1) El documento describe tres sistemas de coordenadas para representar puntos en el plano y el espacio: coordenadas polares, cilíndricas y esféricas.
2) Las coordenadas polares representan puntos en el plano mediante la distancia al origen (r) y el ángulo respecto al eje horizontal (t).
3) Las coordenadas cilíndricas extienden este sistema al espacio usando r, t y la altura z.
4) Finalmente, las coordenadas esféricas usan dos ángulos
Este documento proporciona instrucciones para calcular valores exactos de funciones trigonométricas. Explica cómo convertir entre radianes y grados, y cómo usar el valor del ángulo para determinar los lados de un triángulo rectángulo y calcular sen, cos y tan. También resume funciones periódicas y funciones trigonométricas inversas, y cómo calcular valores para ángulos mayores que 90°.
Este documento presenta un método trigonométrico para analizar la posición de mecanismos planos de cuatro barras y biela-manivela-carrera. Describe cómo usar trigonometría para derivar ecuaciones que relacionan los ángulos de los eslabones dados un ángulo de entrada. Luego, muestra cómo resolver estas ecuaciones para determinar las posiciones de salida para cada solución posible. El método proporciona una forma sistemática de analizar la cinemática de estos mecanismos planos de manera geométric
Este documento presenta un resumen introductorio sobre las coordenadas polares. Explica el sistema de coordenadas polares, cómo graficar ecuaciones polares y algunos ejemplos como rosas, espirales y cardiodes. También cubre cálculo de áreas y intersección de gráficas en coordenadas polares.
El documento presenta 16 problemas de geometría analítica relacionados con puntos, segmentos, triángulos y polígonos en un plano cartesiano. Los problemas incluyen calcular distancias entre puntos, coordenadas de puntos medios y baricentros, ecuaciones de rectas, áreas de figuras y más. El documento proporciona una guía práctica para resolver diferentes tipos de problemas geométricos usando coordenadas cartesianas.
Este documento describe el sistema de coordenadas polares. Define las coordenadas polares de un punto como la distancia (r) desde el origen y el ángulo (θ) medido desde el eje polar. Explica cómo convertir entre coordenadas polares y rectangulares y cómo trazar curvas dadas sus ecuaciones polares. También cubre conceptos como coordenadas polares generalizadas y ejercicios de conversión de sistemas.
Este documento presenta información sobre coordenadas polares, incluyendo definiciones del sistema de coordenadas polares, ejemplos de ecuaciones de curvas comunes en coordenadas polares como la lemniscata y la circunferencia, y técnicas para graficar funciones y encontrar puntos de intersección en este sistema de coordenadas.
Este documento presenta información sobre coordenadas polares, incluyendo la definición de coordenadas polares, conversión entre coordenadas polares y rectangulares, tipos de gráficas polares como circunferencias, caracoles, rosas, lemniscatas y espirales, áreas de regiones planas en coordenadas polares, y puntos de intersección de gráficas polares.
Precalculo de villena 04 - coordenadas polaresrojasdavid1001
Este documento presenta información sobre el sistema de coordenadas polares. Explica cómo convertir entre coordenadas polares y cartesianas, y cómo graficar diferentes ecuaciones en el sistema polar, incluyendo rectas, circunferencias, parábolas, elipses e hipérbolas. También incluye ejemplos y ejercicios para que los estudiantes practiquen la representación gráfica de estas curvas en coordenadas polares.
Este documento proporciona instrucciones para calcular valores exactos de funciones trigonométricas. Explica cómo convertir entre radianes y grados, y cómo usar el valor del ángulo para determinar los lados de un triángulo rectángulo y calcular sen, cos y tan. También resume funciones periódicas y funciones trigonométricas inversas, y cómo calcular valores para ángulos mayores que 90°.
Este documento presenta un método trigonométrico para analizar la posición de mecanismos planos de cuatro barras y biela-manivela-carrera. Describe cómo usar trigonometría para derivar ecuaciones que relacionan los ángulos de los eslabones dados un ángulo de entrada. Luego, muestra cómo resolver estas ecuaciones para determinar las posiciones de salida para cada solución posible. El método proporciona una forma sistemática de analizar la cinemática de estos mecanismos planos de manera geométric
Este documento presenta un resumen introductorio sobre las coordenadas polares. Explica el sistema de coordenadas polares, cómo graficar ecuaciones polares y algunos ejemplos como rosas, espirales y cardiodes. También cubre cálculo de áreas y intersección de gráficas en coordenadas polares.
El documento presenta 16 problemas de geometría analítica relacionados con puntos, segmentos, triángulos y polígonos en un plano cartesiano. Los problemas incluyen calcular distancias entre puntos, coordenadas de puntos medios y baricentros, ecuaciones de rectas, áreas de figuras y más. El documento proporciona una guía práctica para resolver diferentes tipos de problemas geométricos usando coordenadas cartesianas.
