Este documento discute la suma y resta de polinomios. Primero, explica por qué es importante aprender estos conceptos a pesar de que existen calculadoras que pueden hacer las operaciones. Luego, presenta un ejemplo de restar polinomios y analiza los conocimientos previos necesarios para resolverlo, como las propiedades de los números negativos y la propiedad distributiva. Finalmente, resume los pasos para combinar términos semejantes basados en la propiedad distributiva.
Este documento presenta una guía de estudio sobre polinomios. Explica los procedimientos para sumar, restar, multiplicar y dividir polinomios, incluyendo ejemplos. También presenta un juego de mesa para practicar la factorización de polinomios usando tarjetas con expresiones algebraicas y un tablero con factores. El objetivo es reconocer factores consecutivos en la "sopa de factores" para descomponer los polinomios de cada jugador.
El documento presenta los resultados de una encuesta de matemáticas que incluye preguntas sobre ecuaciones, literales y operaciones. Más del 70% de los estudiantes respondieron incorrectamente una pregunta sobre el proceso para resolver ecuaciones y su aplicación en diferentes contextos.
El documento presenta la unidad de aprendizaje de Álgebra para el primer semestre de bachillerato. La unidad se divide en tres competencias e incluye objetivos, actividades y productos integradores. Las actividades siguen los principios de aprendizaje constructivista y la taxonomía SOLO para desarrollar las competencias de manera gradual. El aprendizaje se centra en expresiones algebraicas, ecuaciones de primer y segundo grado, y su aplicación a problemas de la vida cotidiana.
Este documento presenta la introducción a un cuaderno sobre álgebra. Explica que el álgebra permite generalizar y representar propiedades matemáticas usando letras en lugar de números específicos. También introduce la sintaxis simbólica para expresiones algebraicas, incluyendo el uso de paréntesis y el orden de las operaciones. El objetivo es avanzar más allá de la aritmética hacia un campo más abstracto y general.
Este documento presenta una introducción a los engaños matemáticos y propone calcular el valor de pi de forma geométrica. Explica que dividirá un semicírculo en más y más partes para que la curva resultante se acerque a una línea recta, permitiendo calcular pi. Luego muestra algunos ejemplos de engaños matemáticos como demostrar que -1=1 y que el número más grande es 1, prometiendo explicar los trucos luego.
Unos cuantos trucos útiles, para alumnos del álgebraJames Smith
Este documento te ahorrará mucho tiempo y frustración. Es el Capítulo 7 del libro disponible en http://www.slideshare.net/JamesSmith245/el-lgebra-una-perspectiva-diferente-que-la-integra-con-conocimentos-previos .
Ejercicios detallados del obj 1 mat i (175 176-177)Jonathan Mejías
El documento presenta un material para estudiar matemáticas a distancia. Motiva al lector a creer en sí mismo y superar la idea de que la matemática es difícil. Explica que en la página web del autor se encontrará ayuda adicional y que el objetivo es que el lector aprenda matemáticas y pueda ayudar a otros.
Este documento explica cómo enseñar la división por dos cifras de forma que los estudiantes comprendan el razonamiento detrás del algoritmo en lugar de aprenderlo de memoria. Explica que dividir por dos cifras significa dividir cuando el divisor está entre 11 y 99, y que es importante mostrar a los estudiantes cómo los matemáticos construyeron este algoritmo de cálculo paso a paso partiendo de la idea básica de división. Luego, ilustra este proceso dividendo 45032 entre 36 para demostrar cómo reducir repetidas restas a una sola suma col
Este documento presenta una guía de estudio sobre polinomios. Explica los procedimientos para sumar, restar, multiplicar y dividir polinomios, incluyendo ejemplos. También presenta un juego de mesa para practicar la factorización de polinomios usando tarjetas con expresiones algebraicas y un tablero con factores. El objetivo es reconocer factores consecutivos en la "sopa de factores" para descomponer los polinomios de cada jugador.
El documento presenta los resultados de una encuesta de matemáticas que incluye preguntas sobre ecuaciones, literales y operaciones. Más del 70% de los estudiantes respondieron incorrectamente una pregunta sobre el proceso para resolver ecuaciones y su aplicación en diferentes contextos.
El documento presenta la unidad de aprendizaje de Álgebra para el primer semestre de bachillerato. La unidad se divide en tres competencias e incluye objetivos, actividades y productos integradores. Las actividades siguen los principios de aprendizaje constructivista y la taxonomía SOLO para desarrollar las competencias de manera gradual. El aprendizaje se centra en expresiones algebraicas, ecuaciones de primer y segundo grado, y su aplicación a problemas de la vida cotidiana.
Este documento presenta la introducción a un cuaderno sobre álgebra. Explica que el álgebra permite generalizar y representar propiedades matemáticas usando letras en lugar de números específicos. También introduce la sintaxis simbólica para expresiones algebraicas, incluyendo el uso de paréntesis y el orden de las operaciones. El objetivo es avanzar más allá de la aritmética hacia un campo más abstracto y general.
Este documento presenta una introducción a los engaños matemáticos y propone calcular el valor de pi de forma geométrica. Explica que dividirá un semicírculo en más y más partes para que la curva resultante se acerque a una línea recta, permitiendo calcular pi. Luego muestra algunos ejemplos de engaños matemáticos como demostrar que -1=1 y que el número más grande es 1, prometiendo explicar los trucos luego.
Unos cuantos trucos útiles, para alumnos del álgebraJames Smith
Este documento te ahorrará mucho tiempo y frustración. Es el Capítulo 7 del libro disponible en http://www.slideshare.net/JamesSmith245/el-lgebra-una-perspectiva-diferente-que-la-integra-con-conocimentos-previos .
Ejercicios detallados del obj 1 mat i (175 176-177)Jonathan Mejías
El documento presenta un material para estudiar matemáticas a distancia. Motiva al lector a creer en sí mismo y superar la idea de que la matemática es difícil. Explica que en la página web del autor se encontrará ayuda adicional y que el objetivo es que el lector aprenda matemáticas y pueda ayudar a otros.
Este documento explica cómo enseñar la división por dos cifras de forma que los estudiantes comprendan el razonamiento detrás del algoritmo en lugar de aprenderlo de memoria. Explica que dividir por dos cifras significa dividir cuando el divisor está entre 11 y 99, y que es importante mostrar a los estudiantes cómo los matemáticos construyeron este algoritmo de cálculo paso a paso partiendo de la idea básica de división. Luego, ilustra este proceso dividendo 45032 entre 36 para demostrar cómo reducir repetidas restas a una sola suma col
Este documento presenta una introducción al álgebra. Primero, destaca la necesidad de ir más allá de la aritmética para generalizar las propiedades de las operaciones numéricas usando letras en lugar de números específicos. Luego, explica la sintaxis simbólica literal que permite representar expresiones algebraicas. Finalmente, establece las reglas para el orden de las operaciones en expresiones que incluyen letras, números, operaciones y paréntesis.
Este documento presenta el libro de primer grado de primaria. Explica que el enfoque se centra en la comprensión de los conceptos más que en los procesos. Introduce los temas de conteo del 1 al 9, diagramas parte-todo, suma y resta, siempre buscando conexiones entre los conceptos y usando ejemplos y problemas para promover la comprensión.
Este documento presenta el libro de primer grado de primaria. Explica que el enfoque se centra en la comprensión de los conceptos más que en los procesos. Introduce los temas de conteo del 1 al 9, diagramas parte-todo, suma y resta, siempre usando ejemplos visuales y actividades prácticas como inventar historias. El objetivo es que los estudiantes desarrollen una comprensión profunda de los conceptos matemáticos fundamentales a través de la práctica y el diálogo.
El documento discute conceptos matemáticos fundamentales como algoritmos, números naturales y reales. Incluye ejemplos de sumas y restas utilizando diferentes sistemas numéricos como el decimal y el de base 6 y 7. Los estudiantes deben identificar conocimientos previos necesarios para comprender los algoritmos de suma y resta, como la composición y descomposición de números.
