Ecuaciones de primer orden

1. Ecuaciones Diferenciales
Clave de la asignatura: ACF – 0905
M.C. Angel Figueroa Delgado
Enero 2022

2. Caracterización de la asignatura
 Esta asignatura consolida su formación matemática como ingeniero y
potencia su capacidad en el campo de las aplicaciones, aportando al
perfil del ingeniero una visión clara sobre el dinamismo de la
naturaleza. Además, contribuye al desarrollo de un pensamiento
lógico, heurístico y algorítmico al modelar sistemas dinámicos.
 El curso de ecuaciones diferenciales es un campo fértil de
aplicaciones ya que una ecuación diferencial describe la dinámica de
un proceso; el resolverla permite predecir su comportamiento y da la
posibilidad de analizar el fenómeno en condiciones distintas. Esta es
la asignatura integradora en los temas de matemáticas y pueden
diseñarse proyectos integradores con asignaturas que involucren
sistemas dinámicos para cada una de las ingenierías.
 La característica más sobresaliente de esta asignatura es que en ella
se aplican todos los conocimientos previos de las matemáticas.

3. Competencia a desarrollar
 Aplica los métodos de solución de ecuaciones
diferenciales ordinarias para resolver problemas que
involucran sistemas dinámicos que se presentan en la
ingeniería.

4. Temario
1. Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden.
1. Teoría preliminar.
1. Definiciones (Ecuación diferencial, orden, grado, linealidad)
2. Soluciones de las ecuaciones diferenciales.
3. Problema de valor inicial.
4. Teorema de existencia y unicidad.
2. Ecuaciones diferenciales ordinarias.
1. Variables separables y reducibles.
2. Homogéneas.
3. Exactas.

5. Temario
2. Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior.
1. Teoría preliminar.
1. Definición de ecuación diferencial de orden n.
2. Problemas de valor inicial.
3. Teorema de existencia y unicidad.
4. Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas.
1. Principio de superposición.
5. Dependencia e independencia lineal. Wronskiano.
6. Solución general de las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas.
1. Reducción de orden.
2. Solución de ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de coeficientes
constantes.
1. Ecuación característica de una ecuación diferencial lineal de orden superior.
3. Solución de las ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas.
1. Método de los coeficientes indeterminados.
2. Variación de parámetros.
4. La ecuación diferencial de Cauchy-Euler.
5. Aplicaciones.

6. Temario
3. Transformada de Laplace.
1. Teoría preliminar.
2. Definición de la transformada de Laplace. Propiedades.
1. Condiciones suficientes de existencia para la transformada de una función.
3. Transformada directa.
4. Transformada inversa.
5. Función escalón unitario.
6. Teoremas de traslación.
7. Transformada de funciones multiplicadas por 𝑡𝑛, y divididas entre t.
8. Transformada de una derivada y derivada de una transformada.
9. Teorema de convolución.
10. Transformada de una integral.
11. Transformada de una función periódica.
12. Transformada de la función delta de Dirac.

7. Temario
4. Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales.
1. Teoría preliminar.
1. Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales.
2. Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales homogéneos.
3. Solución general y solución particular de sistemas de ecuaciones diferenciales
lineales.
2. Métodos de solución para sistemas de ecuaciones diferenciales lineales.
3. Método de los operadores.
4. Utilizando la transformada de Laplace.
5. Aplicaciones.

8. Temario
5. Introducción a las series de Fourier.
1. Teoría preliminar.
2. Series de Fourier.
3. Series de Fourier en cosenos, senos y de medio
intervalo.

9. Intención didáctica
 La asignatura de Ecuaciones Diferenciales se organiza en cinco
temas.
 En el primer tema se aborda la teoría preliminar para el estudio
de los métodos de solución de las ecuaciones diferenciales
ordinarias. En la solución de algunas ecuaciones diferenciales se
pueden realizar cambios de variable para reducirlas a
separables. Se precisa que en algunos casos un factor
integrante puede reducir una ecuación a tipo exacta. Es
importante remarcar la relación que existe entre los métodos
de solución de las ecuaciones diferenciales estudiadas. Al
finalizar el estudiante resuelve problemas de aplicación que
puedan ser modelados con una ecuación diferencial ordinaria
de primer orden.

