Este documento presenta información sobre coordenadas polares, incluyendo definiciones del sistema de coordenadas polares, ejemplos de ecuaciones de curvas comunes en coordenadas polares como la lemniscata y la circunferencia, y técnicas para graficar funciones y encontrar puntos de intersección en este sistema de coordenadas.
El documento describe diferentes tipos de sustituciones que pueden producir funciones racionales e integra funciones trigonométricas inversas y hiperbólicas. También define la integral definida y sus propiedades, así como el cálculo del área de una región plana limitada por una curva y los ejes x e y.
Este documento propone un nuevo enfoque para explicar el límite de funciones de dos variables sin utilizar inicialmente las definiciones formales. Sugiere comenzar analizando el comportamiento algebraico y gráfico de la función, y relacionarlo con conceptos de límites de una variable. Luego, define formalmente el límite de dos variables utilizando la noción de entorno en R2. El objetivo es que los estudiantes comprendan mejor el concepto a través de un desarrollo más intuitivo antes de presentar las definiciones.
La epicicloide es una curva geométrica descrita por un punto fijo de una circunferencia que rueda sobre otra circunferencia fija sin deslizamiento. Los griegos utilizaron este modelo para describir los movimientos planetarios, y más tarde se usó para diseñar engranajes con menor fricción. Las ecuaciones paramétricas que definen la posición del punto en función del ángulo de giro permiten clasificar las epicicloides en comunes, alargadas o acortadas.
El documento describe las integrales dobles, que representan el volumen bajo una superficie y sobre una región del plano xy. Explica que se calculan como dos integrales iteradas, manteniendo fija una variable e integrando respecto a la otra. También describe que los límites de integración pueden definirse por funciones que delimitan la región horizontal o verticalmente.
Este documento presenta un resumen de las funciones trigonométricas inversas y las funciones hiperbólicas. Explica las funciones arcoseno, arcocoseno y arcotangente como las inversas de las funciones seno, coseno y tangente, respectivamente. También describe las gráficas y propiedades de las funciones hiperbólicas como el seno hiperbólico, coseno hiperbólico y tangente hiperbólica. Finalmente, cubre la derivación e integración de ambos tipos de funciones
Este documento presenta información sobre las coordenadas polares y las integrales triples. Explica que las coordenadas polares describen un punto usando la magnitud (r) y el ángulo (θ) desde el origen, en lugar de coordenadas cartesianas. También cubre cómo calcular volúmenes usando integrales triples en coordenadas rectangulares, cilíndricas y esféricas. Finalmente, proporciona un ejemplo numérico para ilustrar el cálculo de una integral triple.
Este documento presenta un manual de cálculo vectorial. Explica conceptos como funciones vectoriales de una variable real, ecuaciones paramétricas y representaciones paramétricas de curvas como circunferencias, elipses e hipérbolas. También cubre temas como obtener ecuaciones cartesianas a partir de ecuaciones paramétricas y parametrizar curvas mediante la intersección de superficies.
El documento describe métodos numéricos para aproximar el valor de integrales que no pueden resolverse analíticamente usando el Teorema Fundamental del Cálculo. Introduce las fórmulas de Newton-Cotes, en particular la regla del trapecio, que aproxima el área bajo una curva dividiendo el intervalo en subintervalos y sumando el área de cada trapecio formado. Cuanto mayor sea el número de subintervalos, mejor será la aproximación a la integral verdadera.
El documento describe diferentes tipos de sustituciones que pueden producir funciones racionales e integra funciones trigonométricas inversas y hiperbólicas. También define la integral definida y sus propiedades, así como el cálculo del área de una región plana limitada por una curva y los ejes x e y.
Este documento propone un nuevo enfoque para explicar el límite de funciones de dos variables sin utilizar inicialmente las definiciones formales. Sugiere comenzar analizando el comportamiento algebraico y gráfico de la función, y relacionarlo con conceptos de límites de una variable. Luego, define formalmente el límite de dos variables utilizando la noción de entorno en R2. El objetivo es que los estudiantes comprendan mejor el concepto a través de un desarrollo más intuitivo antes de presentar las definiciones.
La epicicloide es una curva geométrica descrita por un punto fijo de una circunferencia que rueda sobre otra circunferencia fija sin deslizamiento. Los griegos utilizaron este modelo para describir los movimientos planetarios, y más tarde se usó para diseñar engranajes con menor fricción. Las ecuaciones paramétricas que definen la posición del punto en función del ángulo de giro permiten clasificar las epicicloides en comunes, alargadas o acortadas.
El documento describe las integrales dobles, que representan el volumen bajo una superficie y sobre una región del plano xy. Explica que se calculan como dos integrales iteradas, manteniendo fija una variable e integrando respecto a la otra. También describe que los límites de integración pueden definirse por funciones que delimitan la región horizontal o verticalmente.
Este documento presenta un resumen de las funciones trigonométricas inversas y las funciones hiperbólicas. Explica las funciones arcoseno, arcocoseno y arcotangente como las inversas de las funciones seno, coseno y tangente, respectivamente. También describe las gráficas y propiedades de las funciones hiperbólicas como el seno hiperbólico, coseno hiperbólico y tangente hiperbólica. Finalmente, cubre la derivación e integración de ambos tipos de funciones
Este documento presenta información sobre las coordenadas polares y las integrales triples. Explica que las coordenadas polares describen un punto usando la magnitud (r) y el ángulo (θ) desde el origen, en lugar de coordenadas cartesianas. También cubre cómo calcular volúmenes usando integrales triples en coordenadas rectangulares, cilíndricas y esféricas. Finalmente, proporciona un ejemplo numérico para ilustrar el cálculo de una integral triple.
Este documento presenta un manual de cálculo vectorial. Explica conceptos como funciones vectoriales de una variable real, ecuaciones paramétricas y representaciones paramétricas de curvas como circunferencias, elipses e hipérbolas. También cubre temas como obtener ecuaciones cartesianas a partir de ecuaciones paramétricas y parametrizar curvas mediante la intersección de superficies.
El documento describe métodos numéricos para aproximar el valor de integrales que no pueden resolverse analíticamente usando el Teorema Fundamental del Cálculo. Introduce las fórmulas de Newton-Cotes, en particular la regla del trapecio, que aproxima el área bajo una curva dividiendo el intervalo en subintervalos y sumando el área de cada trapecio formado. Cuanto mayor sea el número de subintervalos, mejor será la aproximación a la integral verdadera.
