Matemáticas

1. 1
Liceos Bicentenario
Matemática
Números: Conjunto de los Racionales (Q)
Material complementario para Segundo Año Medio
- Conjunto Q, (Breve reseña)
- Operatoria en Q. (+, - , ∙ , : )
- Introducción a las potencias de base entera y exponente natural
- Ejercitación
Nombre:______________________________________________________________ Curso: _____ Fecha:_________

2. 2
Conjunto de los Racionales (Q)
Los humanos necesitaron repartir objetos entre sí. Para poder realizar la operación de repartir se necesitó lo que conocemos
como división. Primeramente quizás en forma rudimentaria se dividieron los objetos en forma arbitraria. Pero luego las
reparticiones debieron ser más exactas, para lo cual se tuvo que inventar un sistema que nos permitiera la seguridad que la
repartición sería correcta.
La problemática ahí se inicia, pues si dividimos un número Natural por otro natural, no necesariamente el resultado será un
número natural. Por ejemplo:
8
2
= 4 (el resultado sigue siendo un natural)
mientras que:
7
5
= 1,4 (el resultado ya no pertenece a los naturales, tampoco al conjunto de los enteros)
Esta problemática llevó a la necesidad de ampliar el ámbito numérico. A este conjunto que
Tiene incluido a los conjuntos ya estudiados en años anteriores (N, N0 y Z), se le conoce como
Racionales o también llamados Q.
Definiremos al conjunto de los Racionales o también llamado Q como:
Q = b
a
/ a  Z  b  IN
Otra forma de definir este conjunto es:
Q = b
a
/ a  b  Z con b  0
Notas del estudiante

3. 3
Esto quiere decir que el conjunto está constituido por los números del tipo: fraccionario y su correspondiente notación
decimal.
Tanto el numerador como el denominador son enteros y el denominador debe ser distinto de cero.
Veamos este conjunto en un diagrama:
Resumiendo:
N  Z (El conjunto de números naturales es subconjunto del conjunto Z),
también sabemos que: N  N0
N0 es el conjunto de números naturales que contienen al cero, también se les llama
números cardinales.
N0  Z (los cardinales son subconjunto del conjunto Z).
Y si vemos el diagrama conjuntista que aparece anteriormente, podemos ver que existe
un nuevo conjunto el que contiene a los conjuntos: N, N0, Z , al que llamamos conjunto Q.
Notas del estudiante
Simbología
 : si y sólo si
También podrás encontrar este
símbolo escrito de la forma: ssi

4. 4
Lo podemos escribir también de la siguiente forma:
Donde: Q+
corresponde a los racionales positivos: ejemplos:
2
7
,
8
9
, 2
5
3
etc.
Q-
corresponde a los racionales negativos: ejemplos: −
1
9
, −
5
3
, −4
6
7
etc.
Q = Q-
Q+
U
Observación 1:
0
𝑎
= 0  𝑎 ≠ 0
“Podemos dividir siempre que el denominador sea distinto de cero”
Observación 2:
0
0
se considera una indeterminación.
Observación 3:
“Cualquier entero puede escribirse como un racional. Bastará dividir por 1”
Veamos algunos ejemplos: −5 =
−5
1
; 0 =
0
1
; 6 =
6
1
Notas del estudiante
Observación 4:
“ En el conjunto Q, nos encontramos con el concepto de Inverso multiplicativo o
también llamado recíproco”
Veamos algunos ejemplos: −5 =
1
−5
=
−1
5
; 6 =
1
6
Un caso especial es el del número CERO, el cual no tiene inverso multiplicativo.
La razón es que la división por cero produce una indeterminación.

5. 5
Para Investigar: con la ayuda de tu profesor verifica que la división por cero no es válida.
Te sugerimos que inicies la división de un número por ejemplo:
i) 12: 1 = 12 v) 12:
1
100
=
ii) 12:
1
2
=
vi) 12:
1
1.000
=
iii) 12:
1
4
=
iv) 12:
1
8
= vii) 12:
1
1.000.000
= , si quieres puedes seguir verificando…
Actividad: Indique si es verdadero V o falso F en cada caso y justifica:
i) “Todo racional es también un entero” ___
ii) “Todo entero es también un racional” ___
Notas del estudiante
“Si te fijas cada vez que disminuyes el
divisor y tiende a Cero, el cuociente
tiende a aumentar. Entonces ¿qué
sucedería si el divisor fuese cero, podría
haber un número conocido que
representará a este cuociente?”