Primero de Primaria Libro del profesor. + ideas, - cuentas. 1 o Primaria.pdfelizabetbarrientos
Este documento presenta un libro de texto para primer grado sobre matemáticas. Se enfoca en enseñar los números del 1 al 9, conceptos de cantidad, suma y resta. Usa diagramas, ejercicios prácticos y problemas para ayudar a los estudiantes a comprender los conceptos fundamentales de manera gradual.
Este documento presenta una demostración de una falacia matemática. Explica paso a paso cómo las ecuaciones 1 a 6 parecen correctas pero contienen errores, concluyendo que la igualdad en la línea 5 es incorrecta. El autor argumenta que identificar este tipo de errores ayuda a desarrollar habilidades analíticas importantes para la vida. Finalmente, pide al lector revisar la introducción y demostración nuevamente para comprender plenamente el mensaje.
Este documento presenta un proyecto de aula sobre las operaciones básicas (suma, resta, multiplicación y división) para estudiantes de primaria. El proyecto busca ilustrar estas operaciones usando el software educativo "G-compris" para facilitar su aprendizaje. Se explican los objetivos generales y específicos, el marco conceptual sobre las matemáticas y cada operación, y la metodología de trabajo en fases que incluye identificación del problema, diseño, ejecución, evaluación y cronograma de actividades.
El documento trata sobre la resolución de problemas matemáticos. Explica que la resolución de problemas es una parte esencial de la educación matemática y permite a los estudiantes experimentar la utilidad de las matemáticas. Describe cuatro fases clave para resolver problemas: comprender el problema, trazar un plan, poner el plan en práctica y comprobar los resultados. También presenta varias estrategias para resolver problemas como empezar por lo fácil, hacer experimentos, dibujar diagramas y buscar problemas similares.
El documento habla sobre sumas con dificultad en 2° grado. Explica que estas sumas son difíciles debido al sistema de numeración posicional y tradicionalmente se resolvían de forma mecánica. La secuencia didáctica propuesta se enfoca en descomponer los números para utilizar sumas conocidas que dan 10 y resolver de forma mental. La primera clase fortalece sumas básicas y las siguientes aplican esta estrategia a sumas más difíciles.
Este documento presenta 10 consejos para pensar como un matemático. Estos incluyen preguntarse todo, escribir con palabras en lugar de símbolos, considerar si el recíproco de un enunciado es verdadero, usar el contrarrecíproco, examinar casos extremos, crear propios ejemplos, identificar dónde se usan las hipótesis, comenzar por el lado más complicado, preguntarse qué pasaría si se cambiaran cosas, y hablar con otros sobre las matemáticas. Siguiendo estos consejos, las personas pued
Intertejiendo la intuición con el rigor: El despeje de incógnitas a través d...James Smith
Este documeno es el Capítulo 4 del documento http://www.slideshare.net/JamesSmith245/el-lgebra-una-perspectiva-diferente-que-la-integra-con-conocimentos-previos .
Cabe enfatizar que había una vez cuando fue una nueva idea, la de representar números desconocidos por medio de símbolos. Amén de es-cribir ecuaciones para comunicar la relación en-tre cantidades. Y por lo tanto, fue una nueva idea el “despejar incógnitas” para resolver problemas matemáticos.
Todas estas ideas ocurrieron por primera vez a una u otra persona que intentaba resolver un problema verdadero de la vida, o uno de natura-leza abstracta que les interesó. Con tiempo, esas ideas llevaron al desarrollo de procedimientos que nos permiten resolver muchas ecuaciones con un mínimo de trabajo.
Con frecuencia, se memorizan los procedimien-tos, nada más. Pero para aprender a emplearlos en la resolución de problemas reales, es mejor se-guir los pasos de las personas que los desarrollaron con este fin. Una ventaja adicional de seguir sus pasos, es que de esta forma se aprende cómo usar la intuición en la resolución de problemas mate-máticos, y cómo usar métodos rigorosos para po-nerles cimientos firmes a nuestras ideas intuitivas.
Escribo más sobre la interacción del rigor y de la intuición, después de un resumen del capítulo …
Este documento explica conceptos básicos sobre máximos y mínimos de funciones algebraicas. Define un máximo absoluto como el valor más grande de una función y un mínimo absoluto como el valor más pequeño. También describe máximos y mínimos relativos y métodos para resolver problemas de máximos y mínimos utilizando derivadas. Finalmente, presenta algunos problemas de ejemplo para calcular máximos y mínimos.
Este documento resume conceptos básicos de probabilidad y estadística como probabilidad, estadística, permutaciones, combinaciones, diagrama de árbol, principio multiplicativo y principio aditivo. Explica cada concepto con ejemplos sencillos y proporciona enlaces a recursos adicionales para cada tema.
Este documento presenta un problema matemático con una falacia para que los estudiantes traten de resolver. Explica los pasos del problema de manera detallada y al final revela dónde se encuentra el error: en la factorización, ya que un lado da como resultado 8 y el otro 7. También incluye definiciones de varios términos matemáticos como lógica aristotélica, geometría euclidiana, demostración y afirmación.
Este documento presenta un problema matemático con una falacia para que los estudiantes practiquen encontrar errores. Explica los pasos del problema de manera detallada. Luego, lista conceptos matemáticos importantes como lógica aristotélica, geometría euclidiana y sus definiciones. El error se encuentra en la factorización, donde los resultados no son iguales.
El documento motiva al lector a estudiar matemáticas a distancia y superar la idea de que es la asignatura más difícil. Explica que la clave es mantener una actitud positiva y estar convencido de que se puede aprender y resolver problemas matemáticos. También proporciona recursos en línea para apoyar el aprendizaje.
Este documento presenta conceptos básicos de álgebra como términos algebraicos, expresiones algebraicas, operaciones algebraicas de adición, sustracción y multiplicación, y planteamiento de enunciados en lenguaje algebraico. También introduce el método de inducción para probar afirmaciones y resuelve ejemplos para evitar errores comunes. El lector aprenderá a expresar información mediante símbolos algebraicos y operar con términos de forma correcta.
Este documento presenta una introducción al tema de la adición. Explica que la adición puede verse como una operación matemática formal que involucra la unión de conjuntos, o como un modelo para situaciones de la vida diaria que involucran agregar o reunir cantidades. También discute el significado y uso de términos como numerador y denominador en el contexto de la adición.
Using a Common Theme to Find Intersections of Spheres with Lines and Planes v...James Smith
After reviewing the sorts of calculations for which Geometric Algebra (GA) is especially convenient, we identify a common theme through which those types of calculations can be used to find the intersections of spheres with lines, planes, and other spheres.
Via Geometric Algebra: Direction and Distance between Two Points on a Spheric...James Smith
As a high-school-level example of solving a problem via Geometric (Clifford) Algebra, we show how to calculate the distance and direction between two points on Earth, given the locations' latitudes and longitudes. We validate the results by comparing them to those obtained from online calculators. This example invites a discussion of the benefits of teaching spherical trigonometry (the usual way of solving such problems) at the high-school level versus teaching how to use Geometric Algebra for the same purpose.
Este documento presenta una introducción al álgebra. Primero, destaca la necesidad de ir más allá de la aritmética para generalizar las propiedades de las operaciones numéricas usando letras en lugar de números específicos. Luego, explica la sintaxis simbólica literal que permite representar expresiones algebraicas. Finalmente, establece las reglas para el orden de las operaciones en expresiones que incluyen letras, números, operaciones y paréntesis.
Este documento presenta el libro de primer grado de primaria. Explica que el enfoque se centra en la comprensión de los conceptos más que en los procesos. Introduce los temas de conteo del 1 al 9, diagramas parte-todo, suma y resta, siempre buscando conexiones entre los conceptos y usando ejemplos y problemas para promover la comprensión.
Este documento presenta el libro de primer grado de primaria. Explica que el enfoque se centra en la comprensión de los conceptos más que en los procesos. Introduce los temas de conteo del 1 al 9, diagramas parte-todo, suma y resta, siempre usando ejemplos visuales y actividades prácticas como inventar historias. El objetivo es que los estudiantes desarrollen una comprensión profunda de los conceptos matemáticos fundamentales a través de la práctica y el diálogo.
El documento discute conceptos matemáticos fundamentales como algoritmos, números naturales y reales. Incluye ejemplos de sumas y restas utilizando diferentes sistemas numéricos como el decimal y el de base 6 y 7. Los estudiantes deben identificar conocimientos previos necesarios para comprender los algoritmos de suma y resta, como la composición y descomposición de números.