10. Fuentes de información
 Textos:
 Boyce, W. (2010). Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera. (5ª. Ed.). México. Limusa.
 Cengel, Y. A. (2014). Ecuaciones diferenciales para ingeniería y ciencias. México. McGraw-Hill.
 Cornejo, S. C. (2008). Métodos de solución de Ecuaciones diferenciales y aplicaciones. México. Reverté.
 Garcia H., A. (2011). Ecuaciones diferenciales. México. Grupo Editorial Patria.
 Ibarra E., J. (2013). Matemáticas 5: Ecuaciones Diferenciales. México. Mc Graw Hill.
 Kreyszig. (2010). Matemáticas Avanzadas para Ingeniería. (3ª. Ed.). México. Limusa.
 Mesa, F. (2012). Ecuaciones diferenciales ordinarias: Una introducción. Colombia. ECOE Ediciones.
 Nagle, K. (2012). Fundamentals of differential equations. (6a. Ed.) USA. Addison Wesley Longman.
 Nagle, K. (2005). Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera. (4ª. Ed.). México. Pearson
Educación.
 Rainville, E. (2009). Ecuaciones Diferenciales Elementales. (2ª. Ed.). México. Trillas.
 Simmons, G. (2007). Ecuaciones diferenciales: Teoría, técnica y práctica. México: McGraw-Hill.
 Zill Dennis G. (2009). Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado (9ª. Ed.). México. Cengage Learning.
 Zill. (2009). Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera. (7ª. Ed.). México. Cengage Learning.
 Zill. (2008). Matemáticas Avanzadas para Ingeniería 1 : Ecuaciones diferenciales. (3ª. Ed.). México. Mc Graw Hill.

11. Evaluación
Evidencia de aprendizaje %
Indicador de
alcance
Evaluación formativa de la
competencia
A B C D E
Actividades formativas 20 10 10
Trabajo individual y/o en equipo
(exposición, tareas, ejercicios)
Examen 60 60
Evaluación conceptual y
procedimental
Carpeta de Evidencias (A, B,
C, D, E)
15 5 5 5
Carpeta de evidencias con hoja de
evaluación correspondiente
Disciplina y puntualidad 5 5
Llega a clase puntual, entrega
trabajos en tiempo y forma
TOTAL 100 5 15 15 5 60

12. Portafolio de evidencias

13. Portafolio de evidencias

14. Portafolio de evidencias

15. Portafolio de evidencias

16. 1.1. Teoría preliminar
 El estudio de los fenómenos físicos implica
dos pasos importantes.
 En el primero se identifican todas las
variables que afectan a los fenómenos, se
realizan suposiciones y aproximaciones
razonables, y se estudia la
interdependencia de dichas variables.
 En el segundo paso se resuelve la
ecuación diferencial mediante un método
adecuado, y se obtiene la relación para la
función desconocida en términos de las
variables independientes

17. 1.1. Teoría preliminar
 Una expresión matemática con un signo
de igual se llama ecuación.
 Una ecuación que incluye las derivadas de
una o mas funciones se llama ecuación
diferencial.

18. ¿CÓMO SURGEN LAS ECUACIONES
DIFERENCIALES?
 Las ecuaciones diferenciales surgen al aplicar las leyes y
los principios físicos pertinentes a un problema, mediante
la consideración de cambios infinitesimales en las
variables de interés.

