UNMSM - FISI - Cálculo II - Semana 1 - Antiderivadas - Integral indefinida- Propiedades basicas - Integración por sustitución y por partes

1. Antiderivadas. Integral indefinida. Integrales
inmediatas. Integración por sustitución.
Integración por partes.

2. ANTIDERIVADAS O PRIMITIVAS
En cálculo I, nos preocupamos del problema dada una función encontrar su derivada. Sin
embargo, muchas aplicaciones importantes del cálculo están relacionadas con el problema
inverso, esto es, dada la derivada encontrar la función que la origina.
Ejemplos
1) Un sociólogo que conoce la razón a la cual crece la población puede utilizar esta información
para predecir futuros niveles de población.
2) Un físico que conoce la velocidad de una partícula podría desear conocer su
posición en un instante dado.
3) Un ingeniero que puede medir la cantidad variable a la cual se fuga el agua de un tanque
quiere conocer la cantidad que se ha fugado durante cierto periodo.
4) Un biólogo que conoce la rapidez a la que crece una población de bacterias puede
interesarse en deducir el tamaño de la población en algún momento futuro.
En cada caso, el problema es encontrar una función F cuya derivada es la función conocida f.
Si tal función F existe, se llama ANTIDERIVADA de f.

3. Ejemplos

4. En general, las funciones con derivadas idénticas se diferencian solo en una constante.

5. EN RESUMEN
1) El teorema anterior nos dice que podemos representar toda la familia de primitivas
de una función mediante la adición de un valor constante a una primitiva conocida.
2) Existe una interpretación geométrica para el hecho que dos primitivas cualesquiera de la
misma función continua f difieran en una constante.

7. INTEGRAL INDEFINIDA

8. OBSERVACIONES:
• La derivada de una integral indefinida es esa función.
2. De la definición 1, tenemos que toda fórmula de derivación da origen a una fórmula de integración.
De esta manera, es posible construir una fórmula básica de integración a partir de cada
fórmula de derivada.

11. PROPIEDADES BÁSICAS DE INTEGRACIÓN
Demostración:

12. Ejemplos

14. Solución
En términos de integral indefinida escribimos

17. Antes de ver estos métodos de integración, daremos una lista
de fórmulas básicas en términos más generales

19. Integrales de Funciones Trigonométricas Inversas
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN
El método de integración por sustitución o cambio de variable es la regla de la cadena en
forma integral.

20. Demostración:
Entonces, usando la regla de la cadena tenemos

21. Solución

22. Solución
Dividiendo en nuestro integral numerador y denominador por 9 nos queda
Ahora hacemos el cambio de variable

26. INTEGRACIÓN POR PARTES
Demostración

27. Esta fórmula también se puede enunciar de la siguiente manera
Solución

28. Solución

29. Solución
Solución

30. INTEGRALES QUE GENERALMENTE SE RESUELVEN MEDIANTE
INTEGRACIÓN POR PARTES