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Aplicación de derivadas - Mariangel Barrios
- 1. República Bolivariana de Venezuela Ministerio del Poder Popular para la Educación Instituto Universitario de Tecnología “Antonio José de Sucre” APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS Mariangel Barrios Mendoza
- 2. 1er Semestre DiseñoGráfico Índice ¿Qué es la aplicación derivada? 1 Importancia de las Derivadas 1 ¿Quién fue el inventor de la derivada 2 Cómo se calcula la derivada 2 Puntos de Inflexión 2 Máximosy mínimos 3 Regla de l’Hôpital 4 Teoremas de las derivadas 4 “ “ 5 Conclusión 6 Bibliografía 7
- 3. Introducción Las derivadashacenparte de una de las extensasyvariadasramasque tiene lamatemática, explicandoentérminossencillosladerivadatrata de una medidade latasa de variaciónde la salidade una función,asícomo varía la entradade la función;laderivadaes sumade dos funcionesesigual alasuma de las derivadas de lasdosfuncionestomadasindividualmente. En el presente trabajoexplicare masafondoque sonademásde variosde loscomponentes que constituyen aunaderivada.
- 4. ¿Qué es la aplicación derivada? La derivadatiene unagranvariedadde aplicacionesademásde darnoslapendiente de la tangente auna curva en unpunto puespermite estudiarexistenciade lospuntosde inflexión. Un punto de inflexiónde unafunciónesel lugarde sudominioendonde cambiade curvatura, donde cambiade cóncavo a convexooviceversa.Enunpunto de inflexión,latangente atraviesalagráfica de la función. Algunasde lasaplicacionesmásnotables: 1. Tasa de variación: Esta esla aplicaciónmásutilizadade las derivadas.Encuentrasu aplicaciónenmuchosproblemasde lafísica.La tasa de variaciónenla localizaciónde un puntote dará lavelocidadde ese punto.De manerasimilarlatasade cambiode la velocidadde unpuntose conoce como la aceleracióndel mismo. 2. Punto Crítico: El puntocrítico tiene unacantidadvastade aplicacionesque incluyenla termodinámica,lafísicade lamateriacondensada,etc.Un puntocrítico esaquel donde laderivadade lafunciónescero,no existe enabsoluto. 3. Determinaciónde valores mínimosy máximos: A este procesose le denomina optimización.Existenunaseriede problemasque requierenladeterminaciónde los valoresmínimosymáximosde algunafuncióntal comola determinacióndel menor costo,aproximacióndel menortiempo,cálculode mayorganancia,etc.Puede existir un mínimolocal / puntomáximoque se denominamínimorelativo/máximopuntoo mínimoglobal /máximopuntoque se le llamacomo mínimoabsoluto/punto máximo. 4. Métodode Newton:Este es utilizadopararastrearlasraíces de una ecuaciónenuna cascada de etapaspara que encada paso de la soluciónencontremosunasolución mejory másadecuada comoraíz de la ecuación. 5. Aproximaciónlineal:En una serie de ramasde la física,como esel caso de la óptica,la Aproximaciónlinealjuegaunpapel vital.Eneste utilizamosunafunciónlineal conel finde encontrarla aproximaciónde cualquierfuncióngeneral. Importancia de las Derivadas Las derivadasaportan información concreta,directaycientíficaa losexpertosy,conesos resultados,interpretanysoncapacesde ofrecerinformaciónacercade nuestrapropia existenciaytambiénutilizarlasparaaplicarlasencosastanhabitualescomoel vuelode un avión,el movimientode uncoche,la construcción de un edificio,de uncontenedorode muchosotros elementosque paranosotrossonnormalesyque,sinembargo,sinsuutilización no seríanposibles.
- 5. Pág. 1 ¿Quién fue el inventor de la derivada? A finalesdel sigloXVIIse sintetizaronendosconceptoslosalgoritmosusadosporsus predecesores,enlo que hoyllamamos«derivada» e «integral».La historiade lamatemática reconoce que Isaac NewtonyGottfriedLeibnizsonloscreadoresdel cálculodiferencial e integral. Cómo se calcula la derivada Se calcula comoel límite de la rapidezde cambiomediade lafunciónenciertointervalo, cuandoel intervaloconsideradoparalavariable independiente se tornacadavezmás pequeño.Poreso se habladel valorde laderivadade una funciónenunpuntodado. Puntos de Inflexión la derivadapermite estudiarexistenciade los puntosde inflexión. Un punto de inflexión de unafunción esel lugarde su dominioendonde cambiade curvatura, donde cambiade cóncavo a convexo oviceversa. En un puntode inflexión,latangente atraviesalagráficade lafunción.Si ademásla primeraderivadaesnula, f’(a) =0, esun puntode inflexión de tangente horizontal. Para que una función f(x) tengaunpuntode inflexión enel punto(a,f(a))escondición necesariaque lasegundaderivada,si estaexiste,seanulaendichopunto(f’’(a) =0). Esta condiciónesnecesaria,peronosuficiente.Puedeque sea f’’(a)=0 y nohaber puntode inflexión ena.Pero,porel contrario,si fuese f’’(a) ≠0, podemosafirmarque nohay unpunto de inflexiónen f(a).