19. ¿CÓMO SURGEN LAS ECUACIONES
DIFERENCIALES?
 Ejemplo. Mediante la segunda ley del movimiento de
Newton, obtenga una ecuación diferencial que describe la
posición s de una masa m a lo largo de una línea recta
influida por una fuerza F que actúa en la dirección del
movimiento.
𝑉 =
𝑆
𝑡
𝑉 =
𝑑𝑠
𝑑𝑡
F = 𝑚 𝑎
𝑎 =
𝑉
𝑡
𝑎 =
𝑑𝑉
𝑑𝑡
𝑎 =
𝑑
𝑑𝑠
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑎 =
𝑑2
𝑠
𝑑𝑡2
F t = 𝑚 𝑎(𝑡) F(t) = 𝑚
𝑑2
𝑠
𝑑𝑡2
F(t)
m
=
𝑑2𝑠
𝑑𝑡2

20. ¡Para Recordar!
 Variable
 Constante
 Variable independiente o
argumento
 Variable dependiente o
función
 Intervalo
 Funciones continuas y
discontinuas
 Derivadas y diferenciales
 Integración

21. Actividad de aprendizaje 1.1
 Contesta los siguientes cuestionamientos
1. ¿Qué es una variable?
2. ¿Cómo se distingue una variable dependiente de una
independiente en un problema?
3. ¿Cómo se identifican las funciones discontinuas?
4. ¿Cuál es la diferencia entre derivadas parciales y derivadas
ordinarias?
5. ¿Cuál es la diferencia entre el grado y el orden de una
derivada?

22. Actividad de aprendizaje 1.1
 Contesta los siguientes cuestionamientos
6. Determine los intervalos en los que las siguientes funciones
son continuas:
1. 𝑥 + 2
2.
1
𝑥
7. Determine la derivada de las siguientes funciones:
1. 𝑥 ln 2𝑥
2. 𝑒−3𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑥
8. Realice las siguientes integraciones:
1. 𝑥2 + 𝑒−3𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 5𝑥 𝑑𝑥

23. Definición, orden, grado y linealidad
 Una ecuación que contiene las derivadas de una o
más variables dependiente con respecto a una o
más variables independientes es una Ecuación
Diferencial.
 Estas se pueden clasificar en:
a) Ecuación Diferencial Ordinaria (E.D.O)
b) Ecuación Diferencial Parcial (E.D.P)

24. Definición, orden, grado y linealidad
 El Orden de una Ecuación depende directamente
del orden de la derivada mas alta en una ecuación
diferencial.
𝑦′′′
+ (𝑦′′
)6
= 4𝑥5
Además se expresa en su forma estándar o
normalizada.
 El grado de una ecuación diferencial corresponde
a la potencia mas grande a la cual esta elevada
una variable dependiente, o bien alguna de sus
derivadas.
𝑦′′ 3
− 𝑦′
𝑥 = 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥

25. Definición, orden, grado y linealidad
 La característica principal de las ecuaciones lineales
algebraicas es que las variables están elevadas a la potencia
1.
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐
 Una Ecuación Diferencial Lineal tiene como característica
principal que la variable dependiente y todas sus derivadas
están elevadas a la potencia 1.
𝑎𝑛 𝑥 𝑦𝑛
+ 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑦𝑛−1
+∙∙∙ +𝑎2 𝑥 𝑦′′
+ 𝑎1 𝑥 𝑦′
+ 𝑎0 𝑥 𝑦 = g 𝑥
Si g 𝑥 = 0, la ecuación se denomina homogénea.
Si g 𝑥 ≠ 0, es no homogénea.

26. Definición, orden, grado y linealidad
𝑎𝑛 𝑥 𝑦𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑦𝑛−1 +∙∙∙ +𝑎2 𝑥 𝑦′′ + 𝑎1 𝑥 𝑦′ + 𝑎0 𝑥 𝑦 = g 𝑥
Si g 𝑥 = 0, la ecuación se denomina homogénea.
Si g 𝑥 ≠ 0, es no homogénea.

