Este documento presenta las propiedades y leyes fundamentales de los conjuntos, incluyendo la unión, intersección, diferencia, complemento y diferencia simétrica. Explica cada operación y propiedad a través de definiciones formales y demostraciones breves utilizando lógica proposicional. Finalmente, establece algunas propiedades especiales de los conjuntos vacío y universo en relación con estas operaciones.
Descripción del procedimiento para calcular el valor aproximado de raíces, exponentes, logaritmos y funciones trigonométricas aplicando el valor de la diferencial.
En cálculo, la diferencial representa un cambio en la lineación de una función.
En los enfoques tradicionales para el calculo, las diferenciales (dx, dy, etc…) se interpretan como infinitesimales.
Representa la parte principal del cambio en la lineación de una función: y = f(x)
Con respecto a cambios en la variable independiente.
Una aproximación lineal es una aproximación de cualquier función derivable a otra función que se supone más sencilla que la anterior. Esto es cierto para valores de cercanos a . Se utiliza para cálculos aproximados de algunas raíces, logaritmos etc.
Si x denota el valor medido de una variable y x + Δx representa el valor real, entonces Δx denota el error de medición. De esta manera, si el valor medido de x se utiliza en el cálculo de alguna otra magnitud f(x), entonces la diferencia que hay entre f(x + Δx) y f(x) se le conoce como error propagado.
A la razón ER = Δ푦/푦 se le conoce como error relativo y es expresado mediante un porcentaje.
Descripción del procedimiento para calcular el valor aproximado de raíces, exponentes, logaritmos y funciones trigonométricas aplicando el valor de la diferencial.
En cálculo, la diferencial representa un cambio en la lineación de una función.
En los enfoques tradicionales para el calculo, las diferenciales (dx, dy, etc…) se interpretan como infinitesimales.
Representa la parte principal del cambio en la lineación de una función: y = f(x)
Con respecto a cambios en la variable independiente.
Una aproximación lineal es una aproximación de cualquier función derivable a otra función que se supone más sencilla que la anterior. Esto es cierto para valores de cercanos a . Se utiliza para cálculos aproximados de algunas raíces, logaritmos etc.
Si x denota el valor medido de una variable y x + Δx representa el valor real, entonces Δx denota el error de medición. De esta manera, si el valor medido de x se utiliza en el cálculo de alguna otra magnitud f(x), entonces la diferencia que hay entre f(x + Δx) y f(x) se le conoce como error propagado.
A la razón ER = Δ푦/푦 se le conoce como error relativo y es expresado mediante un porcentaje.
Esta presentación no me pertenece, sin embargo la comparto con fines didácticos ya que ha sido un material de apoyo bastante bueno, créditos a su autor.
Instrucciones del procedimiento para la oferta y la gestión conjunta del proceso de admisión a los centros públicos de primer ciclo de educación infantil de Pamplona para el curso 2024-2025.
2. A continuación en la presente investigación se denotaran 5 leyes de
los conjuntos se indicaran sus propiedades y funciones mediante
ejemplos, la definen como la reunión en un todo de objetos bien
definidos y diferenciables entre si, que se llaman elementos del
mismo. tanto en las definiciones como en las leyes subsiguientes;
A,B,C designan conjuntos arbitrarios. Mientras que U es el conjunto
universo y ∅ es el conjunto vacío. Las Propiedades que debemos
manejar son las siguientes;
Unión (∪) : A ∪ B = { x / x ∈ A ∨ x ∈ B }
Intersección (∩) : A ∩ B = { x / x ∈ A ∧ x ∈ B }
Diferencia ( – ) : A – B = { x / x ∈ A ∧ x ∉ B }
Complemento ( c ) : Ac = { x / x ∉ A }
Diferencia simétrica ( Δ): AΔ B = (A ∪ B) – ( A ∩ B)
Inclusión (⊆): A ⊆ B ⇔ ∀x, x ∈ A → x ∈ B
Igualdad (=) : A = B ⇔ A ⊆ B ∧ B ⊆ A
3. Æ : el conjunto vacío, que carece
de elementos.
N: el conjunto de los números
naturales.
Z: el conjunto de los números
enteros.
Q : el conjunto de los números
racionales.
R: el conjunto de los números
reales.
C: el conjunto de los números
complejos.
4. Demostración: En efecto, sea x un
elemento arbitrario del universal U.
