Este documento presenta las coordenadas polares, un sistema que define la posición de un punto en un plano mediante una distancia (r) y un ángulo (θ) respecto a un origen. Explica cómo graficar ecuaciones y calcular el área en este sistema. También cubre conceptos como la intersección de gráficas polares y casos especiales como el origen.

1. UNIVERSIDAD “FERMÍN TORO”
VICERECTORADO ACADÉMICO
FACULTAD DE INGENIERÍA
UNIDAD IV
Coordenadas polares.
Presentado por:
López Gonzysmar 24.165.137
Profesor:
Méndez Domingo

2. El sistema de coordenadas
polares
Las coordenadas polares son un sistema que define la posición de un
punto en un espacio bidimensional consistente en un ángulo y una
distancia.
De manera más precisa, se toman: un punto O del plano, al que se le
llama origen o polo, y una recta dirigida (rayo, o segmento OL) que
pasa por O, llamada eje polar (equivalente al eje x del sistema
cartesiano), como sistema de referencia. Con este sistema de
referencia y una unidad de medida métrica, todo punto P del plano
corresponde a un par ordenado (r, θ) donde r es la distancia de P al
origen y θ es el ángulo formado entre el eje polar y la recta dirigida
OP que va de O a P. El valor θ crece en sentido antihorario y
decrece en sentido horario. La distancia r (r ≥ 0) se conoce como la
«coordenada radial», mientras que el ángulo es la «coordenada
angular».
En el caso del origen, O, el valor de r es cero, pero el valor de θ es
indefinido. En ocasiones se adopta la convención de representar el
origen por (0,0º).

3. Consideremos estos 3 casos:
Si r > 0, P estará en el lado terminal del ángulo θ a la distancia r
origen.
Si r < 0, P estará en el rayo opuesto al lado terminal del ángulo, a una
distancia igual l r l = -r del polo
Si r = 0, P es el polo, ósea P = 0
Esta correspondencia entre el par ordenado (r, θ) y con el punto P la
denotaremos así P (r, θ), y diremos que r y θ son coordenadas
polares de P.
(r, θ)
r
P (r, θ) Θ+π θ
r
O
θ
Polo
O
Eje Polar

4. Graficas de ecuaciones en
coordenadas polares
Cuando se dibujan gráficas en coordenadas polares, debe
identificarse algunos valores mostrados de θ
correspondientes a r = 0 o donde r alcanza un máximo o
un mínimo. Además, debe identificar el rango de valores
de θ que producen una copia de la curva polar, cuando
ésta es apropiada. Se deduce que muchas curvas
familiares tienen ecuaciones polares sencillas
La gráfica de una ecuación polar r = f(θ) es el conjunto de
puntos (x,y) para los cuales x = r cos θ, y = r sen θ, y r= f
(θ). En otros términos, la gráfica de una ecuación polar
es una gráfica en el plano x,y de todos los puntos cuyas
coordenadas polares satisfacen la ecuación dada.

5. Intersección de graficas en
coordenadas polares
El hecho de poder representar un punto en coordenadas
polares de diferentes maneras, exige que tengamos aun
mas cuidado al decidir cuando un punto se encuentra
sobre la gráfica de una ecuación polar, así como al
determinar los puntos en que se intersecan en las
gráficas polares. El problema es que un punto de
intersección puede satisfacer la ecuación de una curva
con ciertas coordenadas polares que son a su vez
diferentes a las que satisfacen a la ecuación de la otra
curva. Así, al resolver simultáneamente las ecuaciones
de dos curvas, es posible que no queden identificados
todos los puntos de intersección. Una manera segura
de identificar todos los puntos de intersección es graficar
las ecuaciones.

6. Calcular el área de una
región plana en coordenadas
polares
El desarrollo de una fórmula para el área de una región polar va
paralelo al de zonas en sistema de coordenadas rectangulares,
pero con sectores de un círculo en lugar de rectángulos como
elementos básicos de dicha área.
 Consideremos la función dada por r= f (θ), donde f es continua y
no negativa en el intervalo[ a , b ] . La región limitada por la gráfica
para hallar el área de esta región, partimos el intervalo[ a , b ] en n
sub-intervalos iguales a = θ < θ < θ <........< θ <
θ = b
 A continuación aproximamos el área de la región por la suma de
las mismas de los n sectores.
 Luego de haber notado el teorema anterior, podemos decir que
usar la fórmula para hallar el área de una región limitada por la
gráfica de una función continua no negativa. Sin embargo, no es
necesariamente válida si f toma valores positivos y negativos en el
intervalo[ a , b ] .
 Algunas veces lo más difícil a la hora de hallar el área de una
región polar es determinar los límites de integración. Un buen dibujo
de la región puede ayudar mucho en estos casos.