Este documento describe el sistema de coordenadas polares. Define las coordenadas polares de un punto como la distancia (r) desde el origen y el ángulo (θ) medido desde el eje polar. Explica cómo convertir entre coordenadas polares y rectangulares y cómo trazar curvas dadas sus ecuaciones polares. También cubre conceptos como coordenadas polares generalizadas y ejercicios de conversión de sistemas.
Este documento presenta información sobre coordenadas polares, incluyendo definiciones del sistema de coordenadas polares, ejemplos de ecuaciones de curvas comunes en coordenadas polares como la lemniscata y la circunferencia, y técnicas para graficar funciones y encontrar puntos de intersección en este sistema de coordenadas.
Este documento presenta información sobre coordenadas polares, incluyendo la definición de coordenadas polares, conversión entre coordenadas polares y rectangulares, tipos de gráficas polares como circunferencias, caracoles, rosas, lemniscatas y espirales, áreas de regiones planas en coordenadas polares, y puntos de intersección de gráficas polares.
Precalculo de villena 04 - coordenadas polaresrojasdavid1001
Este documento presenta información sobre el sistema de coordenadas polares. Explica cómo convertir entre coordenadas polares y cartesianas, y cómo graficar diferentes ecuaciones en el sistema polar, incluyendo rectas, circunferencias, parábolas, elipses e hipérbolas. También incluye ejemplos y ejercicios para que los estudiantes practiquen la representación gráfica de estas curvas en coordenadas polares.
El documento describe el sistema de coordenadas polares, en el cual cada punto en un plano se define por su distancia (r) al origen y el ángulo (θ) formado con un eje de referencia. Explica que las coordenadas polares se usan comúnmente en navegación y astronomía. También describe cómo convertir entre coordenadas polares y cartesianas, y cómo representar curvas como círculos, espirales y secciones cónicas mediante ecuaciones polares.
El documento describe el sistema de coordenadas polares, el cual define la posición de un punto en un plano mediante dos valores: la distancia (radio r) desde un punto de referencia llamado polo, y el ángulo (theta θ) formado entre el eje polar y la línea que une el punto con el polo. Explica cómo representar curvas como la cardioide y la lemniscata de Bernoulli usando este sistema, y cómo convertir entre coordenadas polares y cartesianas. También cubre cómo graficar ecuaciones polares y calcular el área de una región delimitada por una
Este documento describe varias figuras geométricas que pueden graficarse usando coordenadas polares, incluyendo rosas, cardioides, limacones, circunferencias, lemniscates, nefroides, y concoides. Explica cómo cada figura se representa mediante una función polar y muestra ejemplos de gráficos para ilustrar cada figura.
El documento describe diferentes tipos de gráficas polares, incluyendo espirales, rectas, circunferencias y caracoles. Explica cómo identificar y dibujar estas gráficas a partir de sus ecuaciones polares, y también discute conceptos como la simetría en gráficas polares. Incluye ejemplos para ilustrar cómo graficar diferentes ecuaciones polares.
El documento explica el sistema de coordenadas polares, donde un punto se localiza mediante una distancia (r) y un ángulo (q) en lugar de coordenadas cartesianas (x,y). También describe cómo graficar funciones donde r depende de q, como espirales de Arquímedes y rosetas, y cómo calcular áreas entre curvas en el sistema de coordenadas polares.
El documento describe el sistema de coordenadas polares y cómo graficar diferentes curvas en este sistema. Explica que en coordenadas polares, un punto se define por su distancia (r) desde el origen y su ángulo (θ). Luego detalla cómo graficar rectas, circunferencias, parábolas, elipses, hipérbolas y otras curvas mediante sus ecuaciones polares. El objetivo es representar geométricamente estas curvas usando sólo r y θ.
Las coordenadas polares son un sistema alternativo al cartesiano para representar puntos en un plano mediante dos valores: la distancia al polo y el ángulo con el eje polar. Se puede graficar funciones definidas en coordenadas polares trazando puntos con coordenadas (x,y) tales que x = r cosθ y y = r senθ. El área de una región acotada por una función polar continua y no negativa se aproxima sumando los sectores angulares entre subdivisiones del intervalo de θ.
Este documento introduce las coordenadas polares como un sistema alternativo para representar puntos en un plano. Explica que las coordenadas polares consisten en la distancia r de un punto al polo y el ángulo θ que forma con el eje polar. También cubre cómo convertir entre coordenadas polares y cartesianas, cómo graficar ecuaciones polares, y cómo calcular el área de una región delimitada por una función polar. Incluye ejemplos de curvas como la rosa de ocho pétalos representada en coordenadas polares.
Este documento describe el sistema de coordenadas polares, incluyendo cómo definir la posición de un punto usando la distancia al polo (radio r) y el ángulo con el eje polar (ángulo θ). También explica cómo graficar ecuaciones y calcular el área de regiones usando coordenadas polares.
Este documento describe el sistema de coordenadas polares, incluyendo cómo se definen las coordenadas polares, cómo graficar ecuaciones polares, cómo encontrar puntos de intersección entre gráficas polares, y cómo calcular el área de una región en el plano usando coordenadas polares. Explica que las coordenadas polares usan el ángulo y la distancia al polo para especificar la posición de un punto, a diferencia de las coordenadas cartesianas.
Este documento describe el sistema de coordenadas polares, incluyendo cómo se definen las coordenadas polares, cómo graficar ecuaciones polares, cómo encontrar puntos de intersección entre gráficas polares, y cómo calcular el área de una región en el plano usando coordenadas polares. Explica que las coordenadas polares usan el ángulo y la distancia al polo para especificar la posición de un punto, a diferencia de las coordenadas cartesianas.
Este documento explica las coordenadas polares, incluyendo cómo definir la posición de un punto usando la distancia (r) al polo y el ángulo (θ) con el eje polar. También cubre cómo convertir entre coordenadas polares y cartesianas, y cómo graficar ecuaciones y calcular áreas usando coordenadas polares. Finalmente, proporciona un ejemplo de una cardioide.
El documento describe el sistema de coordenadas polares, el cual define la posición de un punto en un plano bidimensional mediante una distancia (r) y un ángulo (θ) con respecto a un origen. Explica cómo convertir entre coordenadas polares y cartesianas, y cómo graficar puntos y ecuaciones en el sistema polar. También cubre el cálculo del área de una región definida por ecuaciones polares.
El documento describe los sistemas de coordenadas polares, incluyendo su definición, ejemplos y aplicaciones. Explica que las coordenadas polares definen la posición de un punto mediante una distancia y un ángulo respecto a un origen, y cómo convertir entre coordenadas polares y rectangulares. También cubre cómo graficar ecuaciones polares y calcular el área de una región delimitada por una función de coordenadas polares.
Este documento presenta información sobre el sistema de coordenadas polares, incluyendo cómo definir la posición de un punto usando ángulo y distancia, cómo graficar ecuaciones en coordenadas polares, calcular el área de una región en coordenadas polares, y convertir entre coordenadas polares y cartesianas. También discute conceptos como intersección de gráficas polares y ejemplos como la parábola y la rosa de cuatro pétalos.
Este documento introduce las coordenadas polares como una alternativa al sistema de coordenadas cartesianas para representar puntos en el plano. Explica cómo convertir entre los dos sistemas de coordenadas y cómo graficar ecuaciones y curvas notables como círculos y cardioides usando coordenadas polares. Además, discute conceptos como la simetría de gráficas polares y cómo determinar si una gráfica pasa a través del polo.
Revista de matematica Sistema de Coordenadas PolaresRoinnerRodriguez
El documento explica los sistemas de coordenadas polares, incluyendo cómo convertir entre coordenadas polares y cartesianas, cómo graficar ecuaciones en coordenadas polares, y cómo calcular el área de una región plana en coordenadas polares. También describe otros sistemas de coordenadas como las coordenadas cilíndricas y esféricas.
Un sistema de coordenadas define la posición de puntos en un espacio geométrico a través de valores como distancia y ángulo desde un origen. Las coordenadas polares usan un ángulo y distancia para definir puntos en un plano. Aunque las cartesianas son comunes, las polares permiten expresar curvas de forma más simple. Las coordenadas polares de un punto P son el par ordenado (r,θ), donde r es la distancia al polo y θ es el ángulo desde el eje polar. El área de una región polar se calcula integrando la función r
Este documento describe diferentes sistemas de coordenadas, incluyendo coordenadas rectangulares, polares, cilíndricas y esféricas. Explica cómo cada sistema asigna números únicos a puntos en un espacio para especificar su posición, y cómo convertir entre sistemas usando fórmulas matemáticas. También cubre ecuaciones polares y de más dimensiones.
Este documento explica los sistemas de coordenadas polares, incluyendo sus componentes (distancia r y ángulo θ), ecuaciones para curvas polares como la circunferencia, línea, rosa polar y espiral de Arquímedes, y cómo convertir entre coordenadas polares y rectangulares.
Este documento describe los conceptos fundamentales del sistema de coordenadas polares y cómo convertir entre coordenadas polares y rectangulares. Explica que las coordenadas polares consisten en un ángulo y una distancia que definen la posición de un punto, y cómo graficar ecuaciones en este sistema de coordenadas.
Este documento describe los conceptos fundamentales del sistema de coordenadas polares y cómo convertir entre coordenadas polares y rectangulares. Explica que las coordenadas polares consisten en un ángulo y una distancia que definen la posición de un punto, y cómo graficar ecuaciones en este sistema de coordenadas. El objetivo es aplicar estas nociones a problemas de ingeniería.