Este documento trata sobre campos vectoriales conservativos. Explica que un campo es conservativo si es el campo gradiente de una función potencial. Da criterios para determinar si un campo es conservativo y muestra un ejemplo de averiguar si un campo dado es conservativo y, de serlo, hallar su función potencial. Finalmente, incluye referencias bibliográficas sobre el tema.
El documento resume brevemente la historia de los números complejos, desde su uso por Fibonacci en el siglo XIII para resolver ecuaciones cúbicas numéricamente hasta la formulación de la fórmula de Cardano para cúbicas en el siglo XVI y el surgimiento de los números complejos para poder tomar raíces cuadradas de números negativos.
El documento describe diferentes tipos de superficies tridimensionales representadas mediante ecuaciones, incluyendo cilindros, superficies cuádricas, elipsoides, hiperboloides y paraboloides. Se definen cada una de estas superficies y se proporcionan ejemplos de ecuaciones para ilustrarlas.
Este documento define las funciones de variable real y describe sus características fundamentales. Explica que una función asigna a cada elemento de un conjunto origen un único elemento de un conjunto imagen. Describe las formas de representar funciones (lenguaje natural, tabla de valores, gráficamente y algebraicamente) y conceptos clave como dominio, rango, funciones par e impar, crecientes y decrecientes. Finalmente, introduce las funciones lineales, afines, cuadráticas y sus gráficas correspondientes a rectas y parábolas.
Este documento trata sobre las transformaciones lineales. Explica que una transformación lineal mapea vectores de un espacio vectorial a otro de forma que cumple dos condiciones: la suma y el producto por escalar. También indica que toda transformación lineal puede expresarse como una multiplicación por una matriz. Finalmente, presenta un ejemplo para ilustrar el cálculo de una transformación lineal aplicada a un vector.
Este documento presenta información sobre las aplicaciones de las integrales dobles e integrales triples. Incluye capítulos sobre integrales iteradas, el concepto de integral doble, propiedades de la integral doble, teorema de Fubini, aplicaciones como el área de una región plana, volumen de un sólido, y la integral triple, incluyendo el teorema de la divergencia y aplicaciones como valores promedios. El objetivo es comprender estas integrales y sus aplicaciones para facilitar el aprendizaje y desarrollar problemas de ingeniería.
1) El documento introduce los conceptos de regresión lineal y no lineal para ajustar ecuaciones a datos experimentales. 2) Explica que la modelización matemática busca ecuaciones que describan el comportamiento de sistemas de forma empírica o teórica. 3) Finalmente, detalla los procedimientos de regresión lineal y no lineal por mínimos cuadrados para encontrar los parámetros óptimos que ajusten mejor las ecuaciones a los datos.
Precalculo de villena 04 - coordenadas polaresrojasdavid1001
Este documento presenta información sobre el sistema de coordenadas polares. Explica cómo convertir entre coordenadas polares y cartesianas, y cómo graficar diferentes ecuaciones en el sistema polar, incluyendo rectas, circunferencias, parábolas, elipses e hipérbolas. También incluye ejemplos y ejercicios para que los estudiantes practiquen la representación gráfica de estas curvas en coordenadas polares.
1) El documento habla sobre el cálculo proposicional y las proposiciones lógicas. 2) Explica que el cálculo proposicional utiliza dos valores, verdadero y falso, y se usa para estudiar expresiones booleanas. 3) También define conceptos como argumentos, premisas, conclusiones, proposiciones lógicas, proposiciones abiertas, y variables proposicionales.
Este documento describe los métodos históricos para resolver ecuaciones cúbicas, incluyendo los métodos de Cardano-Tartaglia y Bombelli. Explica que Cardano-Tartaglia proporcionaron una fórmula para encontrar una raíz de una ecuación cúbica pero no pudieron resolver el caso donde el discriminante es negativo. Bombelli demostró que números complejos podrían usarse para resolver este caso irreducible. También describe cómo encontrar las otras dos raíces usando división sintética.
Este documento trata sobre las integrales racionales. Brevemente introduce el concepto de integral, historia del cálculo integral y tipos de integrales racionales. Luego explica cómo calcular integrales racionales dependiendo de si el numerador es mayor, menor o igual al grado del denominador, incluyendo ejemplos. Finalmente, resume algunos tipos básicos de integrales racionales y cómo resolverlas.
El documento describe tres tipos de movimiento: movimiento no amortiguado, movimiento amortiguado y movimiento forzado. El movimiento no amortiguado sigue la ley de Hooke y ecuaciones diferenciales simples. El movimiento amortiguado considera fuerzas de fricción que disipan la energía del sistema sobre el tiempo. El movimiento forzado analiza sistemas oscilatorios sujetos a fuerzas externas periódicas, resultando en soluciones transitorias y estacionarias.
Este documento proporciona 25 ejemplos de gráficas en coordenadas polares, incluyendo rosas de varios pétalos, cardioides, limacones, círculos, lemniscates, nefroides, concoides, cisoides, parábolas y espirales. Cada ejemplo presenta la función polar correspondiente y su gráfica respectiva para ilustrar diferentes tipos de curvas que se pueden representar en el plano polar.
La derivada direccional calcula la pendiente de una función en cualquier dirección, no solo en las direcciones x e y. Se define utilizando un vector unitario que indica la dirección, y es igual al gradiente de la función escalado por ese vector. El gradiente es un vector que contiene las derivadas parciales de la función con respecto a cada variable.
Forma explícita de la función lineal.
Variaciones según la pendiente y la ordenada al origen.
Forma de graficar sin tabla.
Rectas paralelas y perpendiculares.
1) El documento describe las diferencias entre cantidades escalares y vectoriales, y provee ejemplos de cada una. 2) Explica cómo representar cantidades vectoriales usando componentes, vectores unitarios, y sistemas de coordenadas. 3) Detalla métodos geométricos y analíticos para realizar operaciones entre vectores como suma, resta, multiplicación por escalar, y producto escalar.
Este documento presenta una introducción a los vectores en el espacio y diferentes sistemas de coordenadas tridimensionales, incluyendo coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas. Explica cómo representar puntos en el espacio utilizando cada sistema y cómo convertir entre sistemas. También describe ecuaciones para líneas, superficies como esferas, cilindros y paraboloides, y funciones de varias variables.
Este documento proporciona una introducción a las matrices, incluyendo su definición como una caja que contiene números dispuestos en filas y columnas, y las convenciones de notación. Explica que para sumar o restar matrices, deben tener el mismo tamaño, realizando la operación en los elementos de la misma posición. Proporciona ejemplos ilustrativos de cómo realizar estas operaciones en Excel.
