Este documento presenta un resumen de tres oraciones sobre los determinantes e inversos de matrices. Introduce los conceptos de matrices y sistemas de ecuaciones lineales, y explica cómo la resolución de sistemas lleva a las ideas de determinantes de matrices y la inversa de una matriz. Finalmente, compara las versiones matricial y no matricial de resolver sistemas lineales.

1. Un acercamiento a los determinantes e
inversos de matrices
James Smith
nitac14b@yahoo.com
https://mx.linkedin.com/in/james-smith-1b195047
1. Introducci´on
En este documento, veremos c´omo el concepto de las “matrices”
surge en el curso de resolver un sistema de dos ecuaciones lineales.
Veremos, tambi´en, qu´e caracter´ısticas la llamada “multiplicaci´on” de
matrices debe tener para que los conceptos de una matriz inversa y la
matriz identidad funcionen juntos en la resoluci´on de dichos sistemas.
Cabe mencionar que las matrices y las operaciones matriciales han
resultado tan convenientes, que los matem´aticos se valen de ellas para
formular y resolver muchos tipos de problemas—desde la animaci´on
de im´agenes en video juegos, hasta en la mec´anica cu´antica. Pero hoy,
nos interesa solamente la resoluci´on de sistemas de ecuaciones lineales.
2. El sistema que resolveremos, y algunas observa-
ciones preliminares
El sistema que usaremos como ejemplo es
(I) 5x + 9y = 12,
(II) 3x + 2y = 7.
Debemos reconocer que en cada una de las ecuaciones, los literales x y
y no son inc´ognitas, sino “variables en una relaci´on funcional”: es decir,
hay una infinidad de pares ordenadas (x, y) que cumplen la primera
ecuaci´on, y una infinitud de pares que cumplen el otro. En contraste,
hay solamente un par ordenado (como m´aximo) que cumple ambas
ecuaciones. Este par es lo que se denomina de “la soluci´on” del sistema.
Escribamos dicho par como (X, Y), y expresemos nuestro problema
como