El documento describe el sistema de coordenadas polares, en el cual cada punto en un plano se define por su distancia (r) al origen y el ángulo (θ) formado con un eje de referencia. Explica que las coordenadas polares se usan comúnmente en navegación y astronomía. También describe cómo convertir entre coordenadas polares y cartesianas, y cómo representar curvas como círculos, espirales y secciones cónicas mediante ecuaciones polares.
El documento describe el sistema de coordenadas polares, el cual define la posición de un punto en un plano mediante dos valores: la distancia (radio r) desde un punto de referencia llamado polo, y el ángulo (theta θ) formado entre el eje polar y la línea que une el punto con el polo. Explica cómo representar curvas como la cardioide y la lemniscata de Bernoulli usando este sistema, y cómo convertir entre coordenadas polares y cartesianas. También cubre cómo graficar ecuaciones polares y calcular el área de una región delimitada por una
Este documento describe varias figuras geométricas que pueden graficarse usando coordenadas polares, incluyendo rosas, cardioides, limacones, circunferencias, lemniscates, nefroides, y concoides. Explica cómo cada figura se representa mediante una función polar y muestra ejemplos de gráficos para ilustrar cada figura.
El documento describe diferentes tipos de gráficas polares, incluyendo espirales, rectas, circunferencias y caracoles. Explica cómo identificar y dibujar estas gráficas a partir de sus ecuaciones polares, y también discute conceptos como la simetría en gráficas polares. Incluye ejemplos para ilustrar cómo graficar diferentes ecuaciones polares.
El documento explica el sistema de coordenadas polares, donde un punto se localiza mediante una distancia (r) y un ángulo (q) en lugar de coordenadas cartesianas (x,y). También describe cómo graficar funciones donde r depende de q, como espirales de Arquímedes y rosetas, y cómo calcular áreas entre curvas en el sistema de coordenadas polares.
El documento describe el sistema de coordenadas polares y cómo graficar diferentes curvas en este sistema. Explica que en coordenadas polares, un punto se define por su distancia (r) desde el origen y su ángulo (θ). Luego detalla cómo graficar rectas, circunferencias, parábolas, elipses, hipérbolas y otras curvas mediante sus ecuaciones polares. El objetivo es representar geométricamente estas curvas usando sólo r y θ.
Las coordenadas polares son un sistema alternativo al cartesiano para representar puntos en un plano mediante dos valores: la distancia al polo y el ángulo con el eje polar. Se puede graficar funciones definidas en coordenadas polares trazando puntos con coordenadas (x,y) tales que x = r cosθ y y = r senθ. El área de una región acotada por una función polar continua y no negativa se aproxima sumando los sectores angulares entre subdivisiones del intervalo de θ.
Este documento introduce las coordenadas polares como un sistema alternativo para representar puntos en un plano. Explica que las coordenadas polares consisten en la distancia r de un punto al polo y el ángulo θ que forma con el eje polar. También cubre cómo convertir entre coordenadas polares y cartesianas, cómo graficar ecuaciones polares, y cómo calcular el área de una región delimitada por una función polar. Incluye ejemplos de curvas como la rosa de ocho pétalos representada en coordenadas polares.
Este documento describe el sistema de coordenadas polares, incluyendo cómo definir la posición de un punto usando la distancia al polo (radio r) y el ángulo con el eje polar (ángulo θ). También explica cómo graficar ecuaciones y calcular el área de regiones usando coordenadas polares.
Este documento describe el sistema de coordenadas polares, incluyendo cómo se definen las coordenadas polares, cómo graficar ecuaciones polares, cómo encontrar puntos de intersección entre gráficas polares, y cómo calcular el área de una región en el plano usando coordenadas polares. Explica que las coordenadas polares usan el ángulo y la distancia al polo para especificar la posición de un punto, a diferencia de las coordenadas cartesianas.
Este documento describe el sistema de coordenadas polares, incluyendo cómo se definen las coordenadas polares, cómo graficar ecuaciones polares, cómo encontrar puntos de intersección entre gráficas polares, y cómo calcular el área de una región en el plano usando coordenadas polares. Explica que las coordenadas polares usan el ángulo y la distancia al polo para especificar la posición de un punto, a diferencia de las coordenadas cartesianas.
Este documento explica las coordenadas polares, incluyendo cómo definir la posición de un punto usando la distancia (r) al polo y el ángulo (θ) con el eje polar. También cubre cómo convertir entre coordenadas polares y cartesianas, y cómo graficar ecuaciones y calcular áreas usando coordenadas polares. Finalmente, proporciona un ejemplo de una cardioide.