Este documento define una función vectorial y explica cómo calcular su dominio. Primero introduce las funciones vectoriales y da un ejemplo. Luego define formalmente el dominio de una función vectorial como el conjunto común de los dominios de sus componentes. Finalmente, resuelve tres ejemplos para ilustrar cómo calcular el dominio de diferentes funciones vectoriales.
Tabla de integrales (integrales trigonometricas)waltergomez627
Este documento presenta una tabla de integrales inmediatas y la fórmula de integración por partes, y proporciona ejemplos de su aplicación. También explica cómo calcular integrales de funciones racionales mediante la factorización del denominador en fracciones simples. Finalmente, resuelve un ejemplo aplicando estos métodos para calcular la integral 2x+1/(x5+x4−x−1)dx.
Este documento describe varias figuras geométricas que pueden graficarse usando coordenadas polares, incluyendo rosas, cardioides, limacones, circunferencias, lemniscates, nefroides, y concoides. Explica cómo cada figura se representa mediante una función polar y muestra ejemplos de gráficos para ilustrar cada figura.
Este documento presenta el sistema de coordenadas polares y cómo graficar ecuaciones en este sistema. Explica que las coordenadas polares (r, θ) describen un punto como la distancia r desde el origen y el ángulo θ. Luego detalla cómo graficar rectas, circunferencias, parábolas, elipses e hipérbolas mediante sus ecuaciones polares correspondientes. Finalmente, proporciona ejercicios para que el estudiante aplique estos conceptos.
Este documento trata sobre campos vectoriales conservativos. Explica que un campo es conservativo si es el campo gradiente de una función potencial. Da criterios para determinar si un campo es conservativo y muestra un ejemplo de averiguar si un campo dado es conservativo y, de serlo, hallar su función potencial. Finalmente, incluye referencias bibliográficas sobre el tema.
El documento resume brevemente la historia de los números complejos, desde su uso por Fibonacci en el siglo XIII para resolver ecuaciones cúbicas numéricamente hasta la formulación de la fórmula de Cardano para cúbicas en el siglo XVI y el surgimiento de los números complejos para poder tomar raíces cuadradas de números negativos.
El documento describe diferentes tipos de superficies tridimensionales representadas mediante ecuaciones, incluyendo cilindros, superficies cuádricas, elipsoides, hiperboloides y paraboloides. Se definen cada una de estas superficies y se proporcionan ejemplos de ecuaciones para ilustrarlas.
Este documento define las funciones de variable real y describe sus características fundamentales. Explica que una función asigna a cada elemento de un conjunto origen un único elemento de un conjunto imagen. Describe las formas de representar funciones (lenguaje natural, tabla de valores, gráficamente y algebraicamente) y conceptos clave como dominio, rango, funciones par e impar, crecientes y decrecientes. Finalmente, introduce las funciones lineales, afines, cuadráticas y sus gráficas correspondientes a rectas y parábolas.
Este documento trata sobre las transformaciones lineales. Explica que una transformación lineal mapea vectores de un espacio vectorial a otro de forma que cumple dos condiciones: la suma y el producto por escalar. También indica que toda transformación lineal puede expresarse como una multiplicación por una matriz. Finalmente, presenta un ejemplo para ilustrar el cálculo de una transformación lineal aplicada a un vector.
Este documento presenta información sobre las aplicaciones de las integrales dobles e integrales triples. Incluye capítulos sobre integrales iteradas, el concepto de integral doble, propiedades de la integral doble, teorema de Fubini, aplicaciones como el área de una región plana, volumen de un sólido, y la integral triple, incluyendo el teorema de la divergencia y aplicaciones como valores promedios. El objetivo es comprender estas integrales y sus aplicaciones para facilitar el aprendizaje y desarrollar problemas de ingeniería.
1) El documento introduce los conceptos de regresión lineal y no lineal para ajustar ecuaciones a datos experimentales. 2) Explica que la modelización matemática busca ecuaciones que describan el comportamiento de sistemas de forma empírica o teórica. 3) Finalmente, detalla los procedimientos de regresión lineal y no lineal por mínimos cuadrados para encontrar los parámetros óptimos que ajusten mejor las ecuaciones a los datos.
Precalculo de villena 04 - coordenadas polaresrojasdavid1001
Este documento presenta información sobre el sistema de coordenadas polares. Explica cómo convertir entre coordenadas polares y cartesianas, y cómo graficar diferentes ecuaciones en el sistema polar, incluyendo rectas, circunferencias, parábolas, elipses e hipérbolas. También incluye ejemplos y ejercicios para que los estudiantes practiquen la representación gráfica de estas curvas en coordenadas polares.
1) El documento habla sobre el cálculo proposicional y las proposiciones lógicas. 2) Explica que el cálculo proposicional utiliza dos valores, verdadero y falso, y se usa para estudiar expresiones booleanas. 3) También define conceptos como argumentos, premisas, conclusiones, proposiciones lógicas, proposiciones abiertas, y variables proposicionales.
Este documento describe los métodos históricos para resolver ecuaciones cúbicas, incluyendo los métodos de Cardano-Tartaglia y Bombelli. Explica que Cardano-Tartaglia proporcionaron una fórmula para encontrar una raíz de una ecuación cúbica pero no pudieron resolver el caso donde el discriminante es negativo. Bombelli demostró que números complejos podrían usarse para resolver este caso irreducible. También describe cómo encontrar las otras dos raíces usando división sintética.
Este documento trata sobre las integrales racionales. Brevemente introduce el concepto de integral, historia del cálculo integral y tipos de integrales racionales. Luego explica cómo calcular integrales racionales dependiendo de si el numerador es mayor, menor o igual al grado del denominador, incluyendo ejemplos. Finalmente, resume algunos tipos básicos de integrales racionales y cómo resolverlas.
El documento describe tres tipos de movimiento: movimiento no amortiguado, movimiento amortiguado y movimiento forzado. El movimiento no amortiguado sigue la ley de Hooke y ecuaciones diferenciales simples. El movimiento amortiguado considera fuerzas de fricción que disipan la energía del sistema sobre el tiempo. El movimiento forzado analiza sistemas oscilatorios sujetos a fuerzas externas periódicas, resultando en soluciones transitorias y estacionarias.
Este documento proporciona 25 ejemplos de gráficas en coordenadas polares, incluyendo rosas de varios pétalos, cardioides, limacones, círculos, lemniscates, nefroides, concoides, cisoides, parábolas y espirales. Cada ejemplo presenta la función polar correspondiente y su gráfica respectiva para ilustrar diferentes tipos de curvas que se pueden representar en el plano polar.
