El documento explica los conceptos de identidad, ecuaciones e inecuaciones, definiendo cada uno y proporcionando ejemplos. Se detallan métodos para resolver inecuaciones y se ilustran gráficamente las soluciones. Además, se presentan principios de equivalencia y ejemplos prácticos para entender las inecuaciones con una incógnita.

1. DESIGUALDADES
Prof. Aldair Rosales

2. IDENTIDADES, ECUACIONES E INECUACIONES
IDENTIDAD
Es toda igualdad que siempre se cumple, sea cual seas el valor de
la incógnita o incógnitas:
x = x
(x – 2).(x + 2) = x2
– 4
(x – y )2
= x2
– 2.x.y + y2
ECUACIÓN
Es una igualdad que sólo se cumple para uno o varios valores
concretos de la incógnita o incógnitas que intervienen:
2x = 4  Sólo para x = 2
x2
= 4  Sólo para x = 2 y para x = - 2
y = 2x  Sólo cuando y sea doble que el valor de x.
INECUACIÓN
Es una desigualdad que se cumple en un intervalo finito o infinito
de valores de la incógnita o incógnitas que intervienen:
x < 2  ( - oo , 2 )
x ≥ - 4  [ - 4 , + oo )
|x| < 3  ( - 3, 3)

3. Inecuaciones con una incógnita
• Una inecuación es toda desigualdad en la que
intervienen incógnitas o valores desconocidos.
• En las desigualdades se emplean símbolos que es
necesario saber leer e interpretar.
• Signo: Se lee:
• x < - 3 x es siempre MENOR que - 3
• x ≤ 5 x es MENOR o IGUAL que 5
• x > 7 x es siempre MAYOR que 7
• x ≥ - 2 x es MAYOR o IGUAL que -
2

4. SOLUCIONES DE UNA INECUACIÓN
Las soluciones de una inecuación son los valores que pueden tomar
las incógnitas, tales que al sustituirlos en la inecuación la desigualdad sea
cierta.
Ejemplos:
x > 4  x = 5 es solución; también x = 6, x = 7, etc
x2
– 4 < 0  x = 1 es solución; también x = - 1 , x = 0, etc
EQUIVALENCIA DE INECUACIONES
Dos o más inecuaciones son equivalentes cuando tienen la misma
solución.
Ejemplos:
x > 4 y x – 4 > 0 son inecuaciones equivalentes.
x2
– 4 < 0 y (x + 2).(x – 2) < 0 son equivalentes.

5. GRÁFICAS DE SOLUCIONES DE INECUACIONES:
1.- 2 + x ≥ 4  x ≥ 4 – 2  x ≥ 2
Solución = [ 2, + oo )
Como x puede valer 2, se empleará intervalos semicerrados.
En la gráfica, la inclusión del 2 se representa por un punto sólido.
2.- 2x < x -5  2x – x < - 5  x < - 5
Solución = ( - oo, - 5 )
Como x no puede valer - 5, se empleará intervalos abiertos.
En la gráfica, la exclusión del - 5 se representa por un punto hueco.
2
R
R
- 5

6. PRINCIPIOS DE EQUIVALENCIA
Si a los dos miembros de una inecuación se les suma o resta un mismo
número o expresión algebraica, resulta una inecuación equivalente a la dada.
Si x – 3 > 1  x – 3 + 3 > 1 + 3  x > 4
Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica por un número real
positivo, resulta una inecuación equivalente a la dada.
Si x / 3 < 5  3. x / 3 < 3. 5  x < 15
Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica por un número
negativo, resulta una inecuación equivalente a la dada, pero con el signo de
desigualdad contrario al de la inecuación original.
Si - x < 3  (- 1).( - x ) > (- 1).3  x > - 3
Resolución de inecuaciones

7. Desigualdad de la media aritmética
y media geométrica (MA-MG)

8. RESOLUCIÓN DE INECUACIONES
Sean las inecuaciones:
1.- 2 + x ≥ 4 2.- 2x ≤ x -5 3.- x > x + 2
SOLUCIONES:
1.- 2 + x ≥ 4  x ≥ 4 – 2  x ≥ 2
Solución = [ 2, + oo )
2.- 2x < x -5  2x – x < - 5  x < - 5
Solución = ( - oo, - 5 )
3.- x > x + 2  x - x > 2  0 > 2 FALSO
Solución = Ø (Conjunto vacío)