Primero de Primaria Libro del profesor. + ideas, - cuentas. 1 o Primaria.pdfelizabetbarrientos
Este documento presenta un libro de texto para primer grado sobre matemáticas. Se enfoca en enseñar los números del 1 al 9, conceptos de cantidad, suma y resta. Usa diagramas, ejercicios prácticos y problemas para ayudar a los estudiantes a comprender los conceptos fundamentales de manera gradual.
Este documento presenta una demostración de una falacia matemática. Explica paso a paso cómo las ecuaciones 1 a 6 parecen correctas pero contienen errores, concluyendo que la igualdad en la línea 5 es incorrecta. El autor argumenta que identificar este tipo de errores ayuda a desarrollar habilidades analíticas importantes para la vida. Finalmente, pide al lector revisar la introducción y demostración nuevamente para comprender plenamente el mensaje.
Este documento presenta un proyecto de aula sobre las operaciones básicas (suma, resta, multiplicación y división) para estudiantes de primaria. El proyecto busca ilustrar estas operaciones usando el software educativo "G-compris" para facilitar su aprendizaje. Se explican los objetivos generales y específicos, el marco conceptual sobre las matemáticas y cada operación, y la metodología de trabajo en fases que incluye identificación del problema, diseño, ejecución, evaluación y cronograma de actividades.
El documento trata sobre la resolución de problemas matemáticos. Explica que la resolución de problemas es una parte esencial de la educación matemática y permite a los estudiantes experimentar la utilidad de las matemáticas. Describe cuatro fases clave para resolver problemas: comprender el problema, trazar un plan, poner el plan en práctica y comprobar los resultados. También presenta varias estrategias para resolver problemas como empezar por lo fácil, hacer experimentos, dibujar diagramas y buscar problemas similares.
El documento habla sobre sumas con dificultad en 2° grado. Explica que estas sumas son difíciles debido al sistema de numeración posicional y tradicionalmente se resolvían de forma mecánica. La secuencia didáctica propuesta se enfoca en descomponer los números para utilizar sumas conocidas que dan 10 y resolver de forma mental. La primera clase fortalece sumas básicas y las siguientes aplican esta estrategia a sumas más difíciles.
Este documento presenta 10 consejos para pensar como un matemático. Estos incluyen preguntarse todo, escribir con palabras en lugar de símbolos, considerar si el recíproco de un enunciado es verdadero, usar el contrarrecíproco, examinar casos extremos, crear propios ejemplos, identificar dónde se usan las hipótesis, comenzar por el lado más complicado, preguntarse qué pasaría si se cambiaran cosas, y hablar con otros sobre las matemáticas. Siguiendo estos consejos, las personas pued
Intertejiendo la intuición con el rigor: El despeje de incógnitas a través d...James Smith
Este documeno es el Capítulo 4 del documento http://www.slideshare.net/JamesSmith245/el-lgebra-una-perspectiva-diferente-que-la-integra-con-conocimentos-previos .
Cabe enfatizar que había una vez cuando fue una nueva idea, la de representar números desconocidos por medio de símbolos. Amén de es-cribir ecuaciones para comunicar la relación en-tre cantidades. Y por lo tanto, fue una nueva idea el “despejar incógnitas” para resolver problemas matemáticos.
Todas estas ideas ocurrieron por primera vez a una u otra persona que intentaba resolver un problema verdadero de la vida, o uno de natura-leza abstracta que les interesó. Con tiempo, esas ideas llevaron al desarrollo de procedimientos que nos permiten resolver muchas ecuaciones con un mínimo de trabajo.
Con frecuencia, se memorizan los procedimien-tos, nada más. Pero para aprender a emplearlos en la resolución de problemas reales, es mejor se-guir los pasos de las personas que los desarrollaron con este fin. Una ventaja adicional de seguir sus pasos, es que de esta forma se aprende cómo usar la intuición en la resolución de problemas mate-máticos, y cómo usar métodos rigorosos para po-nerles cimientos firmes a nuestras ideas intuitivas.
Escribo más sobre la interacción del rigor y de la intuición, después de un resumen del capítulo …
Este documento explica conceptos básicos sobre máximos y mínimos de funciones algebraicas. Define un máximo absoluto como el valor más grande de una función y un mínimo absoluto como el valor más pequeño. También describe máximos y mínimos relativos y métodos para resolver problemas de máximos y mínimos utilizando derivadas. Finalmente, presenta algunos problemas de ejemplo para calcular máximos y mínimos.
Este documento resume conceptos básicos de probabilidad y estadística como probabilidad, estadística, permutaciones, combinaciones, diagrama de árbol, principio multiplicativo y principio aditivo. Explica cada concepto con ejemplos sencillos y proporciona enlaces a recursos adicionales para cada tema.
Este documento presenta un problema matemático con una falacia para que los estudiantes traten de resolver. Explica los pasos del problema de manera detallada y al final revela dónde se encuentra el error: en la factorización, ya que un lado da como resultado 8 y el otro 7. También incluye definiciones de varios términos matemáticos como lógica aristotélica, geometría euclidiana, demostración y afirmación.
Este documento presenta un problema matemático con una falacia para que los estudiantes practiquen encontrar errores. Explica los pasos del problema de manera detallada. Luego, lista conceptos matemáticos importantes como lógica aristotélica, geometría euclidiana y sus definiciones. El error se encuentra en la factorización, donde los resultados no son iguales.
El documento motiva al lector a estudiar matemáticas a distancia y superar la idea de que es la asignatura más difícil. Explica que la clave es mantener una actitud positiva y estar convencido de que se puede aprender y resolver problemas matemáticos. También proporciona recursos en línea para apoyar el aprendizaje.
Este documento presenta conceptos básicos de álgebra como términos algebraicos, expresiones algebraicas, operaciones algebraicas de adición, sustracción y multiplicación, y planteamiento de enunciados en lenguaje algebraico. También introduce el método de inducción para probar afirmaciones y resuelve ejemplos para evitar errores comunes. El lector aprenderá a expresar información mediante símbolos algebraicos y operar con términos de forma correcta.
Este documento presenta una introducción al tema de la adición. Explica que la adición puede verse como una operación matemática formal que involucra la unión de conjuntos, o como un modelo para situaciones de la vida diaria que involucran agregar o reunir cantidades. También discute el significado y uso de términos como numerador y denominador en el contexto de la adición.
Using a Common Theme to Find Intersections of Spheres with Lines and Planes v...James Smith
After reviewing the sorts of calculations for which Geometric Algebra (GA) is especially convenient, we identify a common theme through which those types of calculations can be used to find the intersections of spheres with lines, planes, and other spheres.
Via Geometric Algebra: Direction and Distance between Two Points on a Spheric...James Smith
As a high-school-level example of solving a problem via Geometric (Clifford) Algebra, we show how to calculate the distance and direction between two points on Earth, given the locations' latitudes and longitudes. We validate the results by comparing them to those obtained from online calculators. This example invites a discussion of the benefits of teaching spherical trigonometry (the usual way of solving such problems) at the high-school level versus teaching how to use Geometric Algebra for the same purpose.
Solution of a Vector-Triangle Problem Via Geometric (Clifford) AlgebraJames Smith
As a high-school-level application of Geometric Algebra (GA), we show how to solve a simple vector-triangle problem. Our method highlights the use of outer products and inverses of bivectors.
Via Geometric (Clifford) Algebra: Equation for Line of Intersection of Two Pl...James Smith
As a high-school-level example of solving a problem via Geometric Algebra (GA), we show how to derive an equation for the line of intersection between two given planes. The solution method that we use emphasizes GA's capabilities for expressing and manipulating projections and rotations of vectors.
Solution of a Sangaku ``Tangency" Problem via Geometric AlgebraJames Smith
Because the shortage of worked-out examples at introductory levels is an obstacle to widespread adoption of Geometric Algebra (GA), we use GA to solve one of the beautiful \emph{sangaku} problems from 19th-Century Japan. Among the GA operations that prove useful is the rotation of vectors via the unit bivector
Un acercamiento a los determinantes e inversos de matricesJames Smith
Este documento presenta un resumen de tres oraciones sobre los determinantes e inversos de matrices. Introduce los conceptos de matrices y sistemas de ecuaciones lineales, y explica cómo la resolución de sistemas lleva a las ideas de determinantes de matrices y la inversa de una matriz. Finalmente, compara las versiones matricial y no matricial de resolver sistemas lineales.