La derivada direccional calcula la pendiente de una función en cualquier dirección, no solo en las direcciones x e y. Se define utilizando un vector unitario que indica la dirección, y es igual al gradiente de la función escalado por ese vector. El gradiente es un vector que contiene las derivadas parciales de la función con respecto a cada variable.
Forma explícita de la función lineal.
Variaciones según la pendiente y la ordenada al origen.
Forma de graficar sin tabla.
Rectas paralelas y perpendiculares.
1) El documento describe las diferencias entre cantidades escalares y vectoriales, y provee ejemplos de cada una. 2) Explica cómo representar cantidades vectoriales usando componentes, vectores unitarios, y sistemas de coordenadas. 3) Detalla métodos geométricos y analíticos para realizar operaciones entre vectores como suma, resta, multiplicación por escalar, y producto escalar.
Este documento presenta una introducción a los vectores en el espacio y diferentes sistemas de coordenadas tridimensionales, incluyendo coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas. Explica cómo representar puntos en el espacio utilizando cada sistema y cómo convertir entre sistemas. También describe ecuaciones para líneas, superficies como esferas, cilindros y paraboloides, y funciones de varias variables.
Este documento proporciona una introducción a las matrices, incluyendo su definición como una caja que contiene números dispuestos en filas y columnas, y las convenciones de notación. Explica que para sumar o restar matrices, deben tener el mismo tamaño, realizando la operación en los elementos de la misma posición. Proporciona ejemplos ilustrativos de cómo realizar estas operaciones en Excel.
Este documento define una función vectorial y explica cómo calcular su dominio. Primero introduce las funciones vectoriales y da un ejemplo. Luego define formalmente el dominio de una función vectorial como el conjunto común de los dominios de sus componentes. Finalmente, resuelve tres ejemplos para ilustrar cómo calcular el dominio de diferentes funciones vectoriales.
Tabla de integrales (integrales trigonometricas)waltergomez627
Este documento presenta una tabla de integrales inmediatas y la fórmula de integración por partes, y proporciona ejemplos de su aplicación. También explica cómo calcular integrales de funciones racionales mediante la factorización del denominador en fracciones simples. Finalmente, resuelve un ejemplo aplicando estos métodos para calcular la integral 2x+1/(x5+x4−x−1)dx.
Este documento describe varias figuras geométricas que pueden graficarse usando coordenadas polares, incluyendo rosas, cardioides, limacones, circunferencias, lemniscates, nefroides, y concoides. Explica cómo cada figura se representa mediante una función polar y muestra ejemplos de gráficos para ilustrar cada figura.
Este documento presenta el sistema de coordenadas polares y cómo graficar ecuaciones en este sistema. Explica que las coordenadas polares (r, θ) describen un punto como la distancia r desde el origen y el ángulo θ. Luego detalla cómo graficar rectas, circunferencias, parábolas, elipses e hipérbolas mediante sus ecuaciones polares correspondientes. Finalmente, proporciona ejercicios para que el estudiante aplique estos conceptos.
Este documento presenta una clase sobre coordenadas polares. La clase cubrirá el sistema de coordenadas polares, cómo expresar coordenadas y ecuaciones rectangulares en forma polar y viceversa, y cómo trazar gráficas de ecuaciones dadas en forma polar. La clase también cubrirá cómo calcular el área de una región limitada por una gráfica polar.
Este documento describe el sistema de coordenadas polares, incluyendo cómo se definen las coordenadas polares de un punto, la relación entre coordenadas polares y rectangulares, y cómo convertir entre los dos sistemas. También explica cómo graficar curvas dadas por ecuaciones polares y encontrar las ecuaciones de curvas de segundo grado en coordenadas polares. Finalmente, presenta ejemplos numéricos para ilustrar los conceptos.
Este documento trata sobre el sistema de coordenadas polares y sus aplicaciones. Explica cómo las coordenadas polares simplifican cálculos en levantamientos topográficos y navegación marítima al utilizar ángulos y distancias. También presenta ejemplos de conversiones entre coordenadas polares y cartesianas, ecuaciones de curvas como circunferencias, parábolas, elipses e hipérbolas en el sistema polar, y resuelve un problema de aproximar el contorno de una piscina usando la ecuación de una cardiode.
Este documento presenta el sistema de coordenadas polares y cómo graficar ecuaciones en este sistema. Explica las transformaciones entre coordenadas polares y cartesianas, y cómo graficar rectas, circunferencias, parábolas, elipses e hipérbolas usando ecuaciones polares. Incluye ejemplos y ejercicios para la práctica.
Este documento explica el sistema de coordenadas polares, incluyendo cómo expresar coordenadas rectangulares en forma polar y viceversa. Muestra cómo graficar puntos usando coordenadas polares y cómo transformar entre los dos sistemas de coordenadas. Incluye ejemplos numéricos que ilustran cómo realizar estas transformaciones.
Un sistema de coordenadas define la posición de puntos en un espacio geométrico a través de valores como distancia y ángulo desde un origen. Las coordenadas polares usan un ángulo y distancia para definir puntos en un plano. Aunque las cartesianas son comunes, las polares permiten expresar curvas de forma más simple. Las coordenadas polares de un punto P son el par ordenado (r,θ), donde r es la distancia al polo y θ es el ángulo desde el eje polar. El área de una región polar se calcula integrando la función r
El documento presenta varias figuras geométricas que se pueden representar mediante funciones en coordenadas polares, incluyendo rosas con diferentes números de pétalos, cardioides, limacones, circunferencias, lemniscata, nefroide de Freeth y concoides de Nicómenes. Explica brevemente cada figura y muestra ejemplos de funciones polares que generan dichas figuras.
El documento describe las ecuaciones y gráficas de rosas polares de n pétalos y 2n pétalos. Explica que una rosa de n pétalos tiene una ecuación de la forma r = asen nθ o r = acos nθ, donde el ángulo entre pétalos es 2π/n y cada pétalo mide a unidades. Para una rosa de 2n pétalos, la ecuación y posición de los pétalos se define de manera similar.
Una parametrización de una curva C es una función vectorial que asigna a cada valor del parámetro t un punto sobre la curva C. Las ecuaciones paramétricas definen una curva C en Rn mediante funciones f1(t), f2(t), ..., fn(t) que representan las coordenadas x, y, ... para cada valor de t entre a y b. No hay un método estándar para parametrizar una curva, pero básicamente consiste en expresar funciones de x e y en términos de un solo parámetro t.
