calculo

1. TALLER CALCULO MULTIVARIABLE
PRESENTADO POR:
GARCIA CERVANTES NELSY
PRESENTADO A:
ING. CARLOS HERNANDEZ
GRUPO 6
UNIVERSIDAD PPULAR DEL CESAR
FACULTAD EN INGENIERIAS Y TECNOLOGICAS
INGENIERIA AGROINDUSTRIAL
VALLEDUPAR-CESAR
2014

2. 1. CONTINUIDAD DE UNA FUNCION DE N VARIBLES
Decimos que una función con dominio D es continua en un punto
cuando
Condición equivalente a cualquiera de las siguientes:
Enunciamos algunas propiedades y caracterizaciones de las funciones continuas.
Teorema 1(caracterizaciónpor sucesiones.) sea f: y . Entonces
f es continua en si y solo si
Es decir
Teorema 2(continuidad de la función compuesta) sean ,
funciones arbitrarias. Si f es continua en y g es continua en , entonces g o
f es continua en
Teorema 3. (Continuidad de las operaciones algebraicas) sean , y
funciones continuas en . Entonces f + g, son
continuas en .
Teorema 4. Si : son las componentes de
entonces f es continua en si y solo si cada es continua en .
Este resultado permite simplificar el estudio de la continuidad de una función al de
la continuidad de n funciones reales.
Teorema 5. Una función es continua en si y solo si (B) es
abierto, para cualquier abierto B ⊂ .
Colorario 6.Una función es continua si y solo si (F) es cerrado,
para cualquier cerrado F ⊂ .
Teorema 7. Sea M ⊂ un compacto y continua en M.

3. Entonces f (M) es compacto.
Colorario 8. Sea continua en un compacto M ⊂ . Entonces f alcanza
los valores máximos y mínimos es decir
∃ , ∈ M:f ( ) ≤ f(x) ≤f ( ), ∀x ∈ M.
Este es el llamado teorema de Weierstrass, que asegura la existencia de
extremos para una función real.
Teorema 9. Sea inyectiva. Si D ⊂ es compacto y f continua en D,
entonces es continua en f (D).
Teorema 10.Sea una función continua en M ⊂ . Si M es conexo,
es también conexo.
Un concepto mas preciso corresponde al de continuidad uniforme. Decimos que
una función es uniformemente continua en A ⊂ cuando
∀ε > 0, ∃δ>0: ll a – bll< δ =⇒ llf(a) −f(b)II< ε, ∀a, b ∈ A.
Es evidente que toda función uniformemente continua es continua. Una especie de
reciproco es el siguiente resultado:
Teorema 11. Sea una función continua y A ⊂ un conjunto compacto,
entonces f es uniformemente continua en A.
2. Continuidad de una Función de Varias Variables.
2.1 Continuidad de una Función .
Igual que con las funciones de una sola variable, la continuidad se define en
términos de límites.
Definiciones:
Una función es continua en un punto si:
1. está definida en , es decir, que tenga un valor en .
2. existe, es decir, tenga un límite en
3. , es decir, el valor de en sea igual al límite
en ese punto.

4. Una función es continua si es continua en todo punto de su dominio. Con base a la
percepción, esto significa que no presenta saltos o fluctuaciones violentas en
.
Igual que con la definición de límite, la definición de continuidad se aplica en
puntos fronteras , así como en puntos interiores de dominio de . El único
requisito es que el punto permanezca en el dominio todo el tiempo.
Así como las funciones de una sola variable, también son continuas, las Sumas,
Productos y Cocientes de funciones continuas (una vez que, el último caso, se
evite la división entre cero).
Se deduce entonces lo siguiente que:
funciones polinomiales de dos variables son continuas en toda su
extensión, dado que son sumas y productos de las funciones continuas
, dado que son constantes. Por ejemplo: la función
, es continua en todos los puntos del plano .
Funciones Racionales de dos variables son cocientes de funciones
polinomiales y, por lo tanto, son continuas siempre que el denominador no
sea cero. Para simplificarlo, por ejemplo:
es continua en toda la extensión del plano , con
excepción de los puntos de la parábola .
Una función continua de una función continua, es continua.
2.2 Composición de Funciones Continuas.
Si una función es continua en , y es una función
continua en , entonces la función compuesta es
continua en . Por ejemplo:
Son continuas en todo punto .
Ejemplo 2.1
Sea demuestre que es continua.
Solución: es continua en

