Este documento describe diferentes sistemas de coordenadas, incluyendo coordenadas rectangulares, polares, cilíndricas y esféricas. Explica cómo cada sistema asigna números únicos a puntos en un espacio para especificar su posición, y cómo convertir entre sistemas usando fórmulas matemáticas. También cubre ecuaciones polares y de más dimensiones.

1. COORDENADAS
• RECTANGULARES
• POLARES
• CILINDRICAS
• ESFERICAS

2. CONCEPTOS
En geometría, un sistema de coordenadas es un sistema
que utiliza uno o más números (coordenadas) para
determinar unívocamente la posición de un punto o de
otro objeto geométrico.
El orden en que se escriben las coordenadas es
significativo y a veces se las identifica por su posición en
una dupla ordenada; también se las puede representar
con letras, como por ejemplo «la coordenada-x». El
estudio de los sistemas de coordenadas es objeto de la
geometría analítica, permite formular los problemas
geométricos de forma "numérica".
Un ejemplo corriente es el sistema que asigna longitud y
latitud para localizar coordenadas geográficas. En física, un
sistema de coordenadas para describir puntos en el
espacio recibe el nombre de sistema de referencia.

3. COORDENADA RECTANGULAR
Las coordenadas cartesianas o coordenadas
rectangulares son un ejemplo de coordenadas
ortogonales usadas en espacios euclídeos caracterizadas
por la existencia de dos ejes perpendiculares entre sí que
se cortan en un punto origen. Las coordenadas
cartesianas se definen como la distancia al origen de las
proyecciones ortogonales de un punto dado sobre cada
uno de los ejes.
Las coordenadas cartesianas se usaron como un ejemplo
para definir un sistema cartesiano o sistema de
referencia respecto ya sea a un solo eje (línea recta),
respecto a dos ejes (un plano) o respecto a tres ejes (en
el espacio), perpendiculares entre sí (plano y espacio),
que se cortan en un punto llamado origen de
coordenadas. En el plano, las coordenadas cartesianas (o
rectangulares) X e Y se denominan abscisa y ordenada,
respectivamente.

4. COORDENADA POLAR
Es un sistema de coordenadas bidimensional en el cual cada
punto del plano se determina por un ángulo y una distancia.
Se toman: un punto O del plano, al que se le llama origen o polo,
y una recta dirigida (o rayo, o segmento OL) que pasa por O,
llamada eje polar (equivalente al eje x del sistema cartesiano),
como sistema de referencia. Con este sistema de referencia y una
unidad de medida métrica (para poder asignar distancias entre
cada par de puntos del plano), todo punto P del plano
corresponde a un par ordenado (r, θ) donde r es la distancia de P
al origen y θ es el ángulo formado entre el eje polar y la recta
dirigida OP que va de O a P. El valor θ crece en sentido
antihorario y decrece en sentido horario. La distancia r (r ≥ 0) se
conoce como la «coordenada radial» o «radio vector», mientras
que el ángulo es la «coordenada angular» o «ángulo polar». En el
caso del origen , O, el valor de r es cero, pero el valor de θ es
indefinido. En ocasiones se adopta la convención de representar
el origen por (0,0º).

5. Para convertir de un sistema a otro, se resuelve el triángulo:
De cartesianas a polares
Si tienes un punto en coordenadas cartesianas (x,y) y lo quieres
en coordenadas polares (r,θ), necesitas resolver un triángulo del
que conoces dos lados.
Ejemplo: ¿qué es (12,5) en coordenadas polares?
Usamos el teorema de Pitágoras para calcular el lado largo (la
hipotenusa):
r2 = 122 + 52 r = √ (122 + 52) r = √ (144 + 25) = √ (169) = 13
Usa la función tangente para calcular el ángulo:
tan( θ ) = 5 / 12 θ = atan( 5 / 12 ) = 22.6°

6. Así que las fórmulas para convertir coordenadas cartesianas (x,y)
a polares (r,θ) son:
r = √ (x2 + y2)
θ = atan( y / x )
para calcular el lado largo (la hipotenusa):
r2 = 122 + 52
r = √ (122 + 52)
r = √ (144 + 25) = √ (169) = 13
Usa la función tangente para calcular el ángulo:
tan( θ ) = 5 / 12
θ = atan( 5 / 12 ) = 22.6°
Así que las fórmulas para convertir coordenadas cartesianas
(x,y) a polares (r,θ) son:
r = √ (x2 + y2)
θ = atan( y / x )

