Este documento describe el método de la transformada inversa para generar números aleatorios de cualquier distribución de probabilidad continua. Explica que este método genera primero un número aleatorio U con distribución uniforme entre 0 y 1, luego calcula el valor x correspondiente a la función de distribución inversa F de la distribución deseada. Finalmente, x se toma como el número aleatorio generado según dicha distribución. También presenta algunas propiedades y teoremas relacionados con la transformada inversa de Laplace.

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REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPLAR PARA LA EDUCACION UNIVERSITARIA
TACHIRA –SAN CRISTOBAL
-AUTOR:
-CORREA RABELO
GILBER ALEJANDRO
-C.I. 27.026.151
-ESCUELA:
ING. INDUSTRIAL
SAN CRISTOBAL-16-JUNIO DEL 2015

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METODO DE LA TRANSFORMADA INVERSA
El método de la transformada (o transformación) inversa, también conocido
como método de la inversa de la transformada, es un método para la
generación de números aleatorios de cualquier distribución de probabilidad
continua cuando se conoce la inversa de su función de distribución (cdf). Este
método es en general aplicable, pero puede resultar muy complicado obtener una
expresión analítica de la inversa para algunas distribuciones de probabilidad.
El método de Box-Muller es un ejemplo de algoritmo que aunque menos general,
es más eficiente desde el punto de vista computacional.
Obtención del método
El método de la transformada inversa se basa en el siguiente teorema:
Teorema de inversión. Sea X una variable aleatoria
con función de distribución de probabilidad acumulada F,
continua e invertible, y sea su función inversa.
Entonces, la variable aleatoria U = F(X) tiene distribución
uniforme en . Como consecuencia, si U es una
variable aleatoria uniforme en entonces la
variable aleatoria satisface la
distribución F.

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EL METODO
El problema que resuelve el método de la transformada inversa es el siguiente:
 Sea X una variable aleatoria cuya distribución puede ser descrita por la cdf F.
 Se desea generar valores de X que están distribuidos según dicha distribución.
Numerosos lenguajes de programación poseen la capacidad de generar números
aleatorios que se encuentran distribuidos de acuerdo con una distribución
uniforme estándar d.
Si una variable aleatoria posee ese tipo de distribución, entonces la
probabilidad de que el número caiga dentro de cualquier sub intervalo (a, b) del
intervalo entre 0 a 1 es la longitud del subintervalo, o sea b − a.
El método de la transformada inversa funciona de la siguiente manera:
1. Se genera un número aleatorio a partir de la distribución uniforme standard; se
lo llama u.
2. Se calcula el valor x tal que ; y se lo llama xelegido.
3. Se toma xelegido como el número aleatorio extraído de la distribución
caracterizada por F.
Demostración del teorema
Sea
(por definición de )
(aplicando F, que es monótona, a ambos lados)

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(porque , dado que U es uniforme en el
intervalo unitario)
La transformada inversa de Laplace
Al aplicar la transformada de Laplace a una ecuación diferencial la convertimos en una
ecuación algebraica, la cual podemos resolver para , es decir, .
Ahora, como si pudiéramos devolvernos obtendríamos la
solución que buscamos. Es decir, necesitamos de la transformada
inversa , para hallar la función
Entonces definamos la transformada inversa.
Definición [Transformada inversa de Laplace]
Si es la transformada de Laplace de una función continua , es
decir, , entonces la transformada inversa de Laplace
de , escrita es , es decir,

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Ejemplo
Calcule
Solución
Puesto que
tenemos que
Observación existe un problema potencial al trabajar con la transformada inversa,
puede no ser única. En efecto, es posible que , siendo .
Para nuestro propósito esto no es tan malo como parece, pues, si y son continuas
y de orden exponencial en y , entonces ; pero,
si y son continuas y de orden exponencial en y ,
entonces se puede demostrar que las funciones y son casi iguales; esto quiere
decir, que pueden diferir sólo en puntos de discontinuidad.

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Ejemplo
Calcule , donde esta dada por
¿Qué se puede concluir ?
Solución
Usando la definición de transformada
Pero, anteriormente hemos comprobado que
con lo cual las funciones y tienen la misma transformada, de este modo, la

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transformada inversa de
no es única.
El siguiente resultado establece el comportamiento de en infinito.
Teorema [Comportamiento de en infinito]
Sea una función continua a trozos y de orden
exponencial en , entonces
Demostración
Puesto que es continua a trozos en necesariamente es acotada en este
intervalo; o sea, para todo . De donde
y así cuando , de modo que cuando .
Observación: el resultado anterior es válido independientemente de que sea

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continua a trozos o de orden exponencial, basta con que existe.
Ejemplo
¿ Porqué no existe una función tal que ?
Solución
Suponga que existe, entonces por el teorema anterior
lo cual es falso; por lo tanto no existe tal función.
Observación: con un argumento similar podemos concluir que no existen una
función tal que , , , , es decir,
estas funciones no tienen transformada inversa. Por otro lado, una función
racional es la transformada de alguna función si el grado del
numerador es menor que la del denominador .
Los siguientes resultados son útiles en análisis de sistemas de control automático,
especialmente cuando se trazan gráficas.
Teorema [Del valor inicial]
Si y existe y es igual a ,
entonces

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Demostración:
Como
y
siempre y cuando sea continua a trozos y de orden exponencial. Tenemos que
siempre y cuando sea continua por la derecha en .
Ejemplo
Si , calcule .
Solución
Usando el teorema del valor inicial
Note que no fue necesario calcular .

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Teorema [Del valor final]
Si y el límite existe, entonces
Demostración:
Análoga a la anterior.
El siguiente teorema establece la linealidad de la transformada inversa.
Teorema [Linealidad de la transformada inversa]
Sean y funciones continuas a trozos y de orden exponencial en el
intervalo tales que y ,
entonces
Ejemplo

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Calcule
Solución
Para usar la propiedad de linealidad de la transformada inversa de Laplace primero
debemos expandir
en fraciones parciales
ahora sí
El siguiente ejemplo ilustra el proceso que vamos a usar en la solución de ecuaciones
diferenciales mediante Laplace. Es un ejemplo que puede ser resuelto de manera más
eficiente con las técnicas ya estudiadas, pero el objetivo es aplicar algunas de las
propiedades enunciadas hasta ahora e introducir la técnica de solución de ecuaciones
diferenciales.
Ejemplo

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Use la transformada de Laplace para resolver el problema de valor inicial
Solución
Aplicando transformada de Laplace a ambos lados de la ecuación diferencial
Ahora debemos de aplicar transformada inversa para hallar

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Observación: está ecuación diferencial puede resolverse como una ecuación lineal con
factor integrante .