El documento describe el sistema de coordenadas polares, el cual define la posición de un punto en un plano bidimensional mediante una distancia (r) y un ángulo (θ) con respecto a un origen. Explica cómo convertir entre coordenadas polares y cartesianas, y cómo graficar puntos y ecuaciones en el sistema polar. También cubre el cálculo del área de una región definida por ecuaciones polares.
El documento describe los sistemas de coordenadas polares, incluyendo su definición, ejemplos y aplicaciones. Explica que las coordenadas polares definen la posición de un punto mediante una distancia y un ángulo respecto a un origen, y cómo convertir entre coordenadas polares y rectangulares. También cubre cómo graficar ecuaciones polares y calcular el área de una región delimitada por una función de coordenadas polares.
Este documento presenta información sobre el sistema de coordenadas polares, incluyendo cómo definir la posición de un punto usando ángulo y distancia, cómo graficar ecuaciones en coordenadas polares, calcular el área de una región en coordenadas polares, y convertir entre coordenadas polares y cartesianas. También discute conceptos como intersección de gráficas polares y ejemplos como la parábola y la rosa de cuatro pétalos.
Este documento introduce las coordenadas polares como una alternativa al sistema de coordenadas cartesianas para representar puntos en el plano. Explica cómo convertir entre los dos sistemas de coordenadas y cómo graficar ecuaciones y curvas notables como círculos y cardioides usando coordenadas polares. Además, discute conceptos como la simetría de gráficas polares y cómo determinar si una gráfica pasa a través del polo.
Revista de matematica Sistema de Coordenadas PolaresRoinnerRodriguez
El documento explica los sistemas de coordenadas polares, incluyendo cómo convertir entre coordenadas polares y cartesianas, cómo graficar ecuaciones en coordenadas polares, y cómo calcular el área de una región plana en coordenadas polares. También describe otros sistemas de coordenadas como las coordenadas cilíndricas y esféricas.
Un sistema de coordenadas define la posición de puntos en un espacio geométrico a través de valores como distancia y ángulo desde un origen. Las coordenadas polares usan un ángulo y distancia para definir puntos en un plano. Aunque las cartesianas son comunes, las polares permiten expresar curvas de forma más simple. Las coordenadas polares de un punto P son el par ordenado (r,θ), donde r es la distancia al polo y θ es el ángulo desde el eje polar. El área de una región polar se calcula integrando la función r
Este documento describe diferentes sistemas de coordenadas, incluyendo coordenadas rectangulares, polares, cilíndricas y esféricas. Explica cómo cada sistema asigna números únicos a puntos en un espacio para especificar su posición, y cómo convertir entre sistemas usando fórmulas matemáticas. También cubre ecuaciones polares y de más dimensiones.
Este documento explica los sistemas de coordenadas polares, incluyendo sus componentes (distancia r y ángulo θ), ecuaciones para curvas polares como la circunferencia, línea, rosa polar y espiral de Arquímedes, y cómo convertir entre coordenadas polares y rectangulares.
Este documento describe los conceptos fundamentales del sistema de coordenadas polares y cómo convertir entre coordenadas polares y rectangulares. Explica que las coordenadas polares consisten en un ángulo y una distancia que definen la posición de un punto, y cómo graficar ecuaciones en este sistema de coordenadas.
Este documento describe los conceptos fundamentales del sistema de coordenadas polares y cómo convertir entre coordenadas polares y rectangulares. Explica que las coordenadas polares consisten en un ángulo y una distancia que definen la posición de un punto, y cómo graficar ecuaciones en este sistema de coordenadas. El objetivo es aplicar estas nociones a problemas de ingeniería.
Este documento describe los conceptos fundamentales del sistema de coordenadas polares y cómo convertir entre coordenadas polares y rectangulares. Explica que las coordenadas polares consisten en un ángulo y una distancia que definen la posición de un punto, y cómo graficar ecuaciones en este sistema de coordenadas. El objetivo es aplicar estas nociones a problemas de ingeniería.
El documento introduce el sistema de coordenadas polares, el cual define la posición de un punto en un plano mediante una distancia (r) y un ángulo (θ) respecto a un punto de origen y un eje polar. Explica cómo representar curvas como la cardioide y la lemniscata de Bernoulli usando ecuaciones polares, y cómo graficar y calcular la intersección de dichas curvas. También presenta una fórmula para calcular el área de una región delimitada por una función continua y no negativa en coordenadas polares.
Este documento presenta las coordenadas polares, un sistema que define la posición de un punto en un plano mediante una distancia (r) y un ángulo (θ) respecto a un origen. Explica cómo graficar ecuaciones y calcular el área en este sistema. También cubre conceptos como la intersección de gráficas polares y casos especiales como el origen.