Entonces, 1. X ∈ ( A ∪ A ) ⇐⇒ x ∈ A
∨ x ∈ A {Definición de unión} ⇐⇒ x
∈ A {Idempotencia de ∨}
De la arbitrariedad de x se sigue
que
∀x [x ∈ (A ∪ A) ⇐⇒ x ∈ A]
De aquí que A ∪ A = A 2.
Análogamente se prueba que A ∩ A =
A
5. Demostración: En efecto, Sea x cualquier
elemento de U. Entonces,
x ∈ (A ∪ B) ⇐⇒ x ∈ A ∨ x ∈ B {Definición de
unión}
⇐⇒ x ∈ B ∨ x ∈ A {Conmutatividad de ∨}
⇐⇒ x ∈ (B ∪ A) {Definición de unión}
Como x es cualquiera de U, se sigue que
∀x [x ∈ A ∪ B ⇐⇒ x ∈ B ∪ A]
Por lo tanto,
A ∪ B = B ∪ A
De una forma similar se demuestra que A ∩ B
= B ∩ A
6. Demostración: En efecto, sea x es un
elemento arbitrario de U. Entonces,
X ∈ A ∪ (B ∪ C) ⇐⇒ x ∈ A ∨ [x ∈ (B ∪ C)]
{Definición de unión}
⇐⇒ x ∈ A ∨ (x ∈ B ∨ x ∈ C) {Definición de
unión}
⇐⇒ (x ∈ A ∨ x ∈ B) ∨ x ∈ C {Asociatividad de
∨}
⇐⇒ (x ∈ A ∪ B) ∨ x ∈ C {Definición de
unión}
⇐⇒ x ∈ (A ∪ B) ∪ C {Definición de unión}
De la arbitrariedad de x se sigue que ∀x [x ∈
A ∪ (B ∪ C) ⇐⇒ x ∈ (A ∪ B) ∪ C]
De aquí que
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C 2.
Análogamente se demuestra que
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
7. Demostración: A ∪ ∅ =A. En efecto, sea x es un
elemento arbitrario de U. Entonces,
X ∈ (A ∪ ∅) ⇐⇒ x ∈ A ∨ x ∈ ∅ {Definición de
unión}
⇐⇒ x ∈ A {x ∈ ∅ es falso siempre}
Luego, ∀x [x ∈ (A ∪ ∅) ⇐⇒ x ∈ A]
De aquí que A ∪ ∅ = A
A ∪ U = U. Sea x un elemento cualquiera de U.
Entonces, X ∈ (A ∪ U) ⇐⇒ x ∈ A ∨ x ∈ U
{Definición de unión}
⇐⇒ x ∈ U {x ∈ U es verdad siempre}
Luego, ∀x [x ∈ (A ∪ U) ⇐⇒ x ∈ U]
Es decir, A ∪ U = U
A ∩ ∅ = ∅. Si x es cualquiera de U, entonces X
∈ (A ∩ ∅) ⇐⇒ x ∈ A ∧ x ∈ ∅ {Definición de
unión} ⇐⇒ x ∈ ∅ {x ∈ ∅ es falso siempre}
Luego, A ∩ ∅ = ∅
A ∩ U = A. Sea x un elemento arbitrario de U.
Entonces, X ∈ A ∩ U ⇐⇒ x ∈ A ∧ x ∈ U
{Definición de intersección} ⇐⇒ x ∈ A {x ∈ U es
verdad siempre}
Luego, A ∩ U = A
8. Demostración: A ∪ Ac = U. En efecto, sea x
cualquier elemento de U. Entonces, x ∈ (A ∪
Ac) ⇐⇒ x ∈ A ∨ x ∈ Ac {Definición de unión}
⇐⇒ x ∈ A ∨ x /∈ A {Complementario}
⇐⇒ x ∈ A ∨ ¬(x ∈ A) {Negación}
⇐⇒ x ∈ U {Tautología}
Luego, ∀x [x ∈ (A ∪ Ac) ⇐⇒ x ∈ U ]
por lo tanto, A ∪ Ac = U
U c = ∅.
En efecto, Uc = {x ∈ U : x ∈ Uc} = {x ∈ U ∧ x
/∈ U } = ∅ 3
A ∩ Ac = ∅.
En efecto, A ∩ Ac = {x ∈ U : x ∈ A ∧ x ∈ Ac} =
{x ∈ U : x ∈ A ∧ x /∈ A} = ∅
∅c = U
En efecto, ∅c = {x ∈ U : x ∈ ∅c} = {x ∈ U : x
/∈ ∅} = {x ∈ U } = U