27. Definición, orden, grado y linealidad
 Otra clasificación de la ecuaciones diferenciales
es por la naturaleza de sus coeficientes.
 Coeficiente constantes
 Coeficientes variables

28. SOLUCIONES DE ECUACIONES
DIFERENCIALES
 No hay un solo método general de resolución que
sea aplicable a todas las ecuaciones diferenciales.
 Buscamos funciones que satisfagan la ecuación en un
intervalo especificado.
𝑥2
− 7𝑥 + 10 = 0 𝑦′
− 7𝑦 = 0
𝑥 = 2
𝑥 = 5 𝑦 = 𝑒7𝑥

29. SOLUCIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES
 Una solución que incluya una o más constantes
arbitrarias representa una familia de funciones que
satisfacen la ecuación diferencial y se llama solución
general o solución completa si cada solución de la
ecuación puede obtenerse de ella como caso especial.
 Una solución que puede conseguirse a partir de una
solución general mediante la asignación de valores
específicos a las constantes arbitrarias se llama
solución particular o solución específica.
 Una solución que no puede obtenerse a partir de la
solución general asignando valores específicos a las
constantes arbitrarias se llama solución singular.

30. Solución de una ecuación diferencial
 Ejemplos:
 Compruebe que 𝑦1 = 3𝑒−2𝑥 es una solución de la
ecuación diferencial 𝑦′′
− 4𝑦 = 0

31. Solución de una ecuación diferencial
 Ejemplos:
 Compruebe que 𝑦1 = 𝐶𝑥𝑒2𝑥 + 2𝑥 − 3 es una
solución de la ecuación diferencial 𝑦′′
− 4𝑦′
+
4𝑦 = 8𝑥 − 20, sin importar cual sea el valor de la
constante arbitraria C.

32. Actividad de aprendizaje 1.2: Compruebe que
las funciones siguientes son soluciones de la
ecuación diferencial dada en cada uno de los
siguientes problemas

33. Solución de una ecuación diferencial
 Si la función incógnita nada mas puede
expresarse en términos de la variable
independiente, se dice que la solución es
explícita; en caso contrario, la solución es
implícita.
𝑦 = 3𝑥2
+ cos 𝑥 + 5 𝑦 = 𝑒2𝑥𝑦
+ 3𝑥𝑦2
+ 5

34. Solución de una ecuación diferencial

36. Solución de una ecuación diferencial
 Para obtener una solución única a un problema,
necesitamos especificar más que solo la ecuación
diferencial rectora. Debemos especificar algunas
condiciones (tales como el valor de la función o
el de sus derivadas para algún valor de la variable
independiente) de modo que al forzar la solución
para satisfacer estas condiciones se obtenga como
resultado una solución única.

37. Solución de una ecuación diferencial
 Estas se llaman condiciones iniciales si todas
ellas se especifican para el mismo valor de la
variable independiente; y condiciones en la
frontera si se especifican para dos o mas valores
de la variable independiente.

38. Obtención de una ED con valores
iniciales y de frontera
Ejemplo: Caída libre de un cuerpo
 Cuando la resistencia del aire es
despreciable, la caída libre de un
cuerpo está regida por la ley de
gravedad. Considere un objeto que
inicialmente está a una altura 𝑧 = ℎ y
se deja caer libremente en el tiempo
cero, como se muestra en la figura.
Escriba la formulación matemática de
este problema, y determine si es un
problema de valores iniciales o de
valores en la frontera.
F = 𝑚 𝑎
F = −𝑚𝑔

39. Obtención de una ED con valores
iniciales y de frontera
F = −𝑚𝑔
F(t) = 𝑚
𝑑2
𝑧
𝑑𝑡2
−𝑔 =
𝑑2
𝑧
𝑑𝑡2

40. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES
POR INTEGRACIÓN DIRECTA
 Dado que las ecuaciones diferenciales incluyen
derivadas y cada integración reduce el orden de
una derivada en una unidad, es natural considerar
que la integración directa es un método
prometedor para resolver ecuaciones
diferenciales.
𝑦′′
− 𝑥2
𝑒−6𝑥
= 0 𝑦′′
+ 3𝑥𝑦 − 𝑥2
𝑒−6𝑥
= 0

41. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES
POR INTEGRACIÓN DIRECTA
 Al resolver una ecuación diferencial por
integración directa, todos los términos de ésta se
integran uno a uno aplicando las reglas de
integración, y se agrega una constante de
integración. Cada vez que se integra la ecuación,
el orden de la derivada se reduce en uno, y se
introduce una nueva constante de integración.
 Ejemplo:
𝑦′′
− 12𝑥 = 0 𝑦′′
+ 𝑦 − 12𝑥 = 0

42. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES
POR INTEGRACIÓN DIRECTA
 Ejemplo:
𝑦′′
− 12𝑥 = 0 𝑦′′
+ 𝑦 − 12𝑥 = 0

43. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES
POR INTEGRACIÓN DIRECTA
 Ejemplo: Determine si las siguientes ecuaciones
pueden resolverse por integración directa y
obtenga la solución de las que se puedan
solucionarse.
𝑦′
− 5𝑦 + 3 = 0
𝑦′′
− 6𝑥2
= 0
2𝑦𝑦′
− 4 = 0

44. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES
POR INTEGRACIÓN DIRECTA
 Ejemplo:
𝑦′
− 5𝑦 + 3 = 0
𝑦′′
− 6𝑥2
= 0
2𝑦𝑦′
− 4 = 0

45. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES
POR INTEGRACIÓN DIRECTA
Actividad de aprendizaje
 Ejercicio. Determine si las siguientes ecuaciones
pueden resolverse por integración directa y
obtenga la solución de las que se puedan
solucionarse.
𝑦′
= 0
𝑒𝑥
𝑦′
− 𝑥𝑒3𝑥
= 0
2𝑦𝑦′
+ 𝑠𝑒𝑛 3𝑥 = 0
𝑦′
+ x = 0
𝑦′
+ y = 0

46. Tarea
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= tan 4𝑥
𝑦´ +
4
𝑥2 − 1
𝑦 = 0
ln 𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 2𝑥2 ln 𝑥

47. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES
POR INTEGRACIÓN DIRECTA CON
CONDICIONES INICIALES
 Ejemplo: Caída libre de un cuerpo
 Un atrevido paracaidista equipado
salta desde la cúspide de un edificio
de 100 m en una ubicación donde la
aceleración gravitacional es 𝑔 =
9.8 𝑚/𝑠2
. El paracaídas se abre
3 s después del salto. Despreciando la
resistencia del aire, determine la
altura del individuo cuando se abre el
paracaídas.

48. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES
POR INTEGRACIÓN DIRECTA CON CONDICIONES INICIALES
𝑑2
𝑠
𝑑𝑡2
= −𝑔
𝑑𝑠
𝑑𝑡
= −𝑔𝑡 + 𝑐1
𝑠 𝑡 = −
1
2
𝑔𝑡2
+ 𝑐1𝑡 + 𝑐2
𝑣 0 =
𝑑𝑠
𝑑𝑡
= 0
𝑠(0) = 100

49. Teorema de Existencia y Unicidad
 Si la función 𝑓(𝑥, 𝑦) y su derivada
𝜕𝑓
𝜕𝑦
son continuas
en un dominio [𝑥0, 𝑦0], el problema de condiciones
iniciales
𝑦′ = 𝑓 𝑥, 𝑦
𝑦 𝑥0 = 𝑦0
 Tiene una única solución para cada condición
inicial 𝑥0, 𝑦0 en el dominio.

50. Teorema de Existencia y Unicidad
 Ejemplo
𝑎) 𝑦′
+ 𝑦 = 0
𝑦(1) = 3

51. Teorema de Existencia y Unicidad
 Ejemplo
𝑏) 𝑦′
+ 2 𝑦 = 0
𝑦 1 = 0

52. Teorema de Existencia y Unicidad
 Ejemplo
𝑐) 𝑥2
𝑦′
+ 𝑦2
= 0
𝑦(0) = 1

53. Teorema de Existencia y Unicidad
 Ejercicio: Verifica si los problemas de valor inicial
dados satisfacen las condiciones del teorema de
existencia y unicidad.
𝑎)𝑦2
𝑦′
− 𝑥 − 1 = 0
𝑦(1) = 0
𝑏) 𝑦′
− 𝑥 𝑦5 = 0
𝑦(0) = 0
𝑐) 𝑥𝑦𝑦′
− 1 = 0
𝑦(0) = 0

