Este documento presenta un método trigonométrico para analizar la posición de mecanismos planos de cuatro barras y biela-manivela-carrera. Describe cómo usar trigonometría para derivar ecuaciones que relacionan los ángulos de los eslabones dados un ángulo de entrada. Luego, muestra cómo resolver estas ecuaciones para determinar las posiciones de salida para cada solución posible. El método proporciona una forma sistemática de analizar la cinemática de estos mecanismos planos de manera geométric

1. An´lisis De Posici´n de Mecanismos Planos Mediante Trigonometr´a.
a o ı
Jos´ Mar´ Rico Mart´
e ıa ınez.
Departamento de Ingenier´ Mec´nica. Universidad de Guanajuato, F. I. M. E. E.
ıa a
E-mail: jrico@salamanca.ugto.mx
1 Introducci´n y Motivaci´n.
o o
En estas notas, se muestra otro m´todo fundamentalmente trigonom´trico para realizar el an´lisis de posici´n
e e a o
de diferentes mecanismos planos. Se presenta el an´lisis de posici´n de un mecanismo plano de cuatro barras y
a o
un mecanismo de biela manivela carredera. Este m´todo constituye el fundamento del an´lisis de posici´n de
e a o
mecanismos planos por los m´todos conocidos como diadas planas o grupos de Assur. Estos m´todos fueron
e e
muy difundidos a mediados del siglo pasado
2 An´lisis de Posici´n de un Mecanismo Plano de Cuatro Barras:
a o
Definici´n del Problema.
o
Considere un mecanismo plano de cuatro barras, como el mostrado en la figura 1. Es evidente que para cada
valor de θ2 existen, como ya se sab´ dos soluciones del an´lisis de posici´n, el primera soluci´n est´ mostrada en
ıa, a o o a
negro y est´ dada por θ3a y θ4a , la segunda soluci´n est´ mostrada en azul y est´ dada por θ3b y θ4b . El an´lisis
a o a a a
de posici´n del mecanismo plano de cuatro barras, consiste en dado, el ´ngulo θ2 , y conocidas las longitudes de
o a
los eslabones a1 , a2 , a3 y a4 , determine los valores correspondientes de los ´ngulos θ3 y θ4 . Sin embargo, en este
a
caso, se a˜ ade la condici´n adicional de que el m´todo de soluci´n debe ser geom´trico.
n o e o e
Sean M , A, B y N las cuatro revolutas del mecanismo. El eslab´n 2 es el eslab´n motriz o conductor y
o o
el eslab´n 4 es el eslab´n conducido. De esta figura, es posible obtener, empleando el tri´ngulo M AN , una
o o a
expresi´n para la longitud AN est´ dada por
o a
2
AN = a2 + a2 − 2 a1 a2 Cos θ2 .
1 2 (1)
De manera semejante, empleando el tri´ngulo AN B, una expresi´n equivalente para la longitud AN est´
a o a
dada por
2
AN = a2 + a2 − 2 a3 a4 Cos φ.
3 4 (2)
Por lo tanto, el angulo φ est´ dado por
´ a
a2 + a2 − a2 − a2 + 2 a1 a2 Cos θ2
3 4 1 2
Cos φ = (3)
2 a3 a4
Es importante recordar que el angulo φ se conoce como el ´ngulo de transmisi´n del mecanismo plano de
´ a o
cuatro barras en la posici´n mostrada.
o
Empleando la ley de los senos en el tri´ngulo M AN , es posible determinar el angulo δ, como
a ´
Sen δ Sen θ2 a2 Sen θ2
= por lo tanto δ = Sen−1 . (4)
a2 AN AN
1

