Este documento introduce los vectores en R2 y R3, definiendo sus propiedades como suma, producto por escalar y producto punto. Explica cómo representar vectores gráficamente en estos espacios y calcula el ángulo entre dos vectores usando el producto punto y las normas de los vectores. Finalmente, describe la proyección de un vector sobre otro.

2. VECTORES EN R2
Y R3
Braian Moreno Cifuentes
Departamento de Matem´aticas, f´ısica y Estad´ıstica
Universidad de La Sabana

3. En esta presentaci´on, se introduce al estudiante la definici´on de vectores en R2
y R3 dando sus propiedades, representaci´on gr´afica y algunos usos. Tambi´en
se hablar´a del producto punto y el ´angulo formado entre vectores.

4. VECTORES
¿QU ´E ES UN VECTOR?
DEFINICI ´ON
Un vector de n componentes se define como un conjunto ordenado de n
n´umeros escritos de la siguiente forma:
v = (x1, x2, x3, · · · , xn) Notaci´on por filas.
v =







x1
x2
x3
...
xn







Notaci´on por columnas.
La notaci´on de los vectores se hace por medio de letras min´usculas (por
ejemplo u, v, a, b, w) y la cantidad de n´umeros indica en qu´e espacio est´a el
vector.

5. VECTORES
¿QU ´E ES UN VECTOR?
Si v = (x1, x2, x3, · · · , xn), entoces se dice que v es un vector de n
componentes (ubicado en Rn); adem´as x1 es la primera componente de v, x2
es la segunda componente de v, y as´ı sucesivamente. En general, kk es la
k-´esima componente de v para todo k; 1 ≤ k ≤ n.
EJEMPLO
El vector u = (4, 9, −6, 12) es un vector de 4 componentes y el valor −6 es la
tercera componente de u.
EJEMPLO
El vector h = (−3, −16, 8, 4, −7, −8) es un vector de 6 componentes y el
valor −7 es la quinta componente de h.
NOTA
Los vectores tienen representaci´on gr´afica s´olo en R, R2 y R3. No es posible
representar un vector en un espacio m´as grande.

6. VECTORES
GR ´AFICA DE VECTORES EN R2
.
FIGURA: Representaci´on de vectores en R2
.

7. VECTORES
GR ´AFICA DE VECTORES EN R3
.
FIGURA: Representaci´on de vectores en R3
.

8. PROPIEDADES
PROPIEDADES DE LOS VECTORES.
DEFINICI ´ON
Sean u, v y w dos vectores en Rn y α, β dos escalares. Entonces se define:
Suma de vectores. u + v = (u1, u2, · · · , un) + (v1, v2, · · · , vn) =
(u1 + v1, u2 + v2, · · · , un + vn) ∈ Rn.
Producto por escalar. αu = α(u1, u2, · · · , un) = (αu1, αu2, · · · , αun).
Producto punto
u·v=(u1, u2, · · · , un)·(v1, v2, · · · , vn) = u1v1 +u2 +v2 +· · ·+unvn=
k ∈ R.
Producto cruz. Sean u y v dos vectores definidos en R3. Entonces,
u × vest´a dado por:
u × v =
i j k
u1 u2 u3
v1 v2 v3
= i
u2 u3
v2 v3
− j
u1 u3
v1 v3
+ k
u1 u2
v1 v2
= l ∈ R3

9. PRODUCTO PUNTO
PRODUCTO PUNTO
Es una de las operaciones m´as importantes entre los vectores ya que
permitir´an, m´as adelante, entender el producto matricial. Es necesario que los
vectores tengan el mismo n´umero de componentes para su correcta aplicaci´on.
DEFINICI ´ON
Sean u y v dos vectores de la misma dimensi´on. El producto punto entre u y
v, notado por u · v se define por:
u · v = (u1, u2, u3) · (v1, v2, v3) = u1v1 + u2v2 + u3 + v3 = k ∈ R
NOTA
Si u y v tienen un n´umero diferente de componentes, no es posible realizar el
producto punto.
Es de notar, que el resultado del producto punto es un n´umero escalar
(n´umero real).

