Este documento presenta las leyes fundamentales de los conjuntos, incluyendo: 1) La ley de idempotencia establece que un conjunto unido consigo mismo es igual al conjunto. 2) Las leyes conmutativa y asociativa definen las propiedades conmutativa y asociativa de la unión y la intersección de conjuntos. 3) La ley de identidad establece las propiedades de la unión e intersección de un conjunto con el conjunto vacío y el universal.

1. Republica Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder popular para la Educación Superior
I.U. P “Santiago Mariño”
Sección SV
Profesor: Bachiller:
Asdrúbal Rodríguez John Peraza
C.I: 23.734.386
Barcelona, marzo del 2016
Ley de Conjuntos

2. Ley de la Idempotencia
Ley de idempotencia: Dado cualquier conjunto A en un universal arbitrario U, se verifica:
1. A U A = A
2. A ∩ A = A
Sea X un elemento arbitrario del Universal U, Sucede,
1. X Є (A U A)  x Є A V x Є A (Definición de Unión)
 x Є A (Idempotencia de V)
De la arbitrariedad de x si sigue
Ɐ x [x Є(A U A)  x Є A]
De aquí: A U A = A
2. Analógicamente se prueba que A ∩ A= A

3. Ley Conmutativa
Ley Conmutativa: Dados dos conjuntos A y B de un universal arbitrario U, se
verifica:
1. A U B = B U A
2. A ∩ B = B ∩ A
Sea x cualquier elemento de U. Entonces
1. x Є(A U B)  x Є A V x Є B (Definición de unión)
 x Є B V x Є A (Conmutatividad de V)
 x Є (B U A) ( Definición de Unión)
Como x es cualquiera de U, se sigue
Ɐ x[ x Є A U B  x Є B U A]
Por lo tanto A U B = B U A
De una forma similar se demuestra que A ∩ B = B ∩ A

4. Ley Asociativa
Ley Asociativa: Dado tres conjuntos A, B y C de un universal arbitrario, U se verifica:
1. A U (B U C) = (A U B) U C
2. A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
Sea x un elemento arbitrario de U
X Є A U (B U C)  x Є A V [x Є(B U C) (Definición de Unión)
 x Є A V [x Є B V Є C) (Definición de Unión)
 (x Є A V x Є B) V x Є C (Asociatividad de V)
 (x Є A U B) V x Є C (Definición de Unión)
 x Є (A V B) U C (Definición de Unión)
De la arbitrariedad de x se sigue que
Ɐ x [x Є A U (B U C)  x Є (A U B) U C]
De aquí que A U (B U C) = (A U B) U C
2. Analógicamente se demuestra que A ∩(B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C

5. Ley Identidad
Ley de identidad: dado un conjunto de cualquiera de un universal arbitrario, U se
comprueba:
1. A U ø = A 2. A U U = U
3. A ∩ ø= ø 4. A ∩ U = A
1. A U ø = A Sea x un elemento arbitrario de U.
X Є (A U ø)  x Є A V x Є ø (Definición de Unión)
 x Є A (x Є ø es falso siempre)
Luego Ɐx [x Є (A U ø)  x Є A]
De aqui que
A U ø= A

6. 2. A U U = U. Sea x un elemento cualquiera de U.
X Є (A U U)  x Є A V x Є U ( Definición de unión)
 x Є A U (x Є U es verdad siempre)
Luego Ɐx [x Є (A U U)  x Є U]
Es decir:
3. A ∩ ø = ø. Si x cualquiera de U, entonces:
X Є (A ∩ ø)  x Є A Λ x Є ø (Definición de Unión)
 x Є ø (x Є ø es falso siempre)
Luego
4. A ∩ U = A. Sea x un elemento arbitrario de U. Entonces,
X Є A ∩ U  x Є A Λ x Є U (Definición de intersección)
 x Є A (x Є U es verdad siempre)
Luego, A ∩ U = A

7. Ley del Complemento
Leyes del Complementario: dado un conjunto cualquiera A de un universal arbitrario U, se verifica:
1. A U Ac= U 2. U c = ø
3. A ∩ Ac= ø 4. øc = U
1. A U Ac= U. Sea x cualquier elemento de U.
Entonces x Є (A U Ac)  x Є A V x Є Ac (Definición de Unión)
 x Є A V x /Є A (Complementario)
 x Є A V ¬(x Є A) (Negación)
 x Є U (Tautología)
Luego, Ɐx [x Є (A U Ac)  x Є U]
Por lo tanto A U Ac = U
2.Uc= ø. En Efecto, Uc = {x Є U: x Є Uc} = {x Є U Λ x/ Є U} = ø
3. A ∩ Ac = ø. En efecto A ∩ Ac = {x Є U: x Є A Λ x Є Ac}= {x Є U: x Є A Λ x/ Є A} = ø
4. Øc = U. En efecto, øc= {x Є U: x Є øc} = {x Є U: x/ Є ø} = {x Є U} = U

8. Fin.
gracias