El documento describe diferentes métodos para parametrizar curvas como elipses, rectas y gráficas de funciones. Explica que una parametrización define una orientación en la curva y proporciona ejemplos como parametrizar una elipse usando (acost, bsent) o una recta usando puntos inicial y final en términos de un parámetro t. También cubre parametrizar gráficas de funciones y curvas en coordenadas polares.
Las coordenadas polares son un sistema alternativo al cartesiano para representar puntos en un plano mediante dos valores: la distancia al polo y el ángulo con el eje polar. Se puede graficar funciones definidas en coordenadas polares trazando puntos con coordenadas (x,y) tales que x = r cosθ y y = r senθ. El área de una región acotada por una función polar continua y no negativa se aproxima sumando los sectores angulares entre subdivisiones del intervalo de θ.
Este documento presenta los conceptos básicos del sistema de coordenadas cartesianas en dos dimensiones, incluyendo la definición de los ejes x e y, la ubicación de puntos mediante pares ordenados (x, y), y cómo calcular la distancia entre dos puntos. Luego, proporciona ejercicios para practicar estos conceptos, como ubicar puntos en un plano cartesiano, calcular distancias entre puntos, y resolver problemas geométricos que involucran triángulos y cuadriláteros definidos por coordenadas de vértices.
Este documento define el sistema de coordenadas cartesianas, el cual asigna un par ordenado de números (x, y) a cada punto en un plano mediante dos ejes perpendiculares que se intersectan en el origen. Explica que la abscisa x mide la distancia horizontal desde el origen y la ordenada y mide la vertical. Además, ilustra cómo los signos de x e y dividen el plano en cuadrantes y provee ejemplos de pares ordenados. Brevemente, traza la historia de este sistema atribuido a René Descartes en el
El documento presenta conceptos básicos de geometría en el espacio tridimensional como puntos, rectas, planos y sus ecuaciones vectoriales, paramétricas e implícitas. Explica cómo determinar las ecuaciones de una recta que pasa por dos puntos o es paralela a un vector, así como la ecuación de un plano dado un punto y vector normal o tres puntos.
Este documento proporciona una guía de repaso para el examen de admisión universitaria (College Board) en matemáticas, específicamente en álgebra. Explica los conceptos básicos de las coordenadas cartesianas, incluyendo cómo graficar puntos, calcular la pendiente de una recta, y escribir ecuaciones de rectas en diferentes formas. También cubre conceptos como la distancia entre puntos y el punto medio de un segmento. El documento concluye con ejercicios de práctica sobre estos temas.
Este documento instruye sobre cómo ubicar puntos en un sistema de coordenadas cartesianas, escribir sus coordenadas, completar un cuadro con la pendiente y ordenada al origen de funciones lineales, y graficar dichas funciones. Explica que para graficar una función lineal se marca la ordenada al origen, luego un punto desplazándose a la derecha según el denominador de la pendiente, otro punto subiendo o bajando según el numerador, y se une con una línea recta.
Este documento describe cómo graficar curvas cuyas ecuaciones están dadas en forma paramétrica. Explica que las ecuaciones de algunas trayectorias se dan como funciones de un parámetro t, y proporciona ejemplos como la circunferencia, cicloide, elipse, recta e hipocicloide junto con sus respectivas ecuaciones paramétricas. El objetivo es conocer y representar gráficamente curvas cuando sus ecuaciones dependen de un parámetro.
El documento presenta la solución a dos ejercicios de cálculo en coordenadas paramétricas y polares. El primer ejercicio prueba que la longitud de arco de una curva dada por ecuaciones paramétricas es igual a f(t2)-f(t1)+f''(t2)-f''(t1). El segundo ejercicio calcula el área de una superficie de revolución generada al rotar una curva polar r=4cosq alrededor del eje polar.
Este documento presenta conceptos sobre el sistema de coordenadas polares, incluyendo cómo definir la posición de un punto usando coordenadas polares de ángulo y distancia, cómo graficar ecuaciones en este sistema, y cómo calcular el área de una región plana usando integración en coordenadas polares. También muestra ejemplos de gráficas comunes como rosas de varios pétalos y cardioides.
Este documento presenta los conceptos fundamentales del sistema de coordenadas polares y su aplicación en la resolución de problemas de ingeniería. Define el sistema de coordenadas polares, explica cómo convertir entre coordenadas polares y rectangulares, y cómo graficar ecuaciones y calcular el área de una región en coordenadas polares. También incluye ejemplos de gráficas comunes como rosas de cuatro, tres y ocho pétalos.
Este documento describe el sistema de coordenadas polares, incluyendo cómo definir la posición de un punto usando la distancia al polo (radio r) y el ángulo con el eje polar (ángulo θ). También explica cómo graficar ecuaciones y calcular el área de regiones usando coordenadas polares.
Este documento describe el sistema de coordenadas polares, incluyendo cómo se definen las coordenadas polares, cómo graficar ecuaciones polares, cómo encontrar puntos de intersección entre gráficas polares, y cómo calcular el área de una región en el plano usando coordenadas polares. Explica que las coordenadas polares usan el ángulo y la distancia al polo para especificar la posición de un punto, a diferencia de las coordenadas cartesianas.
Este documento describe el sistema de coordenadas polares, incluyendo cómo se definen las coordenadas polares, cómo graficar ecuaciones polares, cómo encontrar puntos de intersección entre gráficas polares, y cómo calcular el área de una región en el plano usando coordenadas polares. Explica que las coordenadas polares usan el ángulo y la distancia al polo para especificar la posición de un punto, a diferencia de las coordenadas cartesianas.
El documento introduce el sistema de coordenadas polares, el cual define la posición de un punto en un plano mediante una distancia (r) y un ángulo (θ) respecto a un punto de origen y un eje polar. Explica cómo representar curvas como la cardioide y la lemniscata de Bernoulli usando ecuaciones polares, y cómo graficar y calcular la intersección de dichas curvas. También presenta una fórmula para calcular el área de una región delimitada por una función continua y no negativa en coordenadas polares.
Este documento describe los diferentes sistemas de coordenadas, incluyendo coordenadas polares, cilíndricas y esféricas. Explica cómo definir la posición de un punto en cada sistema y cómo convertir entre sistemas. También cubre cómo graficar ecuaciones y calcular áreas en coordenadas polares.