Understanding the "Chain Rule" for Derivatives by Deriving Your Own VersionJames Smith
Because the Chain Rule can confuse students as much as it helps them solve real problems, we put ourselves in the shoes of the mathematicians who derived it, so that students may understand the motivation for the rule; its limitations; and why textbooks present it in its customary form. We begin by finding the derivative of sin2x without using the Chain Rule. That exercise, having shown that even a comparatively simple compound function can be bothersome to differentiate using the definition of the derivative as a limit, provides the motivation for developing our own formula for the derivative of the general compound function g[f(x)]. In the course of that development, we see why the function f must be continuous at any value of x to which the formula is applied. We finish by comparing our formula to that which is commonly given.
As a demonstration of the coherence of Geometric Algebra's (GA's) geometric and algebraic concepts of bivectors, we add three geometric bivectors according to the procedure described by Hestenes and Macdonald, then use bivector identities to determine, from the result, two vectors whose outer product is equal to the initial sum. In this way, we show that the procedure that GA's inventors defined for adding geometric bivectors is precisely that which is needed to give results that coincide with those obtained by calculating outer products of vectors that are expressed in terms of a 3D basis. We explain that that accomplishment is no coincidence: it is a consequence of the attributes that GA's designers assigned (or didn't) to bivectors.
Learning Geometric Algebra by Modeling Motions of the Earth and Shadows of Gn...James Smith
Because the shortage of worked-out examples at introductory levels is an obstacle to widespread adoption of Geometric Algebra (GA), we use GA to calculate Solar azimuths and altitudes as a function of time via the heliocentric model. We begin by representing the Earth's motions in GA terms. Our representation incorporates an estimate of the time at which the Earth would have reached perihelion in 2017 if not affected by the Moon's gravity. Using the geometry of the December 2016 solstice as a starting point, we then employ GA's capacities for handling rotations to determine the orientation of a gnomon at any given latitude and longitude during the period between the December solstices of 2016 and 2017. Subsequently, we derive equations for two angles: that between the Sun's rays and the gnomon's shaft, and that between the gnomon's shadow and the direction ``north" as traced on the ground at the gnomon's location. To validate our equations, we convert those angles to Solar azimuths and altitudes for comparison with simulations made by the program Stellarium. As further validation, we analyze our equations algebraically to predict (for example) the precise timings and locations of sunrises, sunsets, and Solar zeniths on the solstices and equinoxes. We emphasize that the accuracy of the results is only to be expected, given the high accuracy of the heliocentric model itself, and that the relevance of this work is the efficiency with which that model can be implemented via GA for teaching at the introductory level. On that point, comments and debate are encouraged and welcome.
Solution of a High-School Algebra Problem to Illustrate the Use of Elementary...James Smith
This document is the first in what is intended to be a collection of solutions of high-school-level problems via Geometric Algebra (GA). GA is very much "overpowered" for such problems, but students at that level who plan to go into more-advanced math and science courses will benefit from seeing how to "see" basic problems in GA terms, and to then solve those problems using GA identities and common techniques.
Nuevo Manual de la UNESCO para la Enseñanza de CienciasJames Smith
Este documento presenta el prefacio de una nueva edición del Manual de la Unesco para la Enseñanza de las Ciencias. Explica que la nueva edición actualiza el contenido y proporciona más material científico para cursos introductorios de ciencias. Detalla el proceso de revisión llevado a cabo por expertos de varios países bajo la coordinación de la Universidad de Maryland. El objetivo del manual es proveer ideas y recursos para que los maestros puedan enseñar ciencias de manera práctica utilizando materiales disponibles local
Calculating the Angle between Projections of Vectors via Geometric (Clifford)...James Smith
We express a problem from visual astronomy in terms of Geometric (Clifford) Algebra, then solve the problem by deriving expressions for the sine and cosine of the angle between projections of two vectors upon a plane. Geometric Algebra enables us to do so without deriving expressions for the projections themselves.
Estimation of the Earth's "Unperturbed" Perihelion from Times of Solstices an...James Smith
Published times of the Earth's perihelions do not refer to the perihelions of the orbit that the Earth would follow if unaffected by other bodies such as the Moon. To estimate the timing of that ``unperturbed" perihelion, we fit an unperturbed Kepler orbit to the timings of the year 2017's equinoxes and solstices. We find that the unperturbed 2017 perihelion, defined in that way, would occur 12.93 days after the December 2016 solstice. Using that result, calculated times of the year 2017's solstices and equinoxes differ from published values by less than five minutes. That degree of accuracy is sufficient for the intended use of the result.
Projection of a Vector upon a Plane from an Arbitrary Angle, via Geometric (C...James Smith
We show how to calculate the projection of a vector, from an arbitrary direction, upon a given plane whose orientation is characterized by its normal vector, and by a bivector to which the plane is parallel. The resulting solutions are tested by means of an interactive GeoGebra construction.
Formulas and Spreadsheets for Simple, Composite, and Complex Rotations of Vec...James Smith
We show how to express the representations of single, composite, and "rotated" rotations in GA terms that allow rotations to be calculated conveniently via spreadsheets. Worked examples include rotation of a single vector by a bivector angle; rotation of a vector about an axis; composite rotation of a vector; rotation of a bivector; and the "rotation of a rotation". Spreadsheets for doing the calculations are made available via live links.
How to Effect a Composite Rotation of a Vector via Geometric (Clifford) AlgebraJames Smith
We show how to express the representation of a composite rotation in terms that allow the rotation of a vector to be calculated conveniently via a spreadsheet that uses formulas developed, previously, for a single rotation. The work presented here (which includes a sample calculation) also shows how to determine the bivector angle that produces, in a single operation, the same rotation that is effected by the composite of two rotations.
A Modification of the Lifshitz-Slyozov-Wagner Equation for Predicting Coarsen...James Smith
The story behind this article is instructive, and even a bit troubling. I wrote it in 1991 as a continuation of part of my Doctoral thesis, which I’d completed a few years earlier. During that research, I’d found that scientists who’d done very fine laboratory work on Ostwald ripening during the 1960s had made a curious error in simple mass balances when deriving a rate equation for Ostwald ripening starting from the minimum-entropy-production-rate (MEPR) principle.
That error led the 1960s scientists to reject (with commendable honesty) their hypothesis that the MEPR principle is applicable to Ostwald ripening. Like all the rest of us metallurgists back then, I didn’t catch that error, until I examined the derivation of the MEPR-based rate equation in detail during my thesis work. However, I didn’t manage to re-derive the rate equation fully until I took up the subject again in the early 1990s. The scientists who did such fine lab work in the 1960s would no doubt have been pleased to learn that their empirical results agreed quite well with predictions made by the corrected equation. Thus, those scientists were correct in their hypothesis about the MEPR principle’s applicability.
I continue to wonder how we metallurgists overlooked, for more than two decades, the simple error that led those scientists to conclude, mistakenly but honestly, that they’d been wrong.
I never did manage to publish this article, but the same derivations and analyses were published by other researchers within a few years. Some of the reviewers’ comments on the article are addressed in the second article in this document, “Comments on ‘Ostwald Ripening Growth Rate for Nonideal Systems with Significant Mutual Solubility’”.
Examen de Selectividad. Geografía junio 2024 (Convocatoria Ordinaria). UCLMJuan Martín Martín
Examen de Selectividad de la EvAU de Geografía de junio de 2023 en Castilla La Mancha. UCLM . (Convocatoria ordinaria)
Más información en el Blog de Geografía de Juan Martín Martín
http://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/
Este documento presenta un examen de geografía para el Acceso a la universidad (EVAU). Consta de cuatro secciones. La primera sección ofrece tres ejercicios prácticos sobre paisajes, mapas o hábitats. La segunda sección contiene preguntas teóricas sobre unidades de relieve, transporte o demografía. La tercera sección pide definir conceptos geográficos. La cuarta sección implica identificar elementos geográficos en un mapa. El examen evalúa conocimientos fundamentales de geografía.