2. Figure 1: An´lisis de Posici´n Geom´trico de un Mecanismo Plano de Cuatro Barras.
a o e
De manera semejante, empleando la ley de los senos en el tri´ngulo AN B, es posible determinar los angulos
a ´
γ y μ como
Sen γ Sen φ a4 Sen φ
= por lo tanto γ = Sen−1 . (5)
a4 AN AN
y
Sen μ Sen φ a3 Sen φ
= por lo tanto μ = Sen−1 . (6)
a3 AN AN
A partir de estas ecuaciones, es posible encontrar la soluci´n del an´lisis de posici´n de un mecanismo plano
o a o
de cuatro barras, de la siguiente manera.
1. Para la primera soluci´n, mostrada en negro en la figura 1, se tiene que
o
a2 Sen θ2 a4 Sen φ
θ3a = −δ + γ = −Sen−1 − Sen−1 . (7)
AN AN
a2 Sen θ2 a3 Sen φ
θ4a = 180◦ − δ − μ = 180◦ − Sen−1 − Sen−1 . (8)
AN AN
2

3. 2. Para la segunda soluci´n, mostrada en azul en la figura 1, se tiene que
o
a2 Sen θ2 a4 Sen φ
θ3b = −δ − γ = −Sen−1 + Sen−1 . (9)
AN AN
a2 Sen θ2 a3 Sen φ
θ4b = 180◦ − δ + μ = 180◦ − Sen−1 + Sen−1 . (10)
AN AN
Estas ecuaciones, que es posible programar de manera muy f´cil en calculadora programable o computadora
a
digital, se lleva a cabo el an´lisis de posici´n de mecanismos planos de cuatro barras. Sin embargo, es necesario
a o
notar que si no se emplea un esquema del mecanismo, no es posible asegurar que valores de θ3 y θ4 corresponden
para formar una soluci´n del an´lisis de posici´n del mecanismo plano de cuatro barras.
o a o
3 An´lisis de Posici´n de un Mecanismo Plano de Biela Manivela
a o
Carredera: Definici´n del Problema.
o
Considere un mecanismo plano de biela manivela corredera, como el mostrado en la figura 2. Es evidente que
para cada valor de θ2 existen, como ya se sab´ dos soluciones del an´lisis de posici´n, el primera soluci´n est´
ıa, a o o a
mostrada en negro y est´ dada por θ3a y sa , la segunda soluci´n est´ mostrada en azul y est´ dada por θ3b
a o a a
y sb . El an´lisis de posici´n del mecanismo plano de biela manivela corredere, consiste en dado, el angulo θ2 ,
a o ´
y conocidos los valoes de a2 , a3 y e, determine los valores correspondientes del ´ngulo θ3 y la distancia s. Sin
a
embargo, en este caso, se a˜ ade la condici´n adicional de que el m´todo de soluci´n debe ser geom´trico.
n o e o e
Figure 2: An´lisis de Posici´n Geom´trico de un Mecanismo Plano de Biela Manivela Corredera.
a o e
3

4. Sean M , A y B las tres revolutas del mecanismo. El eslab´n 2 es el eslab´n motriz o conductor y el eslab´n
o o o
4 es el eslab´n conducido. De esta figura, es posible obtener, empleando el tri´ngulo M AC, una expresi´n para
o a o
la longitud AC est´ dada por
a
AC = a2 Senθ2 . (11)
De manera semejante, una expresi´n para la longitud M C est´ dada por
o a
M C = a2 Cosθ2 . (12)
Por otro lado, el angulo γ est´ dado por
´ a
AC − e a2 Senθ2 − e
γ = Sen−1 = Sen−1 (13)
a3 a3
BB
De manera semejante, la distancia 2 est´ dada por
a
BB 2
= a2 − (a2 Senθ2 − e) .
3 (14)
2
Por lo tanto, la primera soluci´n, indicada en negro est´ dada por
o a
a2 Senθ2 − e
θ3a = 270◦ + γ = 270◦ + Sen−1 . (15)
a3
BB 2
sa = MC + = a2 Cosθ2 + a2 − (a2 Senθ2 − e) .
3 (16)
2
De manera semejante, la segunda soluci´n, indicada en azul, est´ dada por
o a
a2 Senθ2 − e
θ3b = 270◦ − γ = 270◦ − Sen−1 . (17)
a3
BB
sb = MC − = a2 Cosθ2 − a2 − (a2 Senθ2 − e)2 .
3 (18)
2
4