54. 1.2 Ecuaciones Diferenciales de Primer
Orden
 Se dice que la ED de primer orden en su forma
estándar
 Es Separable si ℎ(𝑥, 𝑦) puede expresarse como la
relación de una función de 𝑥 y una función de 𝑦.
Es decir:
𝑦′
= ℎ(𝑥, 𝑦)
ℎ 𝑥, 𝑦 =
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑦)

55. 1.2 Ecuaciones Diferenciales de Primer
Orden
 Asi:
 O bien: 𝑔(𝑦)𝑦′ = 𝑓(𝑥)
 Aplicando la integración directa:
𝑔 𝑦 𝑑𝑦 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑦′
=
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑦)

56. 1.2 Ecuaciones Diferenciales de Primer
Orden
 Transformación de ecuaciones no separables en
separables
 Una ED no separable a veces puede transformarse
en una separable al cambiar de variable.
 Si la ecuación incluye combinaciones repetidas de
x y y en cierta forma, la combinación es una
opción obvia para la primera prueba de otra
variable.
𝑦′
= 𝑓 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 → 𝑣 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐

57. 1.2 Ecuaciones Diferenciales de Primer
Orden
𝑦′
= 𝑓 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 → 𝑣 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐

58. 1.2 Ecuaciones Diferenciales de Primer
Orden
 Ejemplo: Resuelva la siguiente ecuación
diferencial 𝑦′ = 2𝑥 + 2𝑦 + 3 2 + 4𝑥 + 4𝑦 + 6
𝑦′ = 𝑣2 + 2𝑣
𝑣′
2 + 2(𝑣2 + 2𝑣)
= 1
1𝑑𝑣
2(𝑣 + 1)2
= 𝑑𝑥 2𝑥 + 2𝑦 + 3 = −1 −
1
2(𝑥 + 𝑐)

59. 1.2 Ecuaciones Diferenciales de Primer
Orden
 Ejemplo: Resuelva la siguiente ecuación
diferencial 𝑦′ = 2𝑥 + 2𝑦 + 3 2 + 4𝑥 + 4𝑦 + 6
𝑦′ = 𝑣2 + 2𝑣
𝑣′
2 + 2(𝑣2 + 2𝑣)
= 1
1𝑑𝑣
2(𝑣 + 1)2
= 𝑑𝑥 2𝑥 + 2𝑦 + 3 = −1 −
1
2(𝑥 + 𝑐)

60. 1.2 Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
 Resuelve el siguiente Ejercicio:
 El Aerobee es un cohete de dos etapas que se usa para investigación
atmosférica. La primera etapa tiene un empuje 𝑇 = 217 𝑘𝑁 y una masa de
despegue de 𝑚 = 3839𝑘𝑔. La fuerza de arrastre aerodinámico 𝐷 depende del
cuadrado de la velocidad de esta manera: 𝐷 =
𝜌𝐶𝐷𝐴𝑣2
2
, donde 𝜌 es la densidad
de la masa atmosférica, A es el área de sección transversal del cohete (la
superficie perpendicular al flujo) y 𝐶𝐷 es el coeficiente de arrastre. Para el
Aerobee, A = 0.114𝑚2, 𝐶𝐷 = 0.4, y para la atmósfera baja, 𝜌 = 1.204 𝑘𝑔
𝑚3.
Por tanto, la fuerza de arrastre en newtons es 𝐷 = 0.027𝑣2, donde 𝑣 está en
metros por segundo (𝑚
𝑠).
 a) Obtenga la ecuación del movimiento para la velocidad v.
 b) Determine la velocidad del cohete después de 5 s.