7. COORDENADA CILINDRICA
El sistema de coordenadas cilíndricas es un sistema de
coordenadas que extiende al sistema de coordenadas
polares añadiendo una tercera coordenada que mide la
altura de un punto sobre el plano, de la misma forma que el
sistema de coordenadas cartesianas se extiende a tres
dimensiones. La tercera coordenada se suele representar
por h, haciendo que la notación de dichas coordenadas sea
(r, θ, h) = (r, θ, z)
Las coordenadas cilíndricas pueden convertirse en
coordenadas cartesianas de la siguiente manera:
X= r cos θ
Y= r sen θ
Z= z
Conversión de Cartesianas a Polares
Aplicando el Teorema de Pitágoras se obtienen las siguientes
expresiones:
Z= Z

8. Para determinar la coordenada angular θ, se deben
distinguir dos casos:
• Para r = 0, el ángulo θ puede tomar cualquier valor real.
• Para r ≠ 0, para obtener un único valor de θ, debe
limitarse a un intervalo de tamaño 2π. Por convención,
los intervalos utilizados son [0, 2π) y (−π, π].
Para obtener θ en el intervalo [0, 2π), se deben usar las
siguientes fórmulas (arctan denota la inversa de la función
tangente):
Para obtener θ en el intervalo (−π, π], se deben usar las
siguientes fórmulas:

9. o equivalentemente:

10. Punto representado en coordenadas cilíndricas

11. r = sen 2 θ
r = sen 3 θ

12. ECUACIONES POLARES
Se le llama ecuación polar a la ecuación que define una
curva expresada en coordenadas polares. En muchos casos
se puede especificar tal ecuación definiendo r como una
función de θ. La curva resultante consiste en una serie de
puntos en la forma (r(θ), θ) y se puede representar como
la gráfica de una función r.
Debido a la naturaleza circular del sistema de coordenadas
polar, muchas curvas se pueden describir con una simple
ecuación polar, mientras que en su forma cartesiana sería
mucho más complicado. Algunas de las curvas más
conocidas son la rosa polar, la espiral de Arquímedes, la
lemniscata, el caracol de Pascal y la cardiode.

13. La ecuación general para una circunferencia con centro en
(r0, φ) y radio a es
para una circunferencia con centro en el polo y radio a, se
obtiene:
Líneas radiales:
Las líneas radiales (aquellas que atraviesan el polo) se
representan mediante la ecuación
donde φ es el ángulo de elevación de la línea, esto es,
φ = arctan donde es la pendiente de la línea en el sistema
de coordenadas cartesianas. La línea no radial que cruza la
línea radial θ = φ perpendicularmente al punto (0, φ) tiene
la ecuación:

14. Rosa polar es el nombre que recibe cualquier miembro de
una familia de curvas de ecuación por asemejarse a una
flor de pétalos.
La espiral de Arquímedes es una famosa espiral
descubierta por Arquímedes, la cual puede expresarse
también como una ecuación polar simple. Se representa
con la ecuación:

15. COORDENADAS ESFERICAS
Al igual que las coordenadas cilíndricas, el sistema de
coordenadas esféricas se usan en espacios euclídeos
tridimensionales. Este sistema de coordenadas esféricas
está formado por tres ejes mutuamente ortogonales que se
cortan en el origen. La primera coordenada es la distancia
entre el origen y el punto, siendo las otras dos los ángulos
que es necesario girar para alcanzar la posición del punto.
Las coordenadas polares también pueden extenderse a tres
dimensiones usando las coordenadas (ρ, φ, θ), donde ρ es la
distancia al origen, φ es el ángulo con respecto al eje z
(medido de 0º a 180º), y θ es el ángulo con respecto al eje x
(igual que en las coordenadas polares, entre 0º y 360º) Este
sistema de coordenadas es similar al sistema utilizado para
denotar la altitud y la latitud de un punto en la superficie de
la Tierra, donde se sitúa el origen en el centro de la Tierra,
la latitud δ es el ángulo complementario de φ (es decir, δ =
90° − φ), y la longitud l viene dada por θ − 180°.

16. Las coordenadas esféricas pueden convertirse en
coordenadas cartesianas de la siguiente manera:
Las coordenadas polares en el espacio tienen especial
interés cuando los ángulos determinan la función, como
en el caso de la hélice

17. Ecuaciones para transformar de Cilíndricas a Esféricas:
Ecuaciones para transformar de Esféricas a Rectangulares
Ecuaciones para transformar de Rectangulares a Esféricas:
Ecuaciones para transformar de Esféricas a Cilíndricas:

18. COORDENADAS DE «n»
DIMENSIONES
Es posible generalizar estas ampliaciones de forma que se
obtenga un sistema de representación para 4 o más
dimensiones. Por ejemplo, para 4 dimensiones se obtiene:

19. BIBLIOGRAFIA
http://www.slideshare.net/kaizzerz/geometria-
analitica-charles-h-lehmann
http://www.wikimatematica.org/index.php?titl
e=Coordenadas_Cil%C3%ADndricas_y_Esf%C3
%A9ricas#Coordenadas_Cil.C3.ADndricas