El documento describe el sistema de coordenadas polares, que representa puntos en un plano mediante dos coordenadas: la distancia (r) al polo y el ángulo (θ) con el eje polar. Explica cómo convertir entre coordenadas polares y rectangulares, y cómo representar curvas como la circunferencia, línea, rosa polar y espiral de Arquímedes mediante ecuaciones polares. También cubre cálculos como encontrar puntos de intersección de gráficas polares y calcular áreas de regiones delimitadas por funciones polares.
1. En el estudio de los conjuntos y las funciones es fundamental el sistema que se utilize para
representar los puntos. Estamos acostumbrados a utilizar la estructura de espacio af´ o de
ın
espacio vectorial de Rn , utilizando el sistema de representaci´n cartesiana mediante pares de
o
n´meros, en el caso del plano, o mediante ternas en el caso del espacio, que identificamos con
u
Coordenadas un sistema de coordenadas ortogonal.
polares en el Sin embargo esta no es la unica forma posible de identificar los puntos. Hay otras formas
´
plano. de representaci´n que en ocasiones pueden resultar m´s utiles: el sistema de representaci´n
o a ´ o
Coordenadas cartesiana es util para representar la superficie de la tierra en un plano, pero sin embargo los
´
cil´
ındricas y barcos en el mas utilizan un sistema de radar bidimensional que sit´a los puntos del plano
u
esf´ricas en el
e en c´ırculos centrados en el origen de coordenadas, y los aviones o las naves espaciales, o los
espacio submarinos, utilizan un sistema de radar tridimensional. Estos sistemas se basan en los sistemas
de coordenadas polares, cil´ındricas y esf´ricas que vamos a ver en este cap´
e ıtulo.
Coordenadas . . .
Coordenadas . . .
Coordenadas . . .
2. 1. Coordenadas polares en el plano
Partimos de la representaci´n cartesiana del plano mediante pares ordenados de n´meros, que
o u
representan la distancia del punto a dos ejes ortogonales, llamados ejes de coordenadas. La
Coordenadas costumbre es dibujar uno horizontal (abscisas) y otro vertical (ordenadas), y llamar x a la distancia
polares en el del punto P al eje vertical, e y a la distancia al eje horizontal.
plano. De este modo cada punto del plano est´ un´
a ıvocamente determinado por sus dos coordenadas
Coordenadas P = (x, y)
cil´
ındricas y
esf´ricas en el
e y P = (x, y)
espacio
r
Coordenadas . . .
Coordenadas . . .
t
Coordenadas . . .
x
Pues bien, tambi´n podemos identificar cada punto del plano por otros dos n´meros: uno es
e u
la distancia que lo separa del origen de coordenadas, r, y otro el ´ngulo t que forma el segmento
a
que une P con el origen con el sentido positivo del eje horizontal. r se denomina m´dulo de P
o
3. y t argumento de P , y el par (r, t) se denomina coordenadas polares de P .
Esta relaci´n no es un´
o ıvoca, en el sentido de que a un punto P le corresponden infinitos pares,
puesto que podemos escoger el ´ngulo t o cualquier otro de la forma t + 2kπ. Para que a un
a
punto le corresponda un unico par, debemos escoger los ´ngulos en un intervalo de longitud 2π,
´ a
Coordenadas que normalmente ser´ el intervalo [0, 2π). De esta manera, a cada punto P del plano distinto
a
polares en el del origen (0, 0) le corresponde un unico par (r, t), con r > 0 y 0 ≤ t < 2π.
´
plano. El origen de coordenadas se caracteriza porque r = 0, pero t puede ser cualquier ´ngulo.
a
Coordenadas Aplicando un poco de trigonometr´ la relaci´n entre las coordenadas cartesianas de un punto
ıa, o
cil´
ındricas y y sus coordenadas polares es clara:
esf´ricas en el
e
espacio
x = r cos(t) r = x2 + y 2
y = r sen(t) t = arctan(y/x)
Coordenadas . . .
Coordenadas . . . con una precauci´n: para que la funci´n arcotangente est´ bien definida (a un n´mero real
o o e u
Coordenadas . . . le corresponda un unico ´ngulo), debe escogerse un intervalo de longitud π en el que definir
´ a
la imagen. Usualmente se define la funci´n arcotangente de R en el intervalo [−π/2, π/2],
o
arctan : R −→ [−π/2, π/2]. En este caso para un punto P que est´ en el segundo o tercer
e
cuadrante del plano la funci´n arctan(y/x) nos dar´ un ´ngulo α entre −π/2 y π/2, y el verdadero
o a a
argumento de P ser´ t = α + π. Y si P est´ en el cuarto cuadrante, el argumento de P ser´
a a a
α + 2π. Es decir, deber´ ıamos escribir
4. t=α+π
t=α+π
Coordenadas α
polares en el t=α
plano.
Coordenadas α
cil´
ındricas y α
esf´ricas en el
e
espacio
t = α + 2π
Coordenadas . . .