10. PRODUCTO PUNTO
EJEMPLOS
EJEMPLO
Sean u = (2, −2, 5) y v = (−4, 1, 0). El producto punto u · v es:
u · v = (2, −2, 5) · (−4, 1, 0) = (2)(−4) + (−2)(1) + (5)(0) = −10
EJEMPLO
Sean u = (−2, 3, 0) y v = (4, 10). El producto punto u · v no es posible
hacerlo, pues:
u · v = (−2, 3, 0) · (4, 10) = (−2)(4) + (3)(10) + (0)(?) = No existe

11. ´ANGULOS
´ANGULOS
DEFINICI ´ON
Sean u y v dos vectores en R2. El ´angulo formado por u y v est´a dado por:
cos(φ) =
u · v
|u||v|
φ = cos−1 u · v
|u||v|
NOTA
Es importante tener claridad en el uso del producto punto y del c´alculo de la
norma de un vector. Los vectores deben tener el mismo n´umero de
componentes.
Se puede calcular el ´angulo de un vector para vectores de mayor n´umero de
componentes.
φ denota el ´angulo positivo m´as peque˜no entre dos vectores u y v diferentes
de cero.

12. ´ANGULOS
EJEMPLOS
EJEMPLO
Sean u = (2, −2, 5) y v = (−4, 1, 0). Calcular el ´angulo entre u y v. Para este
caso, u · v = −10, |u| =
√
33 y |v| =
√
17. Al aplicar la ecuaci´on, se tiene:
φ = cos−1 u · v
|u||v|
φ = cos−1 −10
√
33
√
17
φ = cos−1 −10
√
561
φ = cos−1
(0,01782)
φ = 1,5529 rad

13. ´ANGULOS
PARA TENER EN CUENTA
NOTA
El n´umero de componentes de cada vector debe ser el mismo para poder
efectuar el c´alculo establecido.
En R2 el ´angulo pedido se calcula directamente con la ecuaci´on, mientras que
en R3 se puede calcular parcialmente, dependiendo la direcci´on de estos. Para
el c´alculo exacto, se debe efectuar la operaci´on de los cosenos directores
(problema que se puede ver a nivel f´ısico).
El ´angulo entre vectores se puede hacer entre vectores de n componentes.

14. PROYECCIONES
PROYECCIONES
La proyecci´on de vectores surge como una aplicaci´on de los ´angulos entre
vectores y sirve para representar un vector en t´erminos del otro vector (en el
sentido de la direcci´on de ´este). Se usa bastante en el ´area del procesamiento
de im´agenes.
FIGURA: Proyecci´on de u sobre v

15. PROYECCIONES
PROYECCIONES
DEFINICI ´ON
Sean u y v dos vectores diferentes de cero. Entonces, la proyecci´on de u sobre
v, notada por proyvu, est´a definida por:
proyvu =
u · v
|v|2
v
Donde la componente de u en la direcci´on de v est´a dada por u·v
|v| .

16. PROYECCIONES
PROYECCIONES
NOTA
No es lo mismo hacer la proyecci´on de u sobre v que hacer la proyecci´on de v
sobre u. En el ´ultimo caso, este se define por:
proyuv =
v · u
|u|2
u
Donde la componente de v en la direcci´on de u est´a dada por v·u
|u| .

17. PROYECCIONES
EJEMPLO
EJEMPLO
Sean u = 2i + 3j + k y v = i + 2j − 6k. Encontrar proyvu y proyuv. En este
caso u · v = 2, |u|2 = 14 y |v|2 = 41 As´ı, se tiene que:
proyuv =
2
41
(i + 2j − 6k) =
2
41
i +
4
41
j −
12
41
k.
La componente de u en la direcci´on de v es 2√
41
. De forma similar, se tiene
que:
proyvu =
2
14
(2i + 3j + k) =
4
14
i +
6
14
j +
2
14
k.
La componente de v en la direcci´on de u es 2√
14
.