José Luis Jiménez Rodríguez
Junio 2024.
“La pedagogía es la metodología de la educación. Constituye una problemática de medios y fines, y en esa problemática estudia las situaciones educativas, las selecciona y luego organiza y asegura su explotación situacional”. Louis Not. 1993.
Elites municipales y propiedades rurales: algunos ejemplos en territorio vascónJavier Andreu
Material de apoyo a la conferencia pórtico de la XIX Semana Romana de Cascante celebrada en Cascante (Navarra), el 24 de junio de 2024 en el marco del ciclo de conferencias "De re rustica. El campo y la agricultura en época romana: poblamiento, producción, consumo"
La Unidad Eudista de Espiritualidad se complace en poner a su disposición el siguiente Triduo Eudista, que tiene como propósito ofrecer tres breves meditaciones sobre Jesucristo Sumo y Eterno Sacerdote, el Sagrado Corazón de Jesús y el Inmaculado Corazón de María. En cada día encuentran una oración inicial, una meditación y una oración final.
Presentación de la conferencia sobre la basílica de San Pedro en el Vaticano realizada en el Ateneo Cultural y Mercantil de Onda el jueves 2 de mayo de 2024.
1. C´omo sumar y restar polinomios
Ejemplo: De 4z2 − 3z + 6, restarle −5z2 − 7z + 2 .
1. Observaciones preliminares
La pregunta ”¿Por qu´e
tenemos que dominar la suma
y resta de polinomios?” es
honesta y v´alida, y se merece
una respuesta seria.
”¿Por qu´e tenemos que dominar la suma y resta de polino-
mios?” Los alumnos que externan esta pregunta se merecen una res-
puesta seria. Reconocen que la formaci´on que reciben—o no—durante
sus breves a˜nos escolares ser´a cr´ıtica para sus carreras, y reconocen
tambi´en que si desperdician su tiempo aprendiendo cosas de poca
importancia, habr´a cosas importantes que no las aprender´an.
Es m´as, sin duda han escuchado repetidas veces que ”Si un trabajo
merece la pena hacerlo, merece la pena hacerlo bien.” Bueno, hay
calculadoras y programas gratuitos disponibles en l´ınea que pueden
sumar y restar polinomios infaliblemente. Por lo tanto, el alumno est´a
en su derecho al preguntar, ”¿Por qu´e no usamos estas herramientas
para operaciones rutinarias, como la suma y resta de polinomios? Nos
ahorrar´ıan tiempo y esfuerzo que podr´ıamos usar para aprender cosas
m´as ´utiles. Por ejemplo, c´omo usar matem´aticas con provecho en la
resoluci´on de problemas reales.”
Las matem´aticas no pueden
usarse con provecho en la
resoluci´on de problemas reales
sino por personas convencidas
(1) de que las matem´aticas
son un cuerpo coherente de
conocimientos y experiencias
que las guiar´an; y (2) de que
ellas mismas son capaces de
aplicar estos conocimientos y
experiencias.
Esta objeci´on, claro, es del tipo que se ha debatido desde el invento
de calculadoras de bolsillo asequibles en los a˜nos 70 del siglo pasado.
El contestarlo es medular a nuestro meta como educadores: el de ca-
pacitar a los alumnos para comprender situaciones reales, y responder
acertadamente. Por eso, en mi opini´on es importante enfatizar que las
matem´aticas no pueden usarse con provecho en la resoluci´on de pro-
blemas reales (salvo los m´as simples) sino por personas convencidas de
que las matem´aticas son un cuerpo coherente de conocimientos y expe-
riencias que les guiar´an en la comprehensi´on y resoluci´on del problema
entre manos. Es m´as, las personas mismas tienen que estar convencidas
de que son capaces de aplicar estos conocimientos y experiencias.
Entonces, ¿qu´e tiene que ver la suma y resta de polinomios con la
formaci´on de personas que sean capaces, y convencidas de su propia
capacidad? Mi respuesta es que este tema le da al maestro una buena
oportunidad para explicitar c´omo los conocimientos y experiencias
previos le guiar´an al alumno que se enfrenta a un problema nuevo. En
2. C´omo sumar y restar polinomios
vez de decirle que aprender´a a sumar y restar polinomios, le diremos que
”desarrollar´a un procedimiento para sumar y restarlas. De esta forma, el tema
se convertir´a en un problema real. Y en verdad, hab´ıa una vez cuando
era un problema tal. Es decir, cuando nadie lo hab´ıa resuelto todav´ıa, y
alguien se enfrento con la necesidad de identificar c´omo hacerlo.
Este documento es dirigido a maestros y alumnos igualmente, para
que todos saquemos el mayor provecho posible de este tema. Intentar´e
poner en pr´actica, algunas de las sugerencias que vienen en libros acerca
de la ense˜nanza y aprendizaje de matem´aticas.
2. Activemos nuestra ”base de datos” de conocimien-
tos acerca de temas de posible relevancia
La mayor parte de este
documento es un discurso al
estilo ”teacher talk”, en el
cual el maestro aparenta estar
resolviendo el problema por
primera vez. Externa
observaciones y preguntas
como si ´estas se le hubieran
ocurrido en el momento. Por
eso, tiene una estructura un
poco informal. Al final, se
presentar´a una revisi´on m´as
formal, de los trabajos.
Investigaciones sobre la resoluci´on de problemas en general demues-
tran que es ´util comenzar por sacar de la memoria, conscientemente,
tantos conocimientos nos aparezcan relevantes. Entonces, ¿qu´e cono-
cimientos previos puedan estar involucrados en la suma y resta de
polinomios? Conviene examinar el ejemplo que planteamos:
De 4z2 − 3z + 6, restarle -5z2 − 7z + 2 .
Por uno, sabemos que 4z2 − 3z + 6 es una secuencia de operaciones
efectuadas sobre alg´un n´umero (el z), y que es, a la vez, un solo n´umero.
¿Por qu´e es 4z2 − 3z + 6 un solo n´umero? Podemos razonarlo as´ı. El z
es un solo n´umero, y por la cerradura bajo la multiplicaci´on, la cantidad
z · z (la cual la escribimos como z2 para nuestra propia conveniencia)
es un solo n´umero tambi´en. A saber, el valor num´erico de z · z. Por lo
mismo, la cantidad 4z2 es un solo n´umero, y 3z tambi´en.
Por la propiedad de cerradura en la sustracci´on, la diferencia entre
4z2 y 3z (escrita ´esta como 4z2 − 3z) es un solo n´umero. Por fin, el solo
n´umero ”4z2 − 3z” m´as ”6” es un solo n´umero, gracias a la propiedad
de cerradura en la suma. De forma parecida, -5z2 − 7z + 2 es simult´anea-
mente un solo n´umero, y una secuencia de operaciones sobre el n´umero
z.
Por lo tanto, es l´ıcito —aunque no necesariamente resultar´a prove-
choso —idear nuestro ejemplo como se ve en la figura al margen.
2 of 14 Por: Jim Smith, para el sitio aprendematematicas.org.mx
3. C´omo sumar y restar polinomios
En dicha figura, escrib´ı el problema de una forma ”tosca” para
enfatizar que al comenzar a explorar un problema, lo importante es
apuntar nuestras ideas y observaciones sin demora, y sin preocuparnos
demasiado por c´omo se vean. En la figura, los dos polinomios est´an
dentro de ”globos” para enfatizar que cada polinomio realmente es
un solo n´umero. Una vez apuntada la idea u observaci´on, podemos
modificar el escrito para que concuerde m´as con las maneras usuales
de comunicar informaci´on en las matem´aticas. Por ejemplo, podemos
borrar la mayor parte del contorno de cada globo (ver, por favor, la
segunda figura al margen)
Al comenzar a explorar un
problema, es importante
apuntar nuestras ideas y
observaciones sin demora, y
sin preocuparnos demasiado
por c´omo se vean.
para reducirlo a un par de par´entesis, ya que
´estos son la manera com´un para comunicar que el contenido del par es
un solo n´umero sobre el que act´ua la operaci´on que le antecede.