El documento describe el sistema de coordenadas polares, el cual define la posición de un punto en un plano mediante dos valores: la distancia (radio r) desde un punto de referencia llamado polo, y el ángulo (theta θ) formado entre el eje polar y la línea que une el punto con el polo. Explica cómo representar curvas como la cardioide y la lemniscata de Bernoulli usando este sistema, y cómo convertir entre coordenadas polares y cartesianas. También cubre cómo graficar ecuaciones polares y calcular el área de una región delimitada por una
Este documento describe los sistemas de coordenadas polares, los cuales definen la posición de un punto en un plano mediante un ángulo y una distancia respecto a un origen. Explica cómo graficar ecuaciones y calcular el área de regiones usando coordenadas polares en lugar de coordenadas cartesianas. También cubre la conversión entre sistemas de coordenadas y la intersección de gráficas polares.
Este documento describe los sistemas de coordenadas polares, los cuales definen la posición de un punto en un plano mediante un ángulo y una distancia respecto a un origen. Explica cómo graficar ecuaciones y calcular el área de regiones usando coordenadas polares en lugar de coordenadas cartesianas. También cubre la conversión entre sistemas de coordenadas y la intersección de gráficas polares.
Este documento describe los sistemas de coordenadas polares, los cuales definen la posición de un punto en un plano mediante un ángulo y una distancia en lugar de coordenadas cartesianas. Explica cómo graficar ecuaciones y calcular el área de una región usando coordenadas polares. También cubre la conversión entre sistemas de coordenadas polares y cartesianas.
Un sistema de coordenadas permite definir la posición de cualquier punto en un espacio geométrico con respecto a un origen. Las coordenadas polares definen la posición de un punto en un plano bidimensional mediante un ángulo y una distancia desde el origen. Es posible convertir entre coordenadas polares y cartesianas, y graficar ecuaciones polares para representar figuras como rosas de cuatro, tres u ocho pétalos, así como concoides de Nicómenes.
Este documento describe los sistemas de coordenadas polares. Explica que las coordenadas polares expresan la posición de un punto en términos de su distancia (r) y ángulo (θ) desde un origen. También describe cómo graficar ecuaciones en coordenadas polares y calcular el área de una región usando coordenadas polares.
El documento describe el sistema de coordenadas polares, que representa puntos en un plano mediante dos coordenadas: la distancia (r) al polo y el ángulo (θ) con el eje polar. Explica cómo convertir entre coordenadas polares y rectangulares, y cómo representar curvas como la circunferencia, línea, rosa polar y espiral de Arquímedes mediante ecuaciones polares. También cubre cálculos como encontrar puntos de intersección de gráficas polares y calcular áreas de regiones delimitadas por funciones polares.
Revista de matematica Sistema de Coordenadas PolaresRoinnerRodriguez
El documento explica los sistemas de coordenadas polares, incluyendo cómo convertir entre coordenadas polares y cartesianas, cómo graficar ecuaciones en coordenadas polares, y cómo calcular el área de una región plana en coordenadas polares. También describe otros sistemas de coordenadas como las coordenadas cilíndricas y esféricas.
Este documento describe el sistema de coordenadas polares, incluyendo cómo representar puntos, curvas y ecuaciones en este sistema. Explica cómo convertir entre coordenadas polares y rectangulares, y cómo representar curvas como el círculo, la línea, la rosa polar y la espiral de Arquímedes a través de ecuaciones polares. También cubre cómo calcular el área de una región limitada por una función polar.
Este documento introduce las coordenadas polares como un sistema alternativo para representar puntos en un plano. Explica que las coordenadas polares consisten en la distancia r de un punto al polo y el ángulo θ que forma con el eje polar. También cubre cómo convertir entre coordenadas polares y cartesianas, cómo graficar ecuaciones polares, y cómo calcular el área de una región delimitada por una función polar. Incluye ejemplos de curvas como la rosa de ocho pétalos representada en coordenadas polares.
Este documento presenta información sobre el sistema de coordenadas polares, incluyendo cómo definir la posición de un punto usando ángulo y distancia, cómo graficar ecuaciones en coordenadas polares, calcular el área de una región en coordenadas polares, y convertir entre coordenadas polares y cartesianas. También discute conceptos como intersección de gráficas polares y ejemplos como la parábola y la rosa de cuatro pétalos.
Coordenadas Polares (Definiciones y Ejemplos)Medwini
Sistema de Coordenadas Polares
Sistema de referencia constituido por un eje que pasa por el origen. La primera coordenada es la distancia existente entre el origen y el punto, mientras que la segunda es el ángulo que forman el eje y la recta que pasa por ambos puntos.
Las coordenadas polares son un sistema que definen la posición de un punto en un espacio bidimensional consistente en un ángulo y una distancia.
En muchos casos es útil utilizar las coordenadas cartesianas para definir una función en el plano o en el espacio. Aunque en muchos otros, definir ciertas funciones en dichas coordenadas puede resultar muy tedioso y complicado. En dichos casos, hacer uso de las coordenadas polares o esféricas puede simplificarnos la vida.
Funciones de varias variables, sistemas de coordenadas Cartesianas, Cilíndricas, Esféricas, sus transformaciones entre los diferentes sistemas de coordenadas, su simetría, dominio de funciones de varias variables, geometría en el espacio, superficie cilíndricas, paraboloide, elipsoide, hiperboloide.
Similar a Coordenadas polares "Lenniscata Inc" (20)
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1. Fecha:
09/2013
LENNISCATA INC
Universidad Fermín Toro
Revista Virtual
CALCULO II
Autor:Alberto Perozo
COORDENADAS PO-
LARES
1.- Sistema de Coorde-
nadas Polares
2.- Gráficas de Ecuacio-
nes en Coordenadas Po-
lares
3.- Intersección de Grá-
ficas
4.- Calcular el Área de
una Región Plana en
Coordenadas Polares
2. Editorial.
En la publicación damos
a conocer al publico perti-
nente, una visión muy intere-
sante sobre las coordenadas
polares incluimos la informa-
ción básica para entender
mejor este tema de calculo II
incluyendo técnicas , expli-
camos con bastante profun-
didad los puntos oscuros de
este tópico
Finalmente se muestra un gráfico como los
dos anteriores, donde aparece una lem-
niscata, con la única diferencia que aho-
ra se muestra en sentido vertical. Vea-
mos:
3. Tenemos otro ejemplo de lemniscata, pero
ahora aparece a lo largo del eje x o en
sentido horizontal:
COORDENADAS POLARES
1.1.1.--- Sistema de CoordenadasSistema de CoordenadasSistema de Coordenadas
PolaresPolaresPolares
2.2.2.--- Gráficas de Ecuaciones enGráficas de Ecuaciones enGráficas de Ecuaciones en
Coordenadas PolaresCoordenadas PolaresCoordenadas Polares
3.3.3.--- Intersección de GráficasIntersección de GráficasIntersección de Gráficas
4.4.4.--- Calcular el Área de unaCalcular el Área de unaCalcular el Área de una
Región Plana en Coordena-Región Plana en Coordena-Región Plana en Coordena-
das Polaresdas Polaresdas Polares
5.5.5.––– Algunas Graficas conoci-Algunas Graficas conoci-Algunas Graficas conoci-
das.das.das.
