El documento explica el sistema de coordenadas polares, donde un punto se localiza mediante una distancia (r) y un ángulo (q) en lugar de coordenadas cartesianas (x,y). También describe cómo graficar funciones donde r depende de q, como espirales de Arquímedes y rosetas, y cómo calcular áreas entre curvas en el sistema de coordenadas polares.

1. COORDENADAS POLARES
En un sistema de coordenadas rectangulares o cartesiano se puede
localizar un punto con una sola pareja de puntos (x,y) estos valores son las
distanicas dirigidas, partiendo del origen, desde los ejes x e y respectivamente.
El origen es el punto donde se intersectan los dos ejes coordenados.
Otra forma de representar puntos en el plano es empleando
coordendas polares, en este sistema se necesitan un ángulo (q) y una
distancia (r). Para medir q, en radianes, necesitamos una semirrecta dirigida
llamada eje polar y para medir r, un punto fijo llamado polo.

2. Si queremos localizar un punto (r,q) en este sistema de coordenadas, lo
primero que tenemos que hacer es trazar una circunferencia de radio r,
después trazar una línea con un ángulo de inclinación q y, por último,
localizamos el punto de intersección entre la circunferencia y la recta; este
punto será el que queríamos localizar.
A continuación localizamos varios puntos en el plano polar.
Observa que hay tres circunferencias, todos los puntos sobre estas
circunferencias tienen una distancia al polo igual al radio de ella. Lo único que

3. hace falta es encontrar el ángulo de inclinación. Para medir el ángulo es
necesario tomar en cuenta si este es positivo o negativo. Si es positivo hay que
medirlo en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj y si es
negativo, a favor del movimiento de las manecillas del reloj.
Como ves los ángulos pueden ser negativos dependiendo de cómo se
midan a partir del eje polar,
también podemos tener distancias "negativas": ya que hayamos localizado el
ángulo, la recta que parte del polo en esa dirección tendrán un radio positivo y
los puntos que estén sobre la prolongación de esta recta en sentido contrario al
polo tendrán un radio negativo. Por ejemplo:

4. Con estos conceptos básicos de localización de puntos en el sistema de
coordenadas polares, podemos graficar funciones y no solo puntos.
En este tipo de funciones la variable independiente es q y la dependiente es r,
así que las funciones son del tipo r = r(q). El método para graficar estas
funciones es el siguiente, primero graficamos la función r = r(q) en
coordenadas rectangulares y apartar de esa gráfica trazamos la
correspondiente en polares. Guiándonos con la dependencia de r con respecto
a q.
Recordemos que q es la variable independiente y va de 0 a 2p
generalmente. Por ejemplo la función r = q tiene como gráfica en rectangulares
A la izquierda vemos
que el radio depende
linealmente con el
ángulo, es decir que el
radio crecerá y tomará
los mismos valores
que el ángulo. Y a la
derecha tenemos esta
gráfica en
coordenadas polares

5. se ve claro esta
dependencia del radio
con el ángulo. A esta
gráfica se le llama
Espiral de Arquímedes
Mostraremos a continuación algunas gráficas en coordenadas polares.
r = sen(2q)
r = sen(3q)
r = sen(4q)
r = sen(5q)

6. Hasta aquí hemos visto que las funciones del tipo r = sen(aq) son rosas
o rosetas. El número de pétalos depende del valor de a, si a es par, el número
de pétalos es 2a; y si a es impar el número de pétalos es a.
Para graficar estas funciones en el cuaderno o en el pizarrón se puede
hacer una tabulación sólo con algunos valores de q que casi siempre son: 0,
p/2, p, 3p/2, 2p. y ver cómo cambia el valor de r.
r = 1- sen(q)
Aquí
observamos
que el radio
siempre es
positivo y va
de 1 a 2.
Área en coordenadas polares

7. En polares al igual que en rectangulares y en paramétricas podemos encontrar
el área bajo la curva. En polares diremos que será el área barrida por una
variación en el ángulo θ.
Si tenemos una curva de este tipo
sabemos que el área para uno de los segmentos está definida como
entonces si tomamos una pequeña variación como la siguiente
diremos que
entonces si queremos sacar el área de esa pequeña variación obtenemos
como el área que nos interesa no es solamente el de la pequeña variación
sino que el de un pedazo entonces lo que hacemos es sumar todos los
pequeños pedazos

8. nos encontramos que esta es una suma de Riemann entonces
podemos conlcuir que
Ejemplo #1
Encontrar el area entre curvas de:
podemos escribirla como,
podemos escribirla como,
Para que podamos visualizar mejor el area que tenemos que
encontrar es necesario que grafiquemos, la grafica nos quedaria
de la siguiente manera:
rojo:
negro:

9. Como vemos en la grafica el area que ellos comparten es,
en de y de
de
Empezaremos con el area de
Ahora calculamos el area de

10. El area total seria la suma de las dos
areas:
Concluimos que el area en polares seria: