) como sigue:
J = D[ (
𝜕𝑐
𝜕𝑥1) + ∂x(
𝜕2
𝑐
𝜕𝑥2) – (
𝜕𝑐
𝜕𝑥1) que se traduce a J = - D
𝜕2
𝑐
𝜕𝑥2 ∂x

11. O bien:
𝐽
𝜕𝑥
= D
𝜕2
𝑐
𝜕𝑥2 ------(***) pero
𝐽
𝜕𝑥
=
á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠
𝑐𝑚3
𝑠
=
𝜕𝑐
𝜕𝑡
Donde:
𝜕𝑐
𝜕𝑡
es el cambio en la concentración en el volumen con respecto al tiempo
Sustituyendo este resultado en la ecuación (***) se tiene:
𝜕𝑐
𝜕𝑡
= D
𝜕2
𝑐
𝜕𝑥2 (representa la segunda ley de Fick de la difusión)
Que significa que la razón de tiempo de cambio en la concentración
es proporcional a la razón del cambio del gradiente de concentración.
La figura superior muestra el perfil de concentración en la dirección X
En cualquier punto de está curva, la derivada parcial (∂c/∂X) es
Proporcional al flujo específico en ese punto. En este caso el flujo que
Cruza el plano (X1) es J(x1), es mayor que el flujo que pasa por el plano
(X1 + dx) es J(x+dx). La diferencia de los flujos específicos (átomos o
Masas) que cruzan los dos planos se deben acumular en el volumen
Representado por dx (esto es el espesor, dx, multiplicado por una unidad
de área.
Está ecuación (segunda ley de Fick) se aplica para muchos procesos
Metalúrgicos como Carburización, nitruración, segregación, solidificación
, fusión, homogeneización, descarburización, etc.

12. EFECTO KIRKENDALL: (para difusión sustitucional): se realizó en un
par difusor Cobre- Zinc. La figura (a)
muestra un par difusor Kirkendall. Se tiene un bloque cúbico que
esta constituido al soldar, bloque de metal puro A (Cu) y bloque
de metal puro B (Zn) donde se ha incorporado ciertos alambres
finos de tantalio (metal refractario). Se calienta el bloque a una
temperatura T (Cercana a la temp del metal de temp de fusión
más baja: Zn) se mantiene a esta temp T, tiempos largos (días),
para obtener una
cantidad de difusión medible experimentalmente, después se
enfría a temp ambiente en el horno. En un torno se quita capas
delgadas paralelas a la intercara de la soldadura. Se analiza
cada capa y se
grafica el resultado en una curva de composición de la barra en
función de la distancia a lo largo de la misma (figura b).
La que muestra que ha habido un flujo de átomos A (Cu) desde
el lado derecho de la barra hacia el izquierdo y un flujo de
átomos B (Zn) desde el lado izquierdo de la barra hacia el
izquierdo. Obteniéndose así las curvas de composición o curvas
de penetración.

13. Par difusor cobre-Níquel: El cobre se difunde con mayor rapidez
en el níquel, aquí hay un mayor flujo
de átomos de cobre hacia el lado del níquel, que de átomos de
níquel hacia el lado del cobre. Por lo tanto el lado del cobre
sufre una pérdida de masa (porque que pierde más átomos de
los que gana) esta en estado tensional y se produce poros,
mientras el lado del níquel gana masa y se encuentra en esta de
compresión.
Curva de penetración o curva de concentración: La figura
muestra la naturaleza del movimiento. La Fig (a) representa
el par difusor antes de calentarse antes de realizar recocido).
La fig (b) muestra la barra después que ha ocurrido la
difusión. Se bserva que los alambres se han movido hacia la
derecha a través de una distancia X. Está distancia es
pequeña pero medible y varia según la raíz cuadrada del
tiempo: X = C 𝑡. Aquí los Átomos B (Zn) se difunden con
mayor rapidez que los átomos A (Cu).
La rapidez a la que se difunden las formas atómicas de un
par difusor no es la misma. El elemento con menor punto de
fusión se difunde con mayor rapidez. Ejemplo: En el latón
(aleación Cu-Zn), los átomos de Zn Se mueven con mayor
rapidez en el Cu.