4. 1.- Sistema de Coordenadas Polares
Ya se ha visto en cursos anteriores que los puntos
del plano se pueden representar en coordenadas cartesia-
nas mediante dos números (abscisa, ordenada).En este tema
veremos que los puntos del plano también se pueden repre-
sentar usando otro sistema de referencia, que denomina-
mos coordenadas polares.
En esta unidad se introducen las coordenadas polares y
algunos ejemplos que ilustran su utilidad para representar,
mediante ecuaciones con dichas coordenadas, algunas cur-
vas clásicas como la Cardioide, la Lemniscata de Bernoulli,
los Lazos, las Cónicas y algunas espirales, entre otras.
Como se podrá observar en algunos ejemplos de
representación de las curvas en coordenadas polares, sólo
es preciso definir las mismas de cada punto: r (distancia al
polo) y t (ángulo con el eje polar), en función de las coorde-
nadas cartesianas x e y.
En este tipo de representación los puntos del plano tie-
nen asociados dos coordenadas: su distancia al polo y
el ángulo con el eje polar. A la distancia se le suele lla-
mar radio y se designa por la letra r o la letra griega r (rho),
al ángulo se le suele designar por la letra griega q (theta).
Sistema de Coordenadas
que confluyen en el origen y a partir de los cuales se
calculan las coordenadas de cualquier punto constituyen lo
que se denomina sistema de referencia.
LEMNISCATA
En matemáticas, una leminscata es un tipo
de curva descrita por la siguiente ecua-
ción en coordenadas polares:
La representación gráfica de esta ecuación
genera una curva similar a . La curva
se ha convertido en el símbolo del infinito
y es ampliamente utilizada en matemáti-
cas. El símbolo en sí mismo es, a veces,
llamado lemniscata. Un ejemplo de esta
función con su respectivo gráfico lo apre-
ciamos a continuación:
5. Ahora veamos una nueva gráfica que resulta
en una circunferencia, con la única dife-
rencia que ahora aparece arriba del rayo
inicial (o del eje x que todos conocemos),
a diferencia del gráfico anterior, que la
circunferencia aparecía abajo del radio
inicial. La función con su gráfico es esta:
Sistema de Coordenadas Polares
Las coordenadas polares son un sistema que definen
la posición de un punto en un espacio bidimensional consis-
tente en un ángulo y una distancia.
En muchos casos es útil utilizar las coordenadas cartesia-
nas para definir una función en el plano o en el espacio. Aun-
que en muchos otros, definir ciertas funciones en dichas
coordenadas puede resultar muy tedioso y complicado. En
dichos casos, hacer uso de las coordenadas polares o esféri-
cas puede simplificarnos la vida.
Un sistema de coordenadas es un conjunto de valores
que permiten definir unívocamente la posición de cualquier
punto de un espacio geométrico respecto de un punto deno-
minado origen. El conjunto de ejes, puntos o planos
Un sistema de coordenadas es un conjunto de valo-
res que permiten definir unívocamente la posición de cual-
quier punto de un espacio geométrico respecto de un punto
denominado origen. El conjunto de ejes, puntos o planos que
confluyen en el origen y a partir de los cuales se calculan las
coordenadas de cualquier punto, constituyen lo que se deno-
mina sistema de referencia.
Sistema de Coordenadas Polares
Sistema de referencia constituido por un eje que pasa por
el origen. La primera coordenada es la distancia existente
entre el origen y el punto, mientras que la segunda es el án-
gulo que forman el eje y la recta que pasa por ambos puntos.
6. Conversión de Coordenadas
La representación de un punto en el plano o el espa-
cio, se puede hacer mediante diferentes sistemas de coor-
denadas. En estos momentos nos ocupan los sistemas de
coordenadas rectangulares y polares.
Es lógico pensar que existe una equivalencia entre los
diferentes sistemas, en este caso nos ocuparemos de la
conversión del rectangular al polar y viceversa.
En este tópico se incluyen algunas gráficas para mos-
trar la ubicación de un punto en cada uno de los sistemas
respectivos.
Las calculadoras dibujan gráficas de r = f (θ) al hallar el
valor de f (θ) para numerosos valores de θ a intervalos
espaciados regularmente, y dibujando luego los puntos
resultantes (x,y).
Usted debe ser consciente de que la apariencia de la
gráfica en calculadora depende de la ventana de grafica-
ción especificada x-y, y también del rango de los valores
mostrados de θ.
Cuando se dibujan gráficas en coordenadas polares,
debe identificarse algunos valores mostrados de θ corres-
pondientes a r = 0 o donde r alcanza un máximo o un
mínimo. Además, debe identificar el rango de valores de
θ que producen una copia de la curva polar, cuando ésta
es apropiada. Se
deduce que mu-
chas curvas fami-
liares tienen
ecuaciones pola-
res sencillas
CIRCUNFERENCIA
Esta nueva función nos presenta una forma
conocida por todos y es precisamente la
circunferencia, la cual será formada en
el gráfico polar mediante la siguiente fun-
ción:
7. Antes de terminar el tema de los limacoides
o caracoles, veamos otro gráfico diferente
a los otros, que es conocido como cara-
col convexo o caracol ovalado, el cual
está apuntando hacia arriba, como lo ve-
mos en el gráfico siguiente:
2.- Gráficas de Ecuaciones en Coordenadas Polares
Gráfica de una Ecuación Polar
La gráfica de una ecuación polar r = f(θ) es el conjunto
de puntos (x,y) para los cuales x = r cos θ , y = r
sen θ y r = f (θ). En otros términos, la gráfica de una ecua-
ción polar es una gráfica en el plano xy de todos los puntos
cuyas coordenadas polares satisfacen la ecuación dada.
Comience por dibujar dos gráficas sencillas ( y familia-
res). La clave para dibujar las mismas de una ecuación polar,
es mantener siempre presente que representan las coorde-
nadas polares.