De aqu´ı en adelante en este documento, las expresiones matem´aticas
que trabajamos no ser´an ”dibujadas”, sino escritas a maquina, comen-
zando con
”De 4z2 − 3z + 6 , restarle -5z2 − 7z + 2 ”.
Examinando esta representaci´on del problema, nos preguntamos,
”Qu´e conocimientos previos figuran en ello?” Hay una resta de una can-
tidad que contiene restas, por lo que (a juzgar por nuestras experiencias
previas) ser´ıa ´util repasar las operaciones con n´umeros negativos. Entre
´estas, una propiedad ´util que suele no mencionarse en las clases:
Es ´util idear a − b y a + -b
como sin´onimos, en cuanto
son dos escritos que
representan lo mismo. Y de
ah´ı, que 4z2+-3z sea una
”redacci´on” de 4z2 − 3z. Todo
esto, gracias a la Propiedad
Sustitutiva de la Igualdad.
Para cualesquier dos n´umeros (llam´emoslos a y b), a − b es el
mismo n´umero que a + -b. ´Este hecho es el que se escribe, de forma
m´as usual, como ”a − b = a + -b”. Por lo tanto, gracias a la
Propiedad Sustitutiva de la Igualdad, podemos escribir la resta
4z2 − 3z como 4z2+-3z en cualquiera ecuaci´on.
En cuanto a esta ”redacci´on” del escrito 4z2 − 3z, sabemos que
es l´ıcito hacerla, pero no es obligatorio;
no necesariamente nos resultar´a ´util hacerla; y
hay veces cuando no tiene sentido hacer una ”redacci´on” tal. Por
ejemplo, ante el problema ”8 − 2 = ”, nadie en su sano juicio
lo trasformar´ıa en ”8+ -2 = ”. Las dos versiones son el mismo
problema,1 pero la trasformaci´on no nos ayuda, sino complica un
1Ser´ıa m´as correcto decir que ”8 − 2 = ” y ”8+ -2” son problemas equivalentes:
http://matematica.laguia2000.com/general/ecuaciones-equivalentes.
Por: Jim Smith, para el sitio aprendematematicas.org.mx 3 of 14
4. C´omo sumar y restar polinomios
problema f´acil.
No obstante todo lo anterior, en la experiencia de muchos es ´util
efectuar esta redacci´on al manejar expresiones algebraicas, por cuanto
nos ayuda a evitar errores. Entonces, efectuemos la siguiente redacci´on
de nuestro ejemplo, en aras de identificar otros conocimientos previos
de posible relevancia:
”De 4z2 − 3z − 6 , restarle -5z2 − 7z + 2 ”.
⇓
”Por favor, efectuar la resta 4z2 − 3z − 6 − -5z2 − 7z + 2 ”.
⇓
”Por favor, efectuar la resta 4z2+-3z − 6 − -5z2+-7z + 2 ”.
Al examinar la ´ultima l´ınea, reconocemos que cada par de par´ente-
sis contiene un solo n´umero. Entonces, ”pensando el asunto m´as en
grande”, hacemos una redacci´on m´as:
”Por favor, efectuar la resta 4z2 + -3z − 6 − -5z2 + -7z + 2 ”.
⇓
”Por favor, efectuar 4z2 + -3z − 6 +- -5z2 + -7z + 2 ”.
Hemos efectuado esta redacci´on a sabiendas de que podemos optar
por revertirla cuando queramos.
Podremos revertir nuestra
redacci´on cuando queramos. Sin embargo, sigamos en este camino
por lo pronto. Al examinar lo que result´o de las redacciones, parece
que valdr´ıa la pena activar nuestra base de datos acerca de n´umeros
negativos, c´omo sumarlos, etc. Entonces, ¿qu´e es lo que sabemos al
respecto?
Aqu´ı tenemos algunos ejemplos de nuestros conocimientos acerca
de n´umeros negativos:
-a es el mismo n´umero que -1 · a.
Por ejemplo, -7 es el mismo n´umero que
-1 · 7, y - (-12) es el mismo n´umero que -1 · -12.
- (-a) = a.
Por ejemplo, - (-8) = 8. Igualmente, - (- [-5]) = -5.
A juzgar por la expresi´on que result´o de las redacciones (a saber,
la expresi´on 4z2 + -3z − 6 + - -5z2 + -7z + 2 ) tarde o temprano ten-
dremos que combinar t´erminos semejantes. ¿Qu´e es lo que sabemos
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5. C´omo sumar y restar polinomios
al respecto? Para comenzar, hemos aprendido que el procedimiento se
apoya en la Propiedad Distributiva de la multiplicaci´on sobre la adici´on.
Esto es,
Para cualesquier tres n´umeros a, b, y c,
c · (a + b) = c · a + c · b,
(La Propiedad Distributiva ”a la izquierda”); y
(a + b) · c = a · c + b · c.
(La Propiedad Distributiva ”a la derecha”).
As´ı como es el caso para todas las ecuaciones, estas ´ultimas se
verifica en ambas direcciones.
Las ecuaciones se verifican en
ambas direcciones.Es decir (tratando solamente la propiedad
”a la derecha”), son ciertas ambas de las siguientes:
(a + b) · c = a · c + b · c, y
a · c + b · c = (a + b) · c.
Esta ´ultima (o sea, a · c + b · c = (a + b) · c) es la versi´on que se usa
para justificar el procedimiento que se llama ”combinar t´erminos seme-
jantes”. Por ejemplo, comparemos el escrito 4x + 11x con el enunciado
de la Propiedad Distributiva a la derecha:
4x + 11x = (4 + 11) x (=15x)
a · c + b · c = (a + b) · c.
Vemos que la x multiplicaba, por el lado derecho, al 4 y al 11. Entonces,
la x tom´o el papel de c, y los n´umeros 4 y 11 tomaron los papeles de a
y b, respectivamente.
Por supuesto, al trabajar un problema real no nos molestamos por
apuntar un paso intermediario como el ”= (4 + 11) x” en un caso tan
simple como 4x + 11x. Pero s´ı debemos saber que el procedimiento se
apoya en la Propiedad Distributiva de la multiplicaci´on sobre la suma.
Antes de que cambiemos a tratar otros conocimientos previos, de-
ber´ıamos agregar que la Propiedad Distributiva se puede extender a
cualquier n´umero de t´erminos:
(a + b) · x = a · x + b · x
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6. C´omo sumar y restar polinomios
(a + b + c) · x = a · x + b · x + c · x
(a + b + c + d) · x = a · x + b · x + c · x + d · x,
etc.
Arriba, mencionamos que ecuaciones ”se verifican en ambas di-
recciones”. Puede que sea provechoso activar nuestra base de datos
al respecto m´as a´un, escribiendo en ambas direcciones algunas de las
propiedades que hemos sacado de la memoria:
a − b = a + -b; a + -b = a − b
-a = -1 · a; -1 · a = -a
- (-a) = a; a = - (-a)
(a + b + c) · x = a · x + b · x + c · x;
a · x + b · x + c · x = (a + b + c) · x.
Una observaci´on final acerca de nuestros conocimientos y experien-
cias previos: ´estos nos han mostrado que no ser´a necesario buscar, al
menos al principio, la t´ecnica m´as r´apida y eficiente para restar poli-
nomios, sino una que la entendamos cabalmente. Despu´es, podremos
”pulirla” si vale la pena.
3. Desarrollemos un procedimiento para restar po-
linomios
En el curso de activar nuestra base de datos acerca de experiencias
y conocimientos previos, de posible relevancia (Apartado 2), efectuamos
una secuencia de ”redacciones” que trasformaron nuestro ejemplo en
Efectuar 4z2 + -3z + 6 + - -5z2 + -7z + 2 .
Al parecer, bien puede ser que la t´ecnica para restar polinomios se
reducir´a a una cuesti´on de combinar t´erminos semejantes. Pero hay un
detalle: todos los t´erminos est´an dentro de par´entesis. Es m´as, uno de
los pares de par´entesis tiene un signo negativo.
Entonces, ¿qu´e haremos para acceder a los t´erminos?
