Este documento habla sobre desigualdades e inecuaciones de primer grado con una incógnita. Explica que una desigualdad es una relación de no igualdad entre dos expresiones usando símbolos como <, >, ≤, ≥. Una inecuación es una desigualdad que contiene una incógnita. El documento también cubre propiedades de las desigualdades y cómo resolver inecuaciones aplicando estas propiedades.
El documento presenta información sobre la solución de inecuaciones lineales con una sola variable. Explica conceptos como desigualdad, inecuación, propiedades de las desigualdades y métodos para resolver inecuaciones lineales como despejar la variable, agrupar términos y considerar cuándo cambia el sentido de la desigualdad. Incluye ejemplos resueltos paso a paso para ilustrar los métodos.
El documento presenta una guía sobre la solución de inecuaciones lineales con una variable. Explica conceptos como desigualdades, inecuaciones, propiedades de las desigualdades y métodos para resolver inecuaciones lineales de una variable, como despejar la variable, agrupar términos y considerar cuando cambia el sentido de la desigualdad. Proporciona ejemplos resueltos paso a paso para ilustrar los métodos.
Este documento trata sobre desigualdades e inecuaciones de primer grado. Explica que una desigualdad expresa una relación de no igualdad entre dos expresiones, y que se representa con símbolos como <, >, ≤, ≥. Luego, introduce el concepto de inecuación, que es una desigualdad que contiene una o más incógnitas. Finalmente, explica cómo resolver inecuaciones de primer grado con una o dos incógnitas aplicando propiedades de las desigualdades.
El documento habla sobre inecuaciones de primer grado con una incógnita. Explica que una inecuación es una desigualdad algebraica que contiene al menos una variable. Luego, define una inecuación de primer grado con una incógnita y ofrece ejemplos. Finalmente, describe los pasos para resolver diferentes tipos de inecuaciones de primer grado, incluyendo inecuaciones simples, dobles e inecuaciones con valor absoluto.
Este documento trata sobre sistemas de ecuaciones algebraicas. Explica que un sistema de ecuaciones algebraicas consiste en un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas que deben satisfacerse simultáneamente. También describe métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales y cuadráticas, como sustitución, igualación y reducción.
Este documento define conceptos básicos relacionados con igualdades y desigualdades algebraicas. Explica que las igualdades pueden ser ecuaciones, fórmulas, identidades o equivalencias, dependiendo de si se cumplen para valores específicos o para todos los valores de las variables. También define desigualdades absolutas y condicionales, y clasifica las desigualdades según la ubicación y número de variables y la presencia de valor absoluto. Por último, explica cómo resolver desigualdades de primer grado sin variable en el denominador.
Este documento presenta conceptos básicos sobre inecuaciones y desigualdades, incluyendo:
1) La notación y significado de desigualdades como a > b, a < b, a ≥ b y a ≤ b.
2) Cómo resolver inecuaciones de primer grado mediante el traslado de términos y despeje de la variable.
3) Propiedades básicas de las desigualdades como a > b y b > c implica a > c.
El documento presenta información sobre la solución de inecuaciones lineales con una sola variable. Explica conceptos como desigualdad, inecuación, propiedades de las desigualdades y métodos para resolver inecuaciones lineales como despejar la variable, agrupar términos y considerar cuándo cambia el sentido de la desigualdad. Incluye ejemplos resueltos paso a paso para ilustrar los métodos.
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Este documento trata sobre desigualdades e inecuaciones de primer grado. Explica que una desigualdad expresa una relación de no igualdad entre dos expresiones, y que se representa con símbolos como <, >, ≤, ≥. Luego, introduce el concepto de inecuación, que es una desigualdad que contiene una o más incógnitas. Finalmente, explica cómo resolver inecuaciones de primer grado con una o dos incógnitas aplicando propiedades de las desigualdades.
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Este documento presenta conceptos básicos sobre inecuaciones y desigualdades, incluyendo:
1) La notación y significado de desigualdades como a > b, a < b, a ≥ b y a ≤ b.
2) Cómo resolver inecuaciones de primer grado mediante el traslado de términos y despeje de la variable.
3) Propiedades básicas de las desigualdades como a > b y b > c implica a > c.
Este documento trata sobre las inecuaciones. Explica que una inecuación es una desigualdad que contiene una o más variables. Detalla los pasos para resolver inecuaciones de primer grado, como aplicar propiedades de equivalencia para simplificar la expresión hasta obtener la variable aislada, y determinar el intervalo de soluciones. También cubre conceptos clave como propiedades de las desigualdades y ejemplos de resolución de inecuaciones.
El documento define intervalos, desigualdades e inecuaciones. Explica que un intervalo es un conjunto de números reales comprendidos entre dos extremos, y clasifica intervalos en abiertos, cerrados y semiabiertos. Luego, define una desigualdad como una expresión algebraica relacionada por signos de comparación, y explica propiedades de desigualdades como sumar o multiplicar términos. Finalmente, introduce el valor absoluto y sus propiedades.
Este documento define conjuntos y describe operaciones básicas con conjuntos como la unión, intersección y diferencia. También explica números reales, incluyendo sus propiedades de orden, integralidad e infinitud. Finalmente, cubre conceptos como desigualdades, valor absoluto y cómo resolver desigualdades de valor absoluto.
El documento trata sobre desigualdades y su aplicación en inecuaciones de primer grado. Explica los símbolos utilizados para denotar desigualdades como <, >, ≤, ≥ y cómo resolver inecuaciones mediante la aplicación de propiedades como sumar o restar un número a ambos lados. También cubre el concepto de intervalos y su uso para expresar el conjunto de soluciones de una inecuación.
Las inecuaciones son desigualdades algebraicas que relacionan dos miembros mediante signos como <, ≤, > o ≥. La solución de una inecuación es el conjunto de valores de la variable que la verifican, expresada como un intervalo o gráficamente. Para resolver una inecuación, se aplican operaciones equivalentes a ambos miembros y se despeja la variable, obteniendo un intervalo de soluciones.
Las inecuaciones son desigualdades algebraicas que relacionan dos miembros mediante signos como <, ≤, > o ≥. La solución de una inecuación es el conjunto de valores de la variable que la verifican, expresada como un intervalo o gráficamente. Las inecuaciones se resuelven de forma similar a las ecuaciones de primer grado, con la diferencia de que la solución son intervalos en lugar de un único valor.
El documento presenta los conceptos fundamentales sobre desigualdades, propiedades de las desigualdades, intervalos e inecuaciones de primer y segundo grado. Explica las propiedades de las desigualdades al sumar, restar, multiplicar y dividir sus términos, así como el cambio de sentido cuando se multiplica o divide por un número negativo. También define intervalos, inecuaciones y valor absoluto, concluyendo con ejemplos y propiedades de este último.
Este documento describe las características y resolución de inecuaciones de primer grado. Explica que una inecuación incluye relaciones de orden como >, <, ≥ o ≤. Se resuelven de forma similar a ecuaciones lineales, invirtiendo la desigualdad si se pasa un número negativo al otro lado. La solución se representa gráficamente como un intervalo. También cubre inecuaciones compuestas, resolviéndolas