5. Ejemplo 2.2
Demuestre que
Es continua en todo punto excepto en el origen.
Solución: La función es continua en cualquier punto porque sus
valores están dados por una función racional de . En , el valor de está
definido pero , no tiene límite cuando . La razón es que trayectorias
de acercamiento diferentes al origen pueden conducir a resultados diferentes,
como lo veremos ahora.
Para cada valor de la función tiene un valor constante sobre la recta
, porque
Por lo tanto, tiene este número como límite cuando tiende a a lo largo
de la recta:
Este límite cambia con . No existe entonces ningún número que podamos llamar
límite de cuando se acerca al origen. El límite deja de existir y la función no
es continua.
Ejemplo 2.3
Estudiar la continuidad de la función:

6. Solución: El origen es el punto en el que la definición de la función cambia, por
tanto, es en ese punto donde debemos estudiar si se pierde la continuidad o no.
Para ello, estudiamos la existencia del límite doble de en dicho punto.
Planteamos el estudio del límite en el origen realizando un cambio a coordenadas
polares:
Así,
Así, se concluye que el límite doble de la función vale y que la función dada
es continua en
Diferenciabilidad
3.Diferenciabilidad.
Después del estudio de los límites de funciones de dos variables retomamos la
discusión sobre diferenciabilidad, y aprovechamos para fijar en una definición y un
teorema lo que hemos avanzado hasta ahora.
Definición.
La función es diferenciable en el punto si existen unos
números tales que

7. En ese caso diremos que el plano es el plano
tangente a la gráfica de en .
Teorema.
Para que la función sea diferenciable en es necesario que existan sus
derivadas parciales en ese punto. Y en ese caso el plano tangente es el plano,
Por supuesto, se puede usar directamente la definición para probar que una
función es diferenciable en un punto. Para ello:
Debemos empezar por calcular las derivadas parciales en ese punto (ya
sea mediante las reglas derivación, o usando la definición si no es posible
aplicar las reglas).
Después debemos demostrar que se cumple.
Veamos un ejemplo elemental de demostración
Ejemplo 3.1
La función ¿es diferenciable en el punto ?
En efecto, en primer lugar sus derivadas parciales existen y valen
Así que el único candidato posible a ser el plano tangente es
Y para demostrar que es diferenciable tenemos que demostrar que se cumple

8. Para demostrar esto, empezamos por trasladar el problema al origen mediante el
cambio de variables . De esa forma se trata de demostrar
que
Luego por coordenadas polares nos queda
Luego
Entonces
Luego es diferenciable en
4. Regla de la Cadena para funciones de varias Variables.
Para funciones de más de una variable la regla de la cadena tiene varias
versiones que dan la regla de diferenciación de la composición de funciones para
diferentes casos.
Primer Caso: Supongamos una función de dos variables donde a su vez
cada una de estas variables dependen de una variable . Esto significa que es
también una función que depende indirectamente de :

9. Z
x
y
t
t
Supongamos que es una función diferenciable. La regla de la cadena que nos
da la diferencial de como función de es:
Árbol de Dependencia:
Ejemplo 4.1
Si , donde , la diferencial de respecto
de será:
Sustituyendo los valores de en función de :
Otra forma de calcular es expresar como función de y luego derivar.
(Queda como ejercicio).
Segundo Caso: considerando ahora el caso donde es una función
diferenciable y donde a su vez son funciones
diferenciables de . Entonces:

10. Z
x
y
t
t
s
s
Árbol de Dependencia:
Ejemplo 4.2
Si , donde , las derivadas
parciales de respecto de son:
Sustituyendo los valores de en función de :