61. 1.2 Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
 Suponiendo que el cohete se mueve
solo verticalmente, el diagrama de
cuerpo libre puede trazarse como
se muestra:
𝑓 𝑡 = 𝑚𝑎 = 𝑚
𝑑𝑣
𝑑𝑡
 Por la ley de Newton

62. 1.2 Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
 Considerando la dirección de todas
las fuerzas que actúan sobre el
cohete.
𝑚
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= 𝑇 − 𝑚𝑔 − 𝐷

63. Actividad de aprendizaje
 Resolver por separación de variables las siguientes
ecuaciones diferenciales
 Transformar y resolver por separación de variables
la siguiente ecuaciones diferenciales
1. ) cos 𝑥 cos 𝑦 + (𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑦 )𝑦′ = 0
2. ) 2𝑥𝑦𝑦′
= 1 + 𝑦2
; 𝑦 2 = 3
3. ) 𝑦 + 𝑥2 + 𝑦2 𝑑𝑥 − 𝑥𝑑𝑦 = 0

64. 1.5 Actividad de aprendizaje
 Transformar y resolver por separación de variables
la siguiente ecuaciones diferenciales
1.
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 6𝑥 − 3𝑦 + 4 3 + 2
2.
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1+ 𝑥+𝑦 2
𝑥+𝑦 2
3.
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑦2 + 1; 𝑦 0 = 0

65. 1.2 Ecuaciones Diferenciales de Primer
Orden
Una ecuación diferencial de primer orden puede
expresarse en la forma:
Se llama ecuación diferencial exacta en una región D
si existe la fusión 𝑓(𝑥, 𝑦)tal que:
𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0
𝜕𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑥
= 𝑀(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦
= 𝑁(𝑥, 𝑦)

66. 1.2 Ecuaciones Diferenciales de Primer
Orden
Si las derivadas parciales
𝜕𝑀(𝑥,𝑦)
𝜕𝑦
y
𝜕𝑁(𝑥,𝑦)
𝜕𝑥
son continuas
en la región D, entonces la ecuación diferencial:
Es exacta en esta región si y solo si
𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0
𝜕𝑀(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦
=
𝜕𝑁(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑥

67. 1.2 Ecuaciones Diferenciales de Primer
Orden
Compruebe que la ecuación diferencial 2𝑥 + 2𝑦𝑦′ = 0
es exacta, y luego resuélvala.
La ecuación diferencial es exacta:
𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0
2𝑥𝑑𝑥 + 2𝑦𝑑𝑦 = 0
𝜕𝑀(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦
=
𝜕𝑁(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑥

68. Actividad de aprendizaje
 Resuelva el siguiente problema de valor inicial:
1. )𝑦′
= −
2𝑒2𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑦 + 2𝑥𝑦
𝑒2𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑦 + 𝑥2
𝑦(0) =
𝜋
2

69. 1.2 Ecuaciones Diferenciales de Primer
Orden
Solución alternativa: Método de agrupamiento
El método anterior es prolongado y exige considerable
cuidado y paciencia. Para quienes tienen poca paciencia y
mucha intuición, hay un procedimiento alterno muy
atractivo llamado método de agrupamiento y se basa en
expresar la ecuación diferencial como la suma de las
derivadas de los términos.
Ejemplo:
(2𝑒2𝑥𝒔𝒆𝒏 𝒚 + 2𝑥𝒚) + (𝒆𝟐𝒙𝑐𝑜𝑠 𝑦 + 𝒙𝟐)𝑦′ = 0

70. 1.2 Ecuaciones Diferenciales de Primer
Orden
Ejemplo: (2𝑒2𝑥𝒔𝒆𝒏 𝒚 + 2𝑥𝒚) + (𝒆𝟐𝒙𝑐𝑜𝑠 𝑦 + 𝒙𝟐)𝑦′ = 0

71. 1.2 Ecuaciones Diferenciales de Primer
Orden
Factor de integración
La ecuación diferencial 𝑦 + 2𝑥𝑦′
= 0, no es exacta ya,
que
𝜕𝑀(𝑥,𝑦)
𝜕𝑦
≠
𝜕𝑁(𝑥,𝑦)
𝜕𝑥
, por lo tanto esta ecuación no
puede resolverse por los métodos anteriores.
𝑦(𝑦 + 2𝑥𝑦′
= 0)
𝑦2
+ 2𝑥𝑦𝑦′
= 0