Coordenadas . . . arctan(y/x) si x ≥ 0, y ≥ 0
Coordenadas . . . t= arctan(y/x) + π si x<0
arctan(y/x) + 2π si x ≥ 0, y < 0
Esto es evidentemente bastante inc´modo. En muchos casos, para simplificar un poco, se
o
consideran los argumentos de los puntos del plano en [−π/2, 3π/2], en vez de en [0, 2π], y as´
ı
podemos eliminar la tercera opci´n en la definici´n de t, admitiendo que los puntos del cuarto
o o
5. t=α+π
t=α+π
Coordenadas α
polares en el t=α
plano.
Coordenadas α
cil´
ındricas y t=α
esf´ricas en el
e
espacio
cuadrante tienen argumento negativo.
Coordenadas . . .
Coordenadas . . . Ejemplo 1. Dibujar la curva definida en coordenadas polares por la ecuaci´n r = cos t
o
Coordenadas . . . Conociendo el comportamiento de la funci´n cos t, e interpretando la informaci´n que obte-
o o
nemos sobre r, observamos que
• Como tiene que ser r > 0, entonces cos t > 0, luego t ∈ [−π/2, π/2] + 2kπ (k ∈ Z); es
decir, los puntos de la curva estar´n todos en el semiplano de la derecha, x ≥ 0
a
• Como la funci´n r(t) = cos t es peri´dica de per´
o o ıodo 2π, en cada intervalo de longitud 2π
la curva se repite, luego basta considerar s´lo uno de los intervalos, t ∈ [−π/2, π/2]
o
6. • Como la funci´n r(t) es par, es decir, r(t) = r(−t), entonces la curva es sim´trica respecto
o e
al eje horizontal, as´ que se podr´ estudiar s´lo el intervalo [0, π/2], y repetir el dibujo en
ı ıa o
la parte inferior por simetr´
ıa.
Coordenadas • Los puntos de corte de la curva con los ejes de coordenadas son los que tienen t = −π/2,
polares en el t = 0, t = π/2 (y t = π, aunque en este ejemplo en particular este caso no puede darse,
plano. por lo que hemos visto arriba).
Coordenadas Si t = −π/2, r(t) = r(−π/2) = cos(π/2) = 0, es decir, el punto correspondiente est´ en
a
cil´
ındricas y el origen de coordenadas.
esf´ricas en el
e
Si t = 0, r(t) = r(0) = cos 0 = 1, luego el punto correspondiente esta en el eje horizontal,
espacio
a distancia 1 del origen; es decir, es el punto (1, 0)
Y si t = π/2, otra vez r(π/2) = 0, luego es el origen de coordenadas.
Coordenadas . . .
Coordenadas . . . • Y en los intervalos intermedios de los ´ngulos, si t ∈ [−π/2, 0], r(t) = cos t es mon´tona
a o
Coordenadas . . . creciente. Esto quiere decir que seg´n aumenta el ´ngulo desde el eje vertical hacia el eje
u a
horizontal, la distancia de los puntos de la curva al origen de coordenadas va aumentando,
hasta llegar al punto (1, 0).
En cambio en si t ∈ [0, π/2], la funci´n r(t) = cos t es mon´tona decreciente, luego a
o o
partir del eje horizontal, y hasta el eje vertical, los puntos vuelven a acercarse al origen de
coordenadas.
7. Si pasamos toda esta informaci´n al plano xy, podemos hacer un dibujo suficientemente
o
aproximado de la curva:
Coordenadas
polares en el
plano.
Coordenadas
cil´
ındricas y
esf´ricas en el
e
espacio
Coordenadas . . . En este ejemplo concreto es f´cil pasar la ecuaci´n de coordenadas polares a coordenadas
a o
Coordenadas . . . cartesianas, para comprobar el resultado:
Coordenadas . . .
Si r = cos(t), multiplicando por r, r2 = r cos(t), luego x2 + y 2 = x, equivalente a la ecuaci´n
o
(x − 1/2)2 + y 2 = 1/4, que es la de la circunferencia de centro (1/2, 0) y radio 1/2.
8. 2. Coordenadas cil´
ındricas en el espacio
En el espacio tridimensional partimos de la representaci´n cartesiana del espacio mediante ternas
o
ordenadas de n´meros, que representan la distancia del punto a tres ejes ortogonales, llamados
u
Coordenadas ejes de coordenadas.
polares en el De este modo cada punto del espacio est´ un´
a ıvocamente determinado por sus tres coordenadas
plano. P = (x, y, z)
Coordenadas Pero tambi´n podemos identificar cada punto del espacio por otros tres n´meros: dos n´meros
e u u
cil´
ındricas y r y t son las coordenadas polares en el plano horizontal de la proyecci´n de P sobre este plano,
o
esf´ricas en el
e P = (x, y, 0), y el tercero es la altura de P sobre el plano horizontal, la coordenada z. La terna
espacio (r, t, z) se denomina coordenadas cil´ ındricas de P .