6. 6
Operatoria en Q
En años anteriores ya trabajaste con la operatoria con fracciones y decimales, por lo que
en este cuadernillo sólo recordaremos algo de la operatoria en Q.
: Debemos si recordar que la prioridad de las operaciones es vital en ejercicios
combinados o que tengan paréntesis anidados.
Las operaciones de Simplificación y amplificación nos permiten encontrar fracciones
equivalentes, lo que generalmente facilitan los cálculos. Más adelante cuando estemos
estudiando expresiones algebraicas fraccionarias, será muy importante dominar tanto la
amplificación como la simplificación.
Amplificación
 
x x·n
;y 0
y y·n
Simplificación
 
x x :n
;y 0
y y :n
Ejemplos:
 
3 3·5 15
4 4·5 20
18 18 : 9 2 1
36 36 : 9 4 2
  
Sólo se puede realizar cuando el Numerador y el
denominador son múltiplos de n.
Notas del estudiante

7. 7
Notas del estudiante
Ejercicios propuestos:
Amplifique Escribe la solución en el recuadro:
1)
1
4
= {
2
8
;
3
12
; }
2)
3
5
={
6
10
;
9
15
; }
3)
−2
7
={
−4
14
;
−6
21
; }
4)
0
9
={
0
18
;
0
27
; }
Observación: El conjunto de las fracciones que resulta al amplificar está constituido por
fracciones Equivalentes.
Observación 5:
- Siempre es conveniente simplificar si es posible antes de realizar las operaciones.
- Los resultados deben ser simplificados al máximo y cuando ya no podemos seguir
Simplificando, entonces se dice que hemos llegado a la Irreductible.

8. 8
Ejercicios propuestos:
Simplifique hasta llegar a la irreductible en cada caso. Escriba el resultado en el recuadro
correspondiente:
1)
240
450
=
2)
48
372
=
3)
38
13
=
4)
68𝑎
120𝑎
= (Observación: a = 0)
Observaciones: - Es importante que recuerdes las reglas de divisibilidad para calcular en
forma rápida y correcta.
- Si tanto en el numerador como en el denominador tienes números
distintos,
la fracción ya es irreductible.
Notas del estudiante

9. 9
Densidad en Q
La densidad del conjunto de los números racionales es una característica importante.
Te recuerdo que los conjuntos N, N0 y Z son conjuntos discretos, es decir para pasar de un número a otro, debes “saltar”,
pues no existen números entre medio. Por ejemplo entre el 1 y el 2 no existen números si estamos en el conjunto de los naturales.
En cambio en el conjunto Q, podemos encontrar infinitos racionales entre dos racionales, a esta característica se le dice densidad
en Q.
Veamos la siguiente recta numérica:
Observación 6:
- Como el conjunto de los racionales es denso, ya no funcionaran las definiciones vistas
para los enteros: sucesor, antecesor, par, impar y todo lo que se refiere a estos conceptos.
Notas del estudiante
Q

10. 10
Orden en los racionales
Los racionales son un conjunto ordenado, es decir:
i) Dos racionales son iguales si:
a c
a d b c
b d
    
Ejemplo: 
2 24
6 72 son iguales ya que
2 · 72 = 6 · 24 => 144 = 144 (se cumple la propiedad)
ii) Para verificar si un racional es mayor que otro, podremos usar tres criterios de comparación:
Criterio 1:
“Si dos racionales tienen igual denominador entonces el mayor de ellos es aquel que
tiene mayor numerador.”
Ejemplo: Comparemos
3
4 y
5
12
Amplificaremos convenientemente, para que tengan igual denominador,
Quedando:

 

3 3 3 9
4 4 3 12
. Entonces, ahora podemos comparar: 
3 5
4 12
.
Notas del estudiante

11. 11
Criterio 2: “Si dos racionales tienen igual numerador, entonces
el mayor es aquel que tiene menor denominador.
Ejemplo: Comparemos
1
3
y
1
6
, ambos racionales tienen igual numerador por tanto
el mayor de ellos es
1
3
, ya que tiene el menor denominador.
Ejemplo: Comparemos
4
5 y
2
7 si multiplicamos extremo por extremo = 28 tenemos:
y al multiplicar medio por medio = 10
por lo tanto 28 > 10
∴
4
5
>
2
7
Criterio 3: Axioma de orden
a c
a d b c
b d
    
Notas del estudiante

12. 12
Redondeo y truncamiento
Con los decimales infinitos no se puede operar, por lo que es muy necesario recordar formas de aproximar un número para poder
usarlo fácilmente:
Primera forma de aproximación: Redondeo
.
Ejemplo:
El decimal 48,4567389 entonces si lo redondeamos a la cifra de las centésimas
haremos lo siguiente:
i) Nos posicionamos en la cifra de la centésima que es el número 5
ii) Miramos a la derecha, a la cifra que está al lado del 5, en este caso es el número 6
iii) Como el 6 es mayor que 5 entonces se aumenta en 1 la centésima quedando
de la siguiente forma: 48,46
iv) Si el número fuese el 48,4537389; mira que sucede con la cifra que está a la derecha del 5 (es el 3 posicionado en las
milésimas)
Es el número 3 y éste es menor que 5, por lo tanto queda la aproximación de la siguiente forma:
“Es la aproximación en la cual, la cifra a la que se quiere aproximar se mantendrá si la
cifra que está inmediatamente a la derecha es inferior a 5 y aumenta en 1 si la cifra de
la derecha es mayor o igual a 5”
Notas del estudiante
48,45