2. Un acercamiento a los determinantes e inversos de matrices
“Encontrar el par ordenado (X, Y) que cumpla las dos con-
diciones
(I) 5X + 9Y = 12, y
(II) 3X + 2Y = 7.”
3. Resolviendo el sistema de ecuaciones
Veremos c´omo la resoluci´on mediante la eliminaci´on de una variable
nos lleva a la idea del determinante de una matriz, y la resoluci´on me-
diante la eliminaci´on gausiana puede ser el camino hacia los conceptos
del inverso de una matriz, y de la matriz identidad.
3.1. Resoluci´on mediante la eliminaci´on de una variable, y los
determinantes
Repasemos el m´etodo, resolviendo nuestro sistema de ecuaciones.
Primero, eliminaremos Y, para encontrar X. Partiendo de la primera de
nuestras dos ecuaciones,
(I) 5X + 9Y = 12,
multiplicamos ambos lados por 2:
10X + 18Y = 24.
El procedimiento que
empleamos aqu´ı es la versi´on
completa de la conocida
“resta de ecuaciones”.
A continuaci´on, restamos 9 (3X + 2Y) (o sea, 9 veces el lado izquierda
de la segunda ecuaci´on) en ambos lados:
10X + 18Y − 9 (3X + 2Y) = 24 − 9 (3X + 2Y) .
Seg´un la segunda ecuaci´on, “(3X + 2Y)” es 7. Entonces,
10X + 18Y − 9 (3X + 2Y) = 24 − (9) (7) ,
−17X = −39, y
X =
39
17
.
Usamos la misma idea para encontrar Y mediante la eliminaci´on de
X, partiendo otra vez de la primera ecuaci´on, y manteniendo presente
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3. Un acercamiento a los determinantes e inversos de matrices
en la mente el que 3X + 2Y = 7 (por la segunda ecuaci´on):
5X + 9Y = 12,
3 (5X + 9Y) = 3(12),
15X + 27Y = 36,
15X + 27Y − 5 (3X + 2Y) = 36 − 5 (3X + 2Y) ,
15X + 27Y − 5 (3X + 2Y) = 36 − 5 (7) ,
17Y = 1,
Y =
1
17
.
Bueno, ya hemos repasado el m´etodo. Ahora, tratemos un sistema
m´as general:
(I) a1X + b1Y = c1,
(II) a2X + b2Y = c2.
Para encontrar X, se elimina Y. Otra vez, partiremos de la primera
ecuaci´on, fij´andonos en que de acuerdo con la segunda ecuaci´on de
nuestro sistema general, a2X + b2Y es c2:
a1X + b1Y = c1,
b2 (a1X + b1Y) = b2c1,
b2 (a1X + b1Y) − b1 (a2X + b2Y) = b2c1 − b1 (a2X + b2Y)
b2 (a1X + b1Y) − b1 (a2X + b2Y) = b2c1 − b1 (c2)
(a1b2 − b2a1) X = b2c1 − b1c2
X =
c1b2 − c2b1
a1b2 − a2b1
.
Para comprobar estas
f´ormulas para X y Y , usarlas
para resolver nuestro sistema
(I) 5X + 9Y = 12,
(II) 3X + 2Y = 7.
Para encontrar Y, se elimina X. Partiendo de la primera ecuaci´on,
a1X + b1Y = c1,
a2 (a1X + b1Y) = a2c1,
a2 (a1X + b1Y) − a1 (a2X + b2Y) = a2c1 − a1 (a2X + b2Y)
a2 (a1X + b1Y) − a1 (a2X + b2Y) = a2c1 − a1 (c2)
(a2b1 − a1b2) X = a2c1 − a1c2
Y =
a1c2 − a2c1
a1b2 − a2b1
.
Fij´emonos que el denominador de ambos resultados es a1b2 − a2b1 .
Esta observaci´on es un motivo (entre otros) por definir la matriz de las
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4. Un acercamiento a los determinantes e inversos de matrices
coeficientes:
a1 b1
a2 b2
.
N´otese la diferencia: los lados
de la matriz son corchetes,
pero los lados del
determinante son l´ıneas
verticales.
Su determinante se representa mediante
a1 b1
a2 b2
.
Para una matriz como la presente, que tiene dos filas y dos colum-
nas, el valor de su determinante se calcula a partir de los productos
“cruzados”: Al examinar la expresi´on para X, vemos que su numera-
Figura 1: El valor del determinante es la diferencia entre los dos “pro-
ductos cruzados”: a1b2 − a2b1.
dor es el determinante de la matriz que se forma remplazando las
coeficientes de X (en la matriz de coeficientes) con las constantes:
c1 b1
c2 b2
= c1b2 − c2b1.
De manera parecida, el numerador de la expresi´on para Y es el determi-
nante de la matriz que se forma remplazando las coeficientes de Y con
las constantes:
a1 c1
a2 c2
= a1c2 − a2c1.
Las mismas ideas, con ciertas modificaciones, se verifican para
sistemas con m´as de dos ecuaciones.
3.2. Resoluci´on mediante la eliminaci´on gausiana, y el inver-
so de una matriz
En este apartado, usaremos un procedimiento que, en su forma
“condensada”, es la eliminaci´on gausiana. A partir del sistema general
(I) a1X + b1Y = c1,
(II) a2X + b2Y = c2,
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5. Un acercamiento a los determinantes e inversos de matrices
obtendremos uno que tiene la forma
1X + 0Y = C1,
0X + 1Y = C2.
Obtenido dicho sistema, X es simplemente C1, y Y es C2.
El primer paso es dividir ambos lados de la primera ecuaci´on por
a1, para que la coeficiente de X en dicha ecuaci´on sea 1:
1X +
b1
a1
Y =
c1
a1
,
a2X + b2Y = c2.
Ahora, para eliminar X en la segunda ecuaci´on, le restamos a2 1X +
b1
a1
Y
al lado izquierda, y a2
c1
a1
al lado derecho:
1X +
b1
a1
Y =
c1
a1
,
a2X + b2Y − a2 1X +
b1
a1
Y = c2 − a2
c1
a1
.
Simplificando,
1X +
b1
a1
Y =
c1
a1
,
0X +
a1b2 − a2b1
a1
Y =
a1c2 − a2c1
a1
.
Para que la coeficiente de Y en la segunda ecuaci´on sea 1, dividimos
ambos lados de la ecuaci´on entre
a1b2 − a2b1
a1
:
1X +
b1
a1
Y =
c1
a1
,
0X + 1Y =
a1c2 − a2c1
a1b2 − a2b1
.
Por fin, para que la coeficiente de Y en la primera ecuaci´on sea 0,
restamos
b1
a1
[0X + 1Y] en el lado izquierdo, y
b1
a1
a1c2 − a2c1
a1b2 − a2b1
. Despu´es de
simplificar la ecuaci´on que resulta, tenemos
1X + 0Y =
c1b2 − c2b1
a1b2 − a2b1
,
0X + 1Y =
a1c2 − a2c1
a1b2 − a2b1
.
Este resultado coincide con el que encontramos en el apartado anterior.
Reflexionando sobre la forma de este resultado, y sobre el proce-
dimiento a trav´es de la cual lo obtuvimos, podemos proponer algunas
definiciones y operaciones. Primer, definimos la igualdad de matrices:
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6. Un acercamiento a los determinantes e inversos de matrices
Dos matrices se dicen iguales si sus elementos correspon-
dientes son iguales. Por ejemplo, la matriz
p
q es igual a
la matriz 11
−9 si y s´olo si p = 11 y q = −9. En tal caso,
podemos escribir
p
q = 11
−9 .
Con base en esta definici´on, podemos escribir el resultado
1X + 0Y =
c1b2 − c2b1
a1b2 − a2b1
,
0X + 1Y =
a1c2 − a2c1
a1b2 − a2b1
.
en la forma 


1X + 0Y
0X + 1Y


 =




c1b2 − c2b1
a1b2 − a2b1
,
a1c2 − a2c1
a1b2 − a2b1
.