72. 1.2 Ecuaciones Diferenciales de Primer
Orden
Factor de integración
La ecuación diferencial 𝑦 + 2𝑥𝑦′
= 0, no es exacta ya,
que
𝜕𝑀(𝑥,𝑦)
𝜕𝑦
≠
𝜕𝑁(𝑥,𝑦)
𝜕𝑥
, por lo tanto esta ecuación no
puede resolverse por los métodos anteriores.
𝑦(𝑦 + 2𝑥𝑦′
= 0)
𝑦2
+ 2𝑥𝑦𝑦′
= 0

73. 1.2 Ecuaciones Diferenciales de Primer
Orden
Factor de integración
Resolver la ecuación 𝑦2
+ 1 𝑑𝑥 + 𝑥𝑦𝑑𝑦 = 0

74. 1.2 Ecuaciones Diferenciales de Primer
Orden
La clase más conocida de ecuaciones diferenciales
que pueden reducirse a la forma separable es la
ecuación homogénea. Se dice que una ecuación
diferencial de primer orden es homogénea si es posible
expresarla como
Es decir, la función f de una ecuación homogénea
puede expresarse como 𝑓 𝑣 , donde 𝑣 = 𝑦
𝑥.
𝑦′
= 𝑓
𝑦
𝑥
→ 𝑦′
= 𝑓 𝑣

75. 1.2 Ecuaciones Diferenciales de Primer
Orden
Ejemplo:
𝑦′ =
𝑥3 − 𝑦3
𝑥2𝑦
𝑦′
=
1
𝑣
− 𝑣2

76. 1.2 Ecuaciones Diferenciales de Primer
Orden
 La homogeneidad de las ecuaciones simples puede
determinarse con facilidad mediante la inspección.
Pero cuando se trata de ecuaciones complicadas,
quizá sea necesario aplicar la siguiente prueba de
homogeneidad: en la ecuación diferencial,
reemplace todas las 𝑥 por ƛ𝐱, y todas las 𝑦 por ƛ𝐲, y
simplifique. Si después de la simplificación todas las
ƛ se cancelan y terminamos con la ecuación original,
entonces la ecuación diferencial es homogénea.

77. 1.2 Ecuaciones Diferenciales de Primer
Orden
 Ejemplo:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑥3−𝑦3
𝑥2𝑦
𝑑(ƛ𝑦)
𝑑(ƛ𝑥)
=
(ƛ𝑥)3
−(ƛ𝑦)3
ƛ𝑥 2(ƛ𝑦)
ƛ
ƛ
𝑑(𝑦)
𝑑(𝑥)
=
ƛ3
𝑥3
− ƛ3
𝑦3
ƛ3𝑥2𝑦
 Como regla practica, una ecuación que incluye
potencias de 𝑥 y 𝑦 es homogénea si las sumas de las
potencias de 𝑥 y 𝑦 de cada termino en el numerador y
el denominador son idénticas en el lado derecho

78. 1.2 Ecuaciones Diferenciales de Primer
Orden
Una vez que se determina que una ecuación es
homogénea, su reducción a forma separable y
sus soluciones son sencillas.
Primero definimos una nueva variable 𝑣 = 𝑦
𝑥 .
Entonces 𝑦 = 𝑣𝑥, y su derivada con respecto a 𝑥
es:
𝑦′ = 𝑣 + 𝑥𝑣′
𝑣 + 𝑥𝑣′ = 𝑓(𝑣)
→ 𝑦′= 𝑓 𝑣

79. 1.2 Ecuaciones Diferenciales de Primer
Orden
Ejemplo: y′ =
𝑦 − 𝑥
𝑦 + 𝑥
ln 𝑥 𝑣2 + 1 + 𝑡𝑎𝑛−1𝑣 = 𝑐

80. 1.2 Ecuaciones Diferenciales de Primer
Orden
Actividad de aprendizaje
1. Resolver la ecuación 𝑥 + 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑦 = 0
2. Resolver 𝑦′
=
𝑥2+𝑦2
𝑥𝑦
3. Resolver 𝑦(ln 𝑦2
− ln 𝑥2
+ 1)𝑑𝑥 − 𝑥𝑑𝑦 = 0 ; 𝑦 1 = 𝑒𝜋