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7. C´omo sumar y restar polinomios
Tal vez el primer par de par´entesis (es decir, el que contiene el
n´umero 4z2 + -3z + 6) se pueda borrar, y ya. Pero, ¿qu´e propiedades de
los n´umeros justificar´ıan este cambio? Es m´as, el segundo par defina-
tivamente no se puede ”borrar”, ya que tiene un signo negativo. Sin
embargo, con reconocer esta posible diferencia entre los dos pares de
par´entesis, hemos avanzado: puede que la clave sea la de identificar
cu´ando se pueden borrar par´entesis, y cu´ando no. Entonces, revisemos
nuestros conocimientos previos para encontrar casos donde s´ı, quitamos
par´entesis. No nos costar´a mucho tiempo para ver que esto sucedi´o en
el enunciado de la Propiedad Distributiva de la multiplicaci´on sobre la
suma:
c · (a + b) = c · a + c · b.
Por ejemplo,
2 (15x + 8) = 2 · 15x + 2 · 8 = 30x + 16.
Entonces, si hubiera n´umeros multiplicando a nuestros pares de
par´entesis, sabr´ıamos exactamente qu´e hacer. Por lo tanto, nos pregun-
tamos si hemos visto alguna equivalencia que tenga la forma
Un n ´umero = El mismo n ´umero, multiplicado por alg ´un otro n ´umero.
Tambi´en, ya que - -5z2 + -7z + 2 es el negativo de -5z2 + -7z + 2 ,
nos preguntamos si hemos visto alg´un alguna equivalencia que tenga
la forma
El negativo de un n ´umero =El mismo n ´umero,
multiplicado por alg ´un otro n ´umero.
Rumin´emoslo un poco. En el caso de - -5z2 + -7z + 2 , tenemos un
n´umero negativo (a saber, el negativo del ”globo” del que los par´entesis
son vestigios), pero nos hace falta una multiplicaci´on, para que utilicemos
la Propiedad Distributiva. ¿Nos suena esto? ¿El que el negativo de un
n´umero es equivalente al producto del mismo n´umero, con alg´un otro
n´umero?
Resulta que s´ı: es una de las propiedades de n´umeros negativos que
vimos al revisar nuestra base de datos:
-a = -1 · a.
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8. C´omo sumar y restar polinomios
Entonces —nos ayude o no —es cierto que
- -5z2 + -7z + 2 = -1 · -5z2 + -7z + 2 .
Y s´ı, nos ayuda, porque ahora vemos c´omo abrir los par´entesis:
- -5z2
+ -7z + 2 = -1 · -5z2
+ -7z + 2
= -1 · -5z2
+ -1 · -7z + -1 · 2
= 5z2
+ 7z + -2
Se nota que el efecto del
signo negativo afuera de los
par´entesis ha sido el de
cambiar el signo de cada
t´ermino en el interior. Si Ud.
intuy´o (o sea ”conjetur´o”)
que resultar´ıa as´ı, ¡qu´e bueno!
Ahora, Ud. sabe c´omo apoyar
su conjetura en las
propiedades de los n´umeros.
(Por cierto, el s´ımbolo ”∴”
significa ”por lo tanto”.)
∴ - -5z2
+ -7z + 2 = 5z2
+ 7z + -2.
Reflexionando sobre lo que acabamos de escribir, nos damos cuenta
de que ”abrimos los par´entesis” identificando una expresi´on (la ”5z2 +
7z + -2”) equivalente a la expresi´on dada (la - -5z2 + -7z + 2 ). ´Este tipo
de maniobra —la trasformaci´on de una expresi´on dada, en una que nos
conviene m´as, mediante la sustituci´on de expresiones equivalentes —le
servir´a al lector para resolver muchos problemas en el futuro.
Bueno, ha funcionado bien, nuestra idea de trasformar el ”negativo
de un par de par´entesis” en un producto del par´entesis con alg´un otro
n´umero. Entonces, es razonable preguntar si una idea parecida funcio-
nar´ıa para abrir el otro par de par´entesis. Por lo pronto, escribamos la
siguiente ecuaci´on en aras de identificar cu´al ser´ıa este ”Alg´un n´umero”
(suponiendo que ´este s´ı, existe):
”Alg ´un n ´umero” · 4z2 + -3z + 6 = 4z2 + -3z + 6
”Alg´un n´umero” tendr´ıa que ser ”1”, claro, pero demostremos que as´ı es,
a trav´es de un despeje:
”Alg ´un n ´umero” · 4z2
+ -3z + 6 = 4z2
+ -3z + 6
∴ ”Alg ´un n ´umero” =
4z2 + -3z + 6
(4z2 + -3z + 6)
∴ ”Alg ´un n ´umero” = 1,
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9. C´omo sumar y restar polinomios
con tal que 4z2 + -3z + 6 = 0. Identificado este ”Alg´un n´umero”, ahora
podemos efectuar la siguiente redacci´on:
”Alg ´un n ´umero” · 4z2
+ -3z + 6 = 4z2
+ -3z + 6
⇓
1 · 4z2
+ -3z + 6 = 4z2
+ -3z + 6
⇓
¡Las ecuaciones se verifican en
ambas direcciones!
4z2
+ -3z + 6 = 1 · 4z2
+ -3z + 6
⇓
4z2
+ -3z + 6 = 1 · 4z2
+ 1 · -3z + 1 · 6
⇓
∴ 4z2
+ -3z + 6 = 4z2
+ -3z + 6.
En el futuro no ser´a necesario
presentar una justificaci´on
rigurosa en casos tales.
Otra vez, los par´entesis se abren identificando una expresi´on equi-
valente a la dada. Con esto, hemos producido una justificaci´on rigurosa
para nuestra conjetura inicial, de que cuando no hay ning´un n´umero
multiplicando a los par´entesis, podemos simple y sencillamente ”bo-
rrarlos”, as´ı como para la conjetura de que un signo negativo afuera
de los par´entesis cambia el signo de cada t´ermino en el interior. Por lo
tanto, en el futuro no ser´a necesario presentar una justificaci´on rigurosa
cuando sustituyamos (para dar ejemplos gen´ericos)
(a + b + c) por a + b + c,
o
- (a + b + c) por -a + -b + -c.
Ahora bien, en los ´ultimos p´arrafos hemos salido por la tangente,
por lo que ya es indicado apuntar claramente qu´e es lo que queremos
lograr; hasta qu´e punto hemos avanzado; y qu´e es lo nos hace falta para
terminar:
1. Queremos efectuar 4z2 + -3z + 6 + - -5z2 + -7z + 2 ;
2. Conjeturamos que el efectuarlo se reducir´ıa a una cuesti´on de
combinar t´erminos semejantes;
3. Vimos que para poder hacerlo, tendr´ıamos que ”abrir los par´ente-
sis” para acceder a los t´erminos;
4. Demostramos que ´estos se pueden abrir identificando expresio-
nes equivalentes a las dadas (o sea, a la 4z2 + -3z + 6 y la
- -5z2 + -7z + 2 );
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10. C´omo sumar y restar polinomios
5. Ahora, sabemos que para bien o para mal, podemos usar dichas
expresiones equivalentes como sin´onimos” en una redacci´on de
4z2 + -3z + 6 + - -5z2 + -7z + 2 ;
6. Sin embargo, todav´ıa no hemos identificado exactamente c´omo
seguir.
Entonces ¿por qu´e no hacer la redacci´on arriba mencionada (en el
n´umero 5 en la lista), para luego reflexionar lo que resulte, y actuar en
consecuencia? Nuestra expresi´on para redactar es
4z2 + -3z + 6 + - -5z2 + -7z + 2
Las expresiones equivalentes a cada par de par´entesis son
Para 4z2 + -3z + 6 : 4z2 + -3z + 6
Para - -5z2 + -7z + 2 : 5z2 + 7z + -2.
Entonces, la redacci´on ser´ıa
4z2 + -3z + 6 + - -5z2 + -7z + 2
⇓
Cabe precisar que con =⇒
escribir la l´ınea se˜nalada,
acabamos de efectuar la resta,
en el sentido de que
encontramos un solo
polinomio, sin par´entesis, que
es equivalente a la diferencia
entre los dos que figuran en la
resta original. Pero por o
general, es menester ponerlo
un resultado tal, en una forma
est´andar para la conveniencia
de los lectores. (¡Por no
mencionar que tambi´en es
conveniente para pasar
nuestros examenes!)