Coordenadas . . .
Coordenadas . . .
Coordenadas . . .
9. z
P = (x, y, z) x = r cos(t)
y = r sen(t)
z=z
Coordenadas
polares en el
z
plano.
Coordenadas y
r = x2 + y 2
t = arctan(y/x)
cil´
ındricas y r
esf´ricas en el
e t
con las mismas condiciones que
x
en las coordenadas polares
espacio
z=z
Coordenadas . . .
Coordenadas . . .
Ejemplo 2. Dibujar la curva definida en coordenadas cil´
ındricas por las ecuaciones
Coordenadas . . .
r = s, t = s, z = s, con s ∈ R+ = [0, ∞)
Observamos f´cilmente que al ir creciendo el valor de s, el ´ngulo aumenta, haciendo que el
a a
punto vaya dando vueltas alrededor del eje vertical. Al mismo tiempo aumenta el radio, lo que
quiere decir que cada vez se aleja m´s del eje vertical, y la altura aumenta, luego va subiendo
a
hacia arriba.
10. Con m´s precisi´n, las ecuaciones r = s, z = s al pasarlas a coordenadas cartesianas implican
a o
z= x 2 + y 2 , luego la curva est´ contenida en la hoja superior del cono x2 + y 2 = z 2 .
a
Las ecuaciones t = s, z = s implican que los puntos de la curva van “subiendo” mientras
dan vueltas alrededor del eje vertical.
Coordenadas Se trata de una h´lice c´nica.
e o
polares en el
plano.
Coordenadas
cil´
ındricas y
esf´ricas en el
e
espacio
Coordenadas . . .
Coordenadas . . .
Coordenadas . . .
11. 3. Coordenadas esf´ricas en el espacio
e
Cada punto del espacio tridimensional se puede identificar tambi´n mediante otros tres n´meros:
e u
dos ´ngulos y una distancia
a
Coordenadas ϕ es el ´ngulo que forma el vector P con el plano horizontal (latitud). θ es el ´ngulo que forma
a a
polares en el el vector P con el plano y = 0 (longitud). Y ρ es la distancia de P al origen de coordenadas. La
plano. terna (ρ, θ, ϕ) se denomina coordenadas esf´ricas de P .
e
Coordenadas
cil´
ındricas y
esf´ricas en el
e ϕ ∈ [−π/2, π/2], θ ∈ [0, 2π), ρ≥0
espacio
z
P = (x, y, z)
Coordenadas . . .
Coordenadas . . .
Coordenadas . . . ρ
ϕ
O y
θ
x
N M
12. Aplicando un poco de trigonometr´ a los tri´ngulos OP M y OM N , tenemos
ıa a
z = ρ sen ϕ
Coordenadas OM = ρ cos ϕ
polares en el x = OM cos θ = ρ cos ϕ cos θ
plano.
Coordenadas y = OM sen θ = ρ cos ϕ sen θ
cil´
ındricas y que son las ecuaciones que permiten obtener las coordenadas cartesianas a partir de las coorde-
esf´ricas en el
e nadas esf´ricas.
e
espacio Rec´ıprocamente,
Coordenadas . . .
ρ= x2 + y 2 + z 2
Coordenadas . . .
Coordenadas . . . ϕ = arcsen(z/ρ)
arctan(y/x) si x ≥ 0, y ≥ 0
θ= arctan(y/x) + π si x<0
arctan(y/x) + 2π si x ≥ 0, y < 0
13. Ejemplo 3. Escribir las ecuaciones en coordenadas polares de dos h´lices esf´ricas, que empiezan
e e
en el polo sur y acaban en el polo norte, despu´s de dar alguna vuelta a la esfera de centro el
e
origen y radio 2 al rededor del eje vertical.
En cualquier caso, los puntos de la curva est´n sobre la esfera de radio 2, luego tiene que ser
a
Coordenadas ρ = 2.
polares en el Para conseguir el efecto de girar alrededor del eje vertical, dejamos como variable el ´ngulo
a
plano. θ.
Coordenadas Y para que los puntos vayan subiendo desde el polo sur hasta el polo norte, el ´ngulo ϕ tiene
a
cil´
ındricas y que ir aumentando desde −π/2 hasta π/2.
esf´ricas en el
e Construimos dos ejemplos: en el primer caso, ϕ = −π/2 + θ/4 con θ ∈ [0, 4π], y en el
espacio segundo ϕ = −π/2 + θ/8 con θ ∈ [0, 8π]
Coordenadas . . .
Coordenadas . . .
Coordenadas . . .
14. Coordenadas
polares en el
plano.
Coordenadas
cil´
ındricas y
esf´ricas en el
e
espacio
Coordenadas . . .
Coordenadas . . .
Coordenadas . . .