Este documento describe el método de integración por cambio de variable, que consiste en sustituir parte de la integral por una nueva variable para simplificar la integral. Se presentan dos casos de cambio de variable: uno donde el cambio debe ser determinado por el estudiante y otro donde el cambio ya está dado. Se incluyen ejemplos de aplicación de este método a integrales racionales y trigonométricas.

1. Integración por cambio de variable o sustituciónEste método consiste en sustituir parte de la integral por una nueva variable para que la integral resultante sea más sencilla o inmediata.Nos encontraremos dos casos:El cambio debe buscarlo el alumno. Al principio parecerá difícil pero con la práctica verás que no lo es tanto.

2. El cambio ya viene dado para algunos tipos de integrales, sólo tendrás que memorizar el tipo y el cambio a aplicar.Calisto López - Centro de Estudiso MAE

3. Ejemplo 1:Esta integral, es bastante sencilla, incluso la podríamos hacer de forma inmediata, pero la haremos por sustitución. El cambio a aplicar será:1.- El primer paso será derivar las dos partes de la expresión para obtener los diferenciales:2.- Después despejamos el dx:3.- Aplicamos el cambio a la integral y simplificamos::4.- Obtenemos una integral inmediata, que tras resolver debemos deshacer el cambio:Calisto López - Centro de Estudiso MAE

4. Ejemplo 2:En este caso aplicaremos el cambio:1.- Derivaremos las dos partes de la expresión para obtener los diferenciales, en este caso ya tenemos dx despejado:2.- Sustituimos y simplificamos, peo observamos que se nos queda una “x”3.- Cuando se nos queda una “x” debemos despejarla del cambio inicial y sustituir “x=t2+1”:Calisto López - Centro de Estudiso MAE

5. 4.- Como ves resulta una integral racional donde el grado del numerador es igual al grado del denominador, luego debemos dividir el cociente y aplicar la regla: 5.- Las integrales obtenidas son inmediatas. Después, deshacemos el cambio despejando t de la sustitución inicial:Calisto López - Centro de Estudiso MAE

6. Cambio fundamental de la trigonometría:Calisto López - Centro de Estudiso MAECuando en una integral os aparezcan razones trigonométricas podéis usar el cambio fundamental de la trigonometría:A partir de esta expresión se deducen los cambios: