El documento resume diferentes técnicas de integración como integrales impropias, integración por partes, sustitución trigonométrica, fracciones parciales, funciones racionales de seno y coseno, sustitución diversa e integrales con límites infinitos o discontinuidades. Explica cada técnica con ejemplos para ilustrar su aplicación en la resolución de integrales.

1. Integrales impropias y técnicas
de integración
Iriana Piñero
C.I: 25.787.085
Matemáticas II
SAIA B

2. Integrales impropias
Es el límite de una integral definida cuando uno o ambos extremos del intervalo
de integración se acercan a un número real específico, una integral definida es
impropia cuando la función integrando de la integral definida no es continua en
todo el intervalo de integración. También se pueden dar ambas situaciones.
 Carácter y valor de las Integrales Impropia: Si la integral que nos ocupa es de
fácil resolución podemos determinar su carácter mediante el cálculo de la
integral impropia. Según el resultado que obtengamos sabremos si es
convergente o divergente

3. Son del tipo
Presenta una
asíntota horizontal
Primera
especie
Segunda
especie
Son del tipo
Y que no esta
definida en el intervalo
de integración o en
cualquier punto del
dominio o los
extremos e integración
Tercera
especie
Son mezclas de los
dos tipos anteriores,
es decir, que
presentan un infinito
en los extremos de
integración y la
función se hace
infinito en uno o más
puntos del intervalo
de integración.
ó

4. Integración por parte
La integración por partes, es
una técnica que se utiliza para
resolver integrales que no se
resuelven inmediatamente o por
un sencillo cambio de
variable. Por lo general esta
técnica se utiliza cuando el
integrando contiene productos,
funciones Logarítmicas o
funciones Trigonométricas.
La expresión
es la que nos permite resolver
integrales que algunas veces son
largas y poco sencillas.
la integración por partes se
usa cuando:
► El integrando contiene
logaritmos.
► El integrando contiene
productos.
► El integrando contiene
funciones trigonométricas
inversas.
Si “u” y “v” son funciones
diferenciables, entonces:
d(u.v) = v du + u dv
despejando, udv = d(u.v) –
vdu. Integrando en ambos
lados
    du.vv.uduv)v.u(ddvu
  duvv.udvu

5. Ejemplo
I = sea u = arccos 2x, du = , dv = dx entonces v = x
I = x arcos2x - , resolviendo la segunda integral, sea t = 1- 4x2, dt = -8xdx
De donde dx = -
I = = x arccos 2x -
 dx2xarccos 2
)x2(1
dx2


 

x41
dx2
x
  

22/12/1
x412
1
t
dt
4
1
)
x8t
dt
(
 dx2xrccosa Cx41
2
1 2


6. Integración por sustitución
trigonométrica
 Es empleada cuando el integrando contiene funciones con ciertas características dentro
de una raíz cuadrada, que mediante algunas sustituciones se pueden convertir en
integrales inmediatas o muy sencillas para resolver.
 Se debe tener en cuenta que los resultados se tienen que expresar en función de la
variable original por lo que hay que devolver todos los cambios hechos,
igualmente debemos tener presente, que los límites pertenecen a la variable original y es
allí donde tenemos que evaluar la integral.
 Esta sirve para integrar funciones que tienen la siguiente forma
Este método se basa en el
uso de triángulos
rectángulos, el teorema de
Pitágoras e identidades
trigonométricas.

7. Ejemplo

9. Integración de funciones racionales por
fracciones parciales
Esta técnica de Integración se aplica cuando el integrando contiene fracciones, con el fin de
descomponerla en una suma de las mismas en forma sencilla; lo primero que tenemos que
determinar es si la fracción es o no propia, cuando es impropia hay que convertirla en propia
mediante una división de polinomio y con apoyo de propiedades resolvemos las integrales
resultantes. Existen 4 casos:
 Caso 1 : El denominador solo contiene factores lineales y ninguno se repite
 Caso 2 : Los factores son lineales pero al menos uno se repite.
 Caso 3 : Los factores son lineales y cuadráticos y ninguno de los cuadráticos se repite.
 Caso 4 : Los factores son lineales y cuadráticos pero al menos uno de los cuadráticos se
repite.