4z2 + -3z + 6 + 5z2 + 7z + -2.
¿Nos ayuda, la expresi´on que ha resultado de la redacci´on? S´ı,
porque ahora se ve que para terminar, solamente tenemos que combinar
t´erminos semejantes. (Con esto, queda verificada otra conjetura nuestra.)
La expresi´on en la ´ultima l´ınea es una cadena de sumas, por lo que
podemos re-ordenar los t´erminos a nuestro antojo, para luego emplear
la Propiedad Distributiva de la multiplicaci´on sobre la suma. Con fines
de precisi´on, presentemos una redacci´on un poco rigurosa, paso a paso.
(De aqu´ı en adelante, no se usar´an colores.)
4z2 + -3z + 6 + 5z2 + 7z + -2
⇓
4z2 + 5z2 + -3z + 7z + 6 + -2
⇓
(4 + 5) z2 + (-3 + 7) z + (6 + -2)
⇓
Ya est´a en una =⇒
forma est´andar.
En definitiva, 9z2 + 4z + 4.
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11. C´omo sumar y restar polinomios
4. Revisemos nuestros trabajos
Deber´ıamos ahora revisar nuestros trabajos. Comprobaremos nues-
tra respuesta, para luego reflexionar sobre c´omo nos acercamos al
problema, y c´omo lo resolvimos. Al final, resumiremos lo que hayamos
aprendido.
4.1. Comprobaci´on de la respuesta
Primero, haremos una comprobaci´on num´erica, sustituyendo por z
varios n´umeros espec´ıficos, para saber si (al menos para unos cuantos
valores de z) el valor de 9z2 + 4z + 4 coincide con el n´umero que resulte
cuando al polinomio 4z2 − 3z + 6, se le resta el polinomio -5z2 − 7z + 2.
En z = 0, 9z2 + 4z + 4 = 4.
Para cotejarlo:
4z2 − 3z + 6 = 6, y -5z2 − 7z + 2 = 2.
6 − 2 = 4. Est´a bien.
En z = 1, 9z2 + 4z + 4 = 17.
Para cotejarlo:
4z2 − 3z + 6 = 7, y -5z2 − 7z + 2 = -10.
7 − -10 = 7 + - (-10) = 7 + 10 = 17. Est´a bien.
En z = -2, 9z2 + 4z + 4 = 32.
Para cotejarlo:
4z2 − 3z + 6 = 28, y -5z2 − 7z + 2 = -4.
28 − -4 = 28 + - (-4) = 28 + 4 = 32. Est´a bien.
Podemos hacer un comprobaci´on num´erica m´as f´acilmente, usando
una hoja de c´alculo. Por ejemplo, aquella que es parte del programa
gratuita GeoGebra2 En la figura abajo, se presentan los valores de
4z2 − 3z + 6, de -5z2 − 7z + 2, de 4z2 − 3z + 6 − -5z2 − 7z + 2 , y de
9z2 + 4z + 4 en el intervalo -2.5 ≤ z ≤ 2.5:
2http://geogebra.org.
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12. C´omo sumar y restar polinomios
Tambi´en, con GeoGebra podemos hacer una comprobaci´on median-
te una representaci´on visual:
En el intervalo mostrado, por lo menos, las curvas para 4z2 − 3z + 6 −
-5z2 − 7z + 2 y 9z2 + 4z + 4 coinciden.
Mejor todav´ıa, GeoGebra cuenta con un Sistema de C´alculo Simb´oli-
co (CAS, por sus siglas en ingl´es) con el que podemos efectuar, direc-
tamente, la resta 4z2 − 3z + 6 − -5z2 − 7z + 2 para verificar que la
respuesta es 9z2 + 4z + 4:
12 of 14 Por: Jim Smith, para el sitio aprendematematicas.org.mx
13. C´omo sumar y restar polinomios
Con ´esto, hemos comprobado
nuestra respuesta mediante
representaciones n´umerica,
visual, y simb´olica.
Aunque ´este (el CAS) es el m´etodo m´as f´acil para comprobar nuestra
respuesta, lo present´e al final porque cada representaci´on (e.g., num´erica,
visual, or simb´olica) de un problema y su soluci´on tiene sus puntos
fuertes y d´ebiles. Por lo tanto, ante un problema nuevo (acu´erdese de
que tratamos la resta de polinomios como un problema tal, para que el
alumno sacara mayor provecho del tema) es indicado utilizar m´ultiples
representaciones.
4.2. Reflexionando sobre c´omo nos acercamos al problema, y
c´omo lo resolvimos
Para acercarnos al problema, examinamos la estructura de la forma
escrita de nuestro ejemplo:
4z2 + -3z − 6 − -5z2 + -7z + 2 .
Nos dimos cuenta que al parecer, se iba a reducir a una cuesti´on de
”abrir par´entesis”, para luego combinar t´erminos semejantes. Notamos
tambi´en, que a la mejor tendr´ıamos que restar n´umeros negativos.
Por eso, ”revisamos nuestra banco de datos” acerca de temas rela-
cionados a estas operaciones. Nos acordamos de que (entre otras cosas)
las ecuaciones se verifican en ambas direcciones. Tambi´en, reconocimos
que expresiones matem´aticas equivalentes pueden idearse como sin´oni-
mos”, y las trasformaciones de expresiones como ”redacciones” de las
mismas. Un conocimiento clave fue el que una expresi´on matem´atica es,
a la vez, una secuencia de operaciones con n´umeros, y un solo n´umero.
Concretamente, - -5z2 + -7z + 2 es un solo n´umero —a la par que una
secuencia de operaciones—y es el negativo del n´umero ”-5z2 + -7z + 2”.
Con estas ideas en la mente, buscamos c´omo abrir los par´entesis.
Identificamos expresiones equivalentes a cada par´entesis, a saber
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14. C´omo sumar y restar polinomios
4z2 + -3z + 6 = 1 · 4z2 + -3z + 6 y
- -5z2 + -7z + 2 = -1 · -5z2 + -7z + 2
que nos posibilitaron utilizar la Propiedad Distributiva de la multiplica-
ci´on sobre la suma. Abiertos los par´entesis, combinamos los t´erminos
semejantes.
Hagamos unas cuantas observaciones m´as, antes de que termine-
mos:
Nuestro ejemplo fue una resta, pero en el curso de resolverlo, lo
convertimos en una suma:
4z2 + -3z − 6 − -5z2 + -7z + 2
⇓
4z2 + -3z − 6 +- -5z2 + -7z + 2 .
Por lo tanto, el procedimiento que desarrollamos para la resta
servir´a tambi´en para sumar polinomios, con una sola diferencia:
no ser´a necesario cambiar los signos de t´erminos en el interior del
segundo par de par´entesis.
Dejamos al ´ultimo la elaboraci´on y examinaci´on de representacio-
nes num´erica y visual del ejemplo. Ante un problema real, una
omisi´on tal ser´ıa una negligencia. Discutiblemente, deb´ıamos de
haberlas elaborado y examinado al comienzo de nuestros trabajos..
El programa GeoGebra es una herramienta poderosa y f´acil de
usar. Las pocas horas necesarias para aprenderlo le pagar´an con
creces al alumno. Es m´as, GeoGebra mantiene un sitio3 al que
maestros y alumnos de todas partes del mundo suben recursos
que elaboran, para el acceso libre y gratuito del p´ublico en general.
El Profesor Nelson Lillo Ter´an, de Chile, encabeza un grupo Lin-
kedIn dedicado al uso de GeoGebra para la ense˜nanza y el apren-
dizaje de matem´aticas, qu´ımica, y f´ısica.4
Para ejercicios y m´as informaci´on acerca de este tema, ver, por
favor Cap´ıtulos 8, 10, y 11 de este documento.
3http://tube.geogebra.org. Los recursos regalados por su servidor pueden ser
examinados y bajados en http://tube.geogebra.org/jimsmithinchiapas.
4Perfil del Profesor Lillo: https://www.linkedin.com/profile/view?id=61844329. Su
grupo LinkedIn es ”Matem´atica, F´ısica, Qu´ımica y GeoGebra”.
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