13. 13
Potencias
Propiedades de las potencias:
i) a1
= a
ii) 1n
= 1
iii) an
· bn
= (ab)n
iv) an
· am
= an+m
v) a-n
= n
1
a
; si a ≠ 0
vi) an
: bn
= (a:b)n
vii) an
: am
= an-m
viii) (an
)m
= an·m
ix) a0
= 1, si a  0
x) 0n
= 0, si n > 0
Notas del estudiante

14. 14
Notación Científica
En las ciencias naturales encontramos números muy grandes o muy pequeños.
Por ejemplo:
La medida de un organismo microcelular: 0, 000000004 mm.
La Velocidad de la luz : 300.000
𝑘𝑚
𝑠𝑒𝑔
Esta forma de escribir los núemros no es muy práctica de usar en ciencias, por lo que se inventó la notación científica:
En el caso de los ejemplos anteriores tenemos que quedan escritos así en Notación científica:
La medida de un organismo microcelular: 0, 000000003 mm. = 4 ∙ 10−9
La Velocidad de la luz : 300.000
𝑘𝑚
𝑠𝑒𝑔
: = 3 ∙ 105 𝑘𝑚
𝑠𝑒𝑔
𝑎 ∙ 10𝑛
𝑐𝑜𝑛 1 ≤ 𝑎 ≤ 10; 𝑛 ∈ 𝑍

15. 15
Ejercitación:
Transforme a notación científica las siguientes cantidades. Escribe tu respuesta en el recuadro correspondiente:
i) 0,000000000125
ii) 256.000.000.000.000.000
iii) 1,789
iv) 0,00600
v) Un billón
Notas del estudiante

16. 16
I. Amplifica los siguientes racionales por el número entre paréntesis.
Ejemplo 2
3
(5) =2 5 10
3 5 15



1) 4
5
(6) = 2) 1
7
(7) =
3)
5
6
(8) = 4)
5
11
(9) =
5)
11
12
(3) = 6)
7
8
(6) =
7)
2
9
(10) = 8)
13
15
(4) =
9)
17
19
(5)= 10)
16
23
(3) =
11)
14
17
(7) = 12)
9
10
(9) =
Notas del estudiante
Ejercicios

17. 17
II. Simplifica al máximo las siguientes fracciones, hasta llegar a la fracción
irreductible.
1)
3
12
= 2)
15
20
= 3)
3
51
=
4)
54
72
= 5)
48
72
= 6)
15
60
=
7)
64
96
= 8)
40
140
= 9)
192
320
=
10)
125
100
= 11)
77
132
= 12)
115
75
=
III. Forma las duplas de las fracciones que son equivalentes.
a)
3
5
b)
4
14
c)
2
7
d)
28
21
e)
15
25
f)
4
3
Notas del estudiante

18. 18
IV. Escribe en el recuadro el número que falta para que las fracciones
sean equivalentes.
1)
2 1
6 12 15
  
Resp.
2)
6 18
7 21 126
  
Resp.
V. Representa en una recta numérica los siguientes racionales.
1)
2 7 4 8
, , ,
5 3 7 3
 
VI. Ordena los siguientes racionales de manera creciente y decreciente.
Crec.
1)
1 1 1 1
, , ,
2 5 4 6 Dec.
Crec.
2)
5 3 2 5 7
, , , ,
8 4 3 6 9 Dec.
Notas del estudiante

19. 19
VIII
. Resuelve las siguientes operaciones combinadas y simplifica al máximo el resultado.
1)
1 1
2 4
 = 2)
2 1
3 2
 =
3)
1 3 5
2 4 6
  = 4)
8 13 2
10 15 30
  =
5)
2 2 7
3 5 4
  = 6)
12 3 4
6 5 7
  =
7)
4 3 2 1
7 8 3 3
 
  
 
 
= 8)
2 3 5
3 7 8
   =
9)
2 5
3 7
 = 10)
3
2
8
 =
11)
5 4
7 8
 = 12)
3 1
:
5 2
=
13)
3 1
2 :
7 5
 = 14)
2 4 4
:
7 5 7
 

 
 
=
15)
12 24
51 36
 = 16)
3 4
4 5

 =
Notas del estudiante
Recuerda que
Multiplicación Fraccionaria
a . c = a · c b, d 0
b d b · d
División Fraccionaria
𝐚
𝐛
∶
𝐜
𝐝
=
𝐚
𝐛
∙
𝐝
𝐜
Adición Fraccionaria
𝐚
𝐛
±
𝐜
𝐝
=
𝐚∙𝐝 ± 𝐛∙𝐜
𝐛∙𝐝