- 6. Pág. 2 Este sería el caso de lafunción f(x) =2x4 . En ella,lasegundaderivadaf’’(x) =24x2 . Para x = 0, f’’(0) = 0 y,sinembargo,el punto(0, f(0)),esdecir,el punto(0, 0) no esun puntode inflexión,tal ycomo se ve en estaimagenyse desarrollaráenel ejercicio2: Máximos y mínimos Tenemosdoscriteriosparaaveriguarsi un punto x = a de una función,endonde se verifique que f’’(a) =0, se trata de unpuntode inflexión: 1. Criteriode lasegundaderivada 2. Criteriode laterceraderivada(osucesivas) Los máximosymínimosde una funciónpuedenencontrarse medianteladerivada. Si la funciónestádefinidaenunintervalo(a,b) yesderivable enél,paraque hayaun punto extremolocal (máximoomínimo) cdel intervalo),laderivadaprimeraencdebe sernula,f’(c) = 0. Esta condiciónesnecesaria,peronosuficiente.¿Cómopodemossabersi ese puntoesun extremolocal ysi este extremoesunmáximooun mínimo?: Y es que puede ocurrirque f’(c) = 0 y que enc haya un puntode inflexiónde tangente horizontal.Lospuntosenque se anulala primeraderivadase denominanpuntoscríticos. Criteriode laderivadaprimera El punto(c, f(c)) esunmáximolocal de f(x) si se cumple que f’(c) =0 y enel entornoinmedi ato de c la primeraderivadapasade signopositivoanegativo. El punto(c, f(c)) esunmínimolocal de f(x) si se cumple que f’(c) = 0 y en el entornoinmediato de c la primeraderivadapasade signonegativoapositivo.
- 7. El punto(c, f(c)) esunpuntode inflexiónde tangente horizontalde f(x) si se cumple que f’(c)= 0 y enel entornoinmediatode claprimeraderivadanocambiade signo. Pág. 3 Regla de l’Hôpital Sirve para resolvermuchoscasosde límitesque denindeterminación,especialmenteloscasos más complejos,exponencialesotérminosnoracionales.Se aplicadirectamente alímitescon indeterminacionesdeltipo0/0o ∞/∞.Eso no impide que puedaaplicarseaotroscasos de límitesindeterminados,realizandotransformacionesparallegarauna de lostiposanteriores. La reglade l’Hôpital puede aplicarse sucesivamente.Requiere conocerbienlatécnicade la derivación>. Teoremas de las derivadas Son losTeoremasde Rolle,Teoremadel ValorMedioyTeoremade Cauchy. 1. Teorema de Rolle:Consiste enque si una funciónf(x) verificaque escontinuaenun intervalocerrado[a,b] y derivable enel intervaloabierto(a,b).Si losvaloresde la funciónenlosextremossonigualesf(a) =f(b),entonceshay,al menos,unpuntodel intervaloc∈ (a, b) en el que su derivadaprimerase anula,f’(a) =0. 2. El teorema de Cauchy: establece que dadasdosfuncionesf(x) yg(x) continuasenel intervalo[a,b] yderivablesen(a,b).Si g(a) ≠ g(b),existe al menosunpuntoc pertenecientea(a,b),siempre que g’(c) ≠ 0. 3. El teorema del ValorMedio o teorema de Lagrange: Enunciaque si una funciónf(x) es continuaenun intervalocerrado[a,b],existe al menosunpuntopertenecienteal intervaloabierto,que esasuvezderivable,c&fisin;(a,b) Otras aplicaciones: Y otras aplicaciones,comofacilitarlarepresentacióngráficade funcionesohallar aproximadamente losvaloresde unafunciónmedianteladiferencial. La diferencial de unafunciónenunpuntoa esel incrementoque hubieratenidoesa funciónal incrementarlavariable independiente x aotro puntoa + h pero,envezde seguirporla curva de la función,se hubieraseguidoporlatangente adicha curva ena. Reglas de derivación La derivadade una constante: La derivadade unaconstante escero. f(x) =7 f '(x) = 0 La derivadade una potencia enterapositiva Comoya sabemos,laderivadade xnesn xn-1,entonces: f(x)=x5 f '(x)=5x4 Peroque sucede confuncionescomof(x) =7x5, aún nopodemosderivarlafunciónporque no sabemos cuál esla reglapara derivarese tipode expresiones. La derivadade una constante por una función.
- 8. Para derivarunaconstante por una función,esdecircf(x),suderivadaeslaconstante porla derivadade lafunción,ocf'(x),por ejemplo:f(x)=3x5 f '(x)=3(5x4) = 15x4 Pág. 4 La derivadade una suma Tampoco podemosdiferenciar(oderivar) unasumade funciones.Lareglaparala derivadade una sumaes (f+g)'=f'+g',esdecir,la derivadade unasumade funcioneseslasumade las derivadasde cada unode los términosporseparado.Entonces: f(x)=2x3 + x f '(x)=6x2 + 1 La derivadade un producto Aúnno hemosdichocuál es lareglapara derivarunproductode funciones,lareglaparala derivadade unproductoes (fg)'=fg'+f'g. En español estose interpretacomo"laderivadade un productode dos funcioneseslaprimera,porladerivadade la segunda,máslasegundaporla derivadade laprimera". f(x)=(4x + 1)(10x2 - 5) f '(x)=20x(4x + 1) + 4(10x2 - 5) La derivadade un cociente Ahoradaremosla reglapara la derivadade uncociente. f f 'g - fg' [ ]' = g2 g La regla de la cadena Las reglasde derivaciónque hemosdefinidohastaahorano permitenencontrarladerivadade una funcióncompuestacomo(3x + 5)4, a menosque desarrollemosel binomioyluegose apliquenlasreglasyaconocidas.
- 9. Pág. 5 Conclusión Podemosconcluirresaltandoque lasderivadasjueganunpapel tanimportante que los científicoslausanpara ofrecery resolverinformaciónacercade nuestraexistencia,esun hechoque lasmatemáticashacenparte de lavida del serhumanodesde siemprey esun factor fundamental que debemosdominaryconocerpara usarlas correctamente encualquier sectorsea de trabajoo vida cotidianaennuestravidapersonal.