 .
S´ı: la expresi´on 1X + 0Y, as´ı como la 0X + 1Y, es un solo elemento.
El procedimiento general para
la multiplicaci´on de matrices
puede ser encontrado en l´ınea,
o en textos estandartes.
Se puede definir, tambi´en, una operaci´on que se llama—sea por
bueno o por malo —“la multiplicaci´on de matrices”, tal que
a1X + b1Y
a2X + b2Y
=
a1 b1
a2 b2
“por”
X
Y
.
En la pr´actica, se omite la palabra “por”:
a1X + b1Y
a2X + b2Y
=
a1 b1
a2 b2
X
Y
.
Esta idea puede ser extendida a matrices con m´as elementos.
Hilando estas ideas, podemos escribir nuestro sistema de ecuaciones
(I) a1X + b1Y = c1,
(II) a2X + b2Y = c2,
como
a1 b1
a2 b2
X
Y
=
c1
c2
.
Un paso importante en nuestra exploraci´on de estas ideas es el que
una vez definida la “multiplicaci´on” de matrices, se puede ver que para
cualquiera matriz
p
q ,
1 0
0 1
p
q
=
1p + 0q
0p + 1q
=
p
q
.
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7. Un acercamiento a los determinantes e inversos de matrices
Por eso, 1 0
0 1 se llama la “matriz identidad” de dos columnas y
dos filas. Asi que nuestro resultado



1X + 0Y
0X + 1Y


 =




c1b2 − c2b1
a1b2 − a2b1
,
a1c2 − a2c1
a1b2 − a2b1
.



 .
puede ser escrito como
1 0
0 1
X
Y
=




c1b2 − c2b1
a1b2 − a2b1
,
a1c2 − a2c1
a1b2 − a2b1
.



 .
Comparemos esta observaci´on con la versi´on “matricial” del sistema
lineal. Es decir, comparemos
a1 b1
a2 b2
X
Y
=
c1
c2
y
1 0
0 1
X
Y
=




c1b2 − c2b1
a1b2 − a2b1
,
a1c2 − a2c1
a1b2 − a2b1
.



 .
Con mucha imaginaci´on, podr´ıamos—de forma conjetural—relacionar
lo arriba escrito con el uso del inverso multiplicativo de 6 en el despeje
de la variable z en la ecuaci´on 6z = 11:
6z = 11 6 es la coeficiente de z
1
6
· (6z) =
1
6
· 11 1/6 es el inverso multiplicativo de 6
1
6
· 6 z =
1
6
· 11 Este paso require de la propiedad asociativa.
(1) z =
1
6
· 11 Ya tenemos el producto de z con la identidad multiplicativa.
z =
1
6
· 11.
Entonces, ¿ser´a que la multiplicaci´on de matrices cuenta con la
propiedad asociativa, y que existe una matriz “inversa” a la a1 b1
a2 b2
, tal
que el producto de dicha inversa con la a1 b1
a2 b2
sea la matriz identidad
1 0
0 1 ? De hecho, la multiplicaci´on de matrices s´ı, es asociativa, y la
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8. Un acercamiento a los determinantes e inversos de matrices
inversa existe si el determinante de a1 b1
a2 b2
no es cero. Es decir, si
a1b2 − a2b1 = 0. No entraremos en el tema de c´omo identificar el inverso,
pero se representa mediante la notaci´on a1 b1
a2 b2
−1
, y es precisamente
a1 b1
a2 b2
−1
=




b2
a1b2 − a2b1
−b1
a1b2 − a2b1
−a2
a1b2 − a2b1
a1
a1b2 − a2b1



 .
Es aconsejable verificar que
a1 b1
a2 b2
−1
a1 b1
a2 b2
= a1 b1
a2 b2
a1 b1
a2 b2
−1
= 1 0
0 1 .
Total, gracias a la existencia de la propiedad asociativa de la mul-
tiplicaci´on de matrices, y a la existencia de una matriz inversa de la
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9. Un acercamiento a los determinantes e inversos de matrices
a1 b1
a2 b2
, podemos resolver nuestro sistema de ecuaciones as´ı:
a1 b1
a2 b2
X
Y
=
c1
c2
a1 b1
a2 b2
−1
a1 b1
a2 b2
X
Y
=
a1 b1
a2 b2
−1
c1
c2

 a1 b1
a2 b2
−1
a1 b1
a2 b2

 X
Y
=
a1 b1
a2 b2
−1
c1
c2
1 0
0 1
X
Y
=
a1 b1
a2 b2
−1
c1
c2
X
Y
=
a1 b1
a2 b2
−1
c1
c2
=




b2
a1b2 − a2b1
−b1
a1b2 − a2b1
−a2
a1b2 − a2b1
a1
a1b2 − a2b1




c1
c2
=




c1b2 − c2b1
a1b2 − a2b1
,
a1c2 − a2c1
a1b2 − a2b1
.



 .
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