20. 20
17)
3 4 1
:
2 3 3
 

 
 
= 18)
3 2
1 1
:
3 3
   
   
   
=
19)
2 3
5 5
:
4 4
 
   
   
   
= 20)
2
2
2
3


 
 
 
 
 
 
 
=
21)
5 3 4
3 7 5
  = 22)
3 2 3 2 1
:
2 3 4 5 2
   =
23)
5 3 1 10 1 3
2 4 2 6 2 5
   
    
   
   
=
24)
5 2 4 4 1 1 3
:
3 3 5 6 3 2 5
 
    
 
 
=
25)
1 1
1
3 2
3
1
2
 
 
 
 

= 26)
2 1
2
5 3
2 1
3
3 5
 

 
 
 
 
 
 
=
27)
2 1
2
3 6
 
 
 
 
= 28)
1 1
3
2 3
 
 
 
 
=
29)
1 1
3 2
3 2
 = 30)
1 1
1 2
2 3
 =
Notas del estudiante

21. 21
31)
2 1
1
3 2
1 1
4 2
 

= 32)
1
2 1
3
3 1
1
2 3
 
 
=
33)
3 5 7 4 5 2
4 2 3 1 7 1
6 2 7 3 2 1
5 4 6 2 3 3
  
 
  
  
 
  
=
34)
2 2
2 1 1
1 2
3 6 3
   
   
   
   
=
35)
1
3 1 3 1 1
:
6 2 2 4 2

 
  
 
 
= 36)
1 1
3 1 1 1
2
4 3 6 3
 
   
   
   
   
=
37)
5 2 7
:
4 5 2
2 5 4
:
9 6 3
 
 

 
 
 
 
  
 
= 38)
1 2 15
3 5 3
1 2
2 3
 

=
Notas del estudiante

22. 22
39)
1
1
1
1
1
1 1



= 40)
1
2
2
2
2
2


=
41)
3 2
3 2
2 5
   

   
   
=
8. Resuelve los siguientes problemas
1) ¿Qué cantidad queda después de gastar los
3
7
de $ 490?
2) Se han vendido los
3
5
de una pieza de género de 200 metros, más tarde se vendió
1
4
de lo que quedaba. ¿Cuántos
metros de género quedan?
3) Si se tienen 5 piezas de género y cada pieza tiene 20
1
2
metros de largo. ¿Cuántos metros de género hay en total?
4) Un obrero debe abrir una zanja de 65 metros de largo. Si ya ha hecho los
2
13
, y luego hace el doble que lo que ya
hizo. ¿Cuántos metros le restan para terminar el trabajo?
Notas del estudiante

23. 23
5) Una deuda más
2
5
de la misma deuda, corresponde a $ 14.000. ¿A cuánto haciende la deuda?
6) Una modista emplea
1
3
4
metros para hacer un vestido. ¿Cuántos de estos vestidos podrá hacer con 52 metros?
7) Una persona en un juego, pierde los
3
5
del dinero que tenía. Luego pierde
3
4
de lo que le restaba, quedándose aún
con $ 900. ¿Cuánto dinero tenía al comienza
8) Un terreno se vende dividido en 16 partes iguales. Si solamente se presentaron 3 interesados: el primero interesado
adquirió
1
4
del terreno total, el segundo
1
2
y el otro
1
8
. ¿Cuántas partes quedan aún?
9) Si un pantalón se encoje
1
13
de su longitud después de cada lavado. ¿Cuánto medirá un pantalón de 130 cm después
del primer lavado?
10) Una comuna de una ciudad vende
1
3
de un terreno a una empresa constructora y los
3
4
del resto a otra empresa,
quedando aún 5 hectáreas sin vender. ¿Qué superficie tiene el terreno inicialmente?

24. 24
11) ¿Cuántos litros de bebida hay en una caja que tiene 24 botellas de bebidas de tres cuartos litros cada una?
12) Los
2
5
de los
6
7
de las naranjas recolectadas en una parcela se destinan a elaborar jugo de naranjas. ¿Qué fracción
de las naranjas recolectadas no se destinan a hacer jugo de naranjas?
13) Con el agua de un estanque, se llenan 630 botellas de
5
2
de litro cada una. ¿Cuántas botellas de
3
4
de litro se llenan
con el agua del estanque?
14) Pedro bebe diariamente un litro de leche. Si la leche se compra en botellas de un cuarto de litro. ¿Cuántas botellas
debe comprar para 14 días?
15) Camila ha utilizado
7
8
del dinero que tiene en pagarse las clases de guitarra, y un medio de lo que restaba en un
regalo para su hermana. Si le quedan $ 5.000. Entonces, ¿cuánto dinero tenía al inicio?