10. Ejemplo

11. Funciones racionales de seno y
coseno:
Este tipo de integrales se reduce mediante la sustitución z = tan x/2 y expresando las funciones
seno y coseno como una función de z.
Una vez expresada en función de z, mediante simplificación se pueden obtener integrales mucho
más sencillas y práctica cuando se trata de resolver integrales con integrados que contienen
funciones racionales de seno y coseno.
Para aplicar esta técnica se expresan las funciones trigonométricas en función de senos y/o
cosenos, para luego hacer las respectivas sustituciones de z, sabiendo que z = tang x/2.
► Teorema: si entonces, se verifican las
siguientes igualdades, las cuales pueden ser
usadas para la integración de funciones
racionales de seno y coseno:

12. Ejemplo
Sustituimos los respectivos valores de sen x y dx
2
2 haciendo un cambio de variable: u = z –5/3, du =dx
  xsen53
dx
 
    
















 




22
2
2
2
2
2
z13z10z3
dzz1
2
z1
z10z332z1
dz
2
)
z1
z2
(53
z1
dz2
 














9
16
3
5
z
dz
3
2
1z
3
10
z3
dz
2
2
 










 C
13z
93z
ln
4
1
C
4/35/3z
4/35/3z
ln
4
1
C
4/3u
4/3u
ln
3
4
2
1
3
2
9
16
u
du
3
2
2
C
1tan3
9tan3
ln
4
1
2
x
2
x




13. Integrados por sustitución
diversa
 Existen integrandos que contienen
raíces de diferente índice mayores que
2, para ello es necesario hacer una
sustitución adecuada que nos
convierta la integral en otra u otras más
sencillas.
 Para ello tomamos el mínimo común
múltiplo de los índices de las raíces y
sustituimos. Algunas sustituciones son
útiles para evaluar ciertas integrales.
Ejemplo
el mínimo es
que es una fracción impropia, mediante una
división de polinomios la convertimos en una
suma de dos fracciones propias.
 
4
0 x1
dx
dzz2dxy;zx;zx 2
1
2

 
4
0 z1
dz2z
 
 











4
0
4
0
2
1
2
14
0
4
0
2ln34x1lnx2z1lnz2
z1
dz
2dz2

14. Integrales impropias con limites infinitos de
integración:
Existe un tipo de integral en la que uno o ambos
límites es o son infinito (s), este tipo de integral se
resuelve mediante la aplicación y resolución de un
límite.
Si el límite existe, decimos que la integral
converge. De lo contrario, diverge.
Una integral finita es la que tiene límites finitos
(definidos). Si estos límites se convierten en
infinitos, entonces la integral es impropia.
► Dada la integral: se pueden presentar 3
casos:
1. Si el límite superior se convierte en más
infinito (b = + ), nos queda
2. Si el límite inferior se convierte en infinito (a = - ),
nos queda
2. Si ambos límites se convierten en infinito
( b = +  ) y ( a = -  ), debemos recordar que el
intervalo de integración son todos los reales, por lo
tanto se puede dividir en una serie de intervalos,
integrar y luego sumar cada uno de ellos.
+ , si c = 0,
entonces
+ +
SI EN LOS 3 CASOS LOS LIMITES EXISTEN LA
INTEGRAL ES CONVERGENTE, DE LO CONTARIO ES
DIVERGENTE
 

b
a
x dxf
 



a
x dxf
b
lím
 

b
a
x dxf
 
 

b
x dxf
a
lím  

b
a
x dxf
 



x dxf
a
lím  

c
a
x dxf
b
lím  

b
c
x dxf
 



x dxf
a
lím  

0
a
x dxf
b
lím  

b
0
x dxf

15. Ejemplo

16. Integrales impropias con funciones
discontinuas en el intervalo de
integración
 En muchas oportunidades, se plantean
integrales del tipo: , donde vemos
que en el intervalo de integración
existe un punto de discontinuidad para la
función integrando.
 Cuando el integrando tiene un punto de
discontinuidad en su intervalo de integración,
se hace necesario dividir el intervalo justo en
donde se encuentra la discontinuidad, para
estudiar el límite tanto por la izquierda como
por la derecha. Si estos límites existen
entonces la integral converge de lo contrario,
es divergente. Si uno de los límites no existe,
es suficiente para decir que la integral
diverge.
Asíntotas verticales en los límites de
integración
 Considera Esta integral involucra
una función con una asíntota vertical en x = 0.
Se puede obtener el valor de esta integral
evaluándola desde b a 1, y entonces tomando el
límite como b tendiendo a 0. Nótese que la anti-
derivativa de la anterior función es la cual
puede ser evaluada por sustitución directa para
dar el valor El límite
cuando b → 0 es 3 − 0 = 3.