Con estos conceptos básicos de localización de puntos
en el sistema de coordenadas polares, podemos graficar fun-
ciones y no sólo puntos. En este tipo de funciones la varia-
ble independiente es θ y la dependiente es r, así que las fun-
ciones son del tipo r = r(θ). El método para graficar estas
funciones es el siguiente, primero graficamos la función r = r
(θ) en coordenadas rectangulares y a partir de esa gráfica
trazamos la correspondiente en polares. Guiándonos con la
dependencia de r con respecto a θ.
Recordemos que θ es la variable independiente y general-
mente va de 0 a 2π.
Continúe viendo la información en el archivo que esta al
final de la unidad.
Ahora que ya conoces las coordenadas polares y observó
una variedad de gráficas de las mismas, el próximo paso
consiste en extender las técnicas del cálculo al caso de in-
tersección de ecuaciones en dichas coordenadas polares,
con el propósito de buscar todos los puntos de dicha inter-
sección.
Puesto que un punto puede representarse de formas
diferentes en coordenadas polares, debe tenerse especial
cuidado al determinar los puntos de intersección de dos
gráficas polares, por lo que se sugiere realizar el dibujo de
las ecuaciones, inclusive cuando más adelante calculemos el
área de una región polar.
8. 3.- Intersección de Gráficas
Ahora que ya conoces las coordenadas polares y observó
una variedad de gráficas de las mismas, el próximo paso
consiste en extender las técnicas del cálculo al caso de in-
tersección de ecuaciones en dichas coordenadas polares,
con el propósito de buscar todos los puntos de dicha inter-
sección.
Puesto que un punto puede representarse de formas di-
ferentes en coordenadas polares, debe tenerse especial cui-
dado al determinar los puntos de intersección de dos gráfi-
cas polares, por lo que se sugiere realizar el dibujo de las
ecuaciones, inclusive cuando más adelante calculemos el
área de una región polar.
De igual forma el problema de hallar los puntos de inter-
sección de dos gráficas polares con el de encontrar los pun-
tos de colisión de dos satélites en órbita alrededor de la tie-
rra, dichos satélites no entrarían en colisión en tanto lleguen
a los puntos de intersección en tiempos diferentes (valores
de q).
La colisión se producirá
solamente en aquellos pun-
tos de intersección que sean
"puntos simultáneos", aque-
llos a los que se llega en el
mismo instante (valor de q).
Ahora se muestra un gráfico igual al anterior
con la diferencia que ahora está dirigido
hacia la derecha, de modo que tenemos
un limaçon o caracol con hendidura
o concavidad que está dirigido hacia la
derecha:
9. Continuando con la gráfica de caracoles o li-
macones, hay otro tipo que es el caracol
con hendidura o caracol con conca-
vidad. Como podremos observar, este no
tiene lazo, y está dirigido hacia la izquier-
da. Veamos a continuación el gráfico que
resulta, el cual apunta hacia la izquierda:
4.- Calcular el Área de una Región Plana en
Coordenadas Polares
El desarrollo de una fórmula para el área de una región
polar va paralelo al de zonas en sistema de coordenadas
rectangulares, pero con sectores de un círculo en lugar de
rectángulos como elementos básicos de dicha área. En la
figura se observa que la superficie de un sector circular de
radio r viene dada por:
Consideremos la función dada por r= f(q), donde f es con-
tinua y no negativa en el intervalo [ a , b ] . La región limi-
tada por la gráfica para hallar el área de esta región, parti-
mos el intervalo [ a , b ] en n subintervalos iguales
a = q < q < q <........< q < q = b
A continuación aproximamos el área de la región por la
suma de las mismas de los n sectores,
Luego de haber notado el teorema anterior, podemos
decir que usar la fórmula para hallar el área de una región
limitada por la gráfica de una función continua no negativa.
Sin embargo, no es necesariamente válida si f toma valores
positivos y negativos en
el intervalo [ a , b ] .
Algunas veces lo más
difícil a la hora de hallar
el área de una región
polar es determinar los
límites de integración.
Un buen dibujo de la re-
gión puede ayudar mu-
cho en estos casos.
10. 5.– Graficas conocidas.
Graficas en Coordenadas Polares:
ROSA DE CUATRO HOJAS/PÉTALOS
Este tipo de gráfico se conoce como
Rosa de cuatro pétalos. Es fácil ver
cómo se forma una figura parecida
a una rosa con cuatro pétalos. La
función para este gráfico es:
Veamos otro gráfico de una función que tie-
ne como resultado un caracol con un
lazo interior pero que a diferencia del
gráfico anterior, este apunta hacia abajo.
Veamos:
11. LIMACONES O CARACOLES
Limaçon viene del latín limax que significa caracol. El caracol de
Pascal, lo descubrió Etienne Pascal padre de Blaise Pascal en la
primera mitad del siglo XVII y el nombre se lo dio Roberval en
1650 cuando la usó como ejemplo para mostrar su método para
trazar tangentes. Un limaçon o las gráficas polares que generan
limaçones son las funciones en coordenadas polares con la forma:
r = 1 + b cos
Ahora veamos un ejemplo concreto de un gráfico de este tipo,
donde se muestra un caracol que apunta hacia la derecha
y que tiene un lazo interior. La función para este gráfico
es la siguiente:
ROSA DE TRES HOJAS/PÉTALOS
Presentamos ahora el gráfico llamado Rosa
de tres pétalos. Analógicamente al grá-
fico de la rosa de cuatro pétalos, este grá-
fico es parecido pero tiene sólo tres hojas
o pétalos en su forma gráfica. Un ejemplo
es el siguiente:
12. ROSA DE OCHO HOJAS/PÉTALOS
El siguiente gráfico es como los dos anterio-
res, pero ahora con ocho hojas o pétalos,
tal como lo vemos en la siguiente función
graficada:
Habiendo visto el primer gráfico de una car-
diode, se presenta otro gráfico de este ti-
po pero ahora apunta hacia arriba, tal co-
mo lo vemos a en el gráfico de la siguiente
función:
13. CARDIOIDES
A continuación se presenta el tipo de gráfico
que se denomina cardioide. Para este
ejemplo se presenta una cardioide simé-
trica con respecto al eje poplar y que
apunta hacia la derecha. Podemos obser-
var que se distingue una figura como de
un corazón, razón por la cual se llama es-
te gráfico cardioide. La función que lo ha
generado es:
UNA ROSA DENTRO DE OTRA
Un caso interesante y especial que se puede
dar es el que se muestra en la gráfica que
vemos a continuación, donde se aprecia
una rosa de tres pétalos precisamente
dentro de otra rosa de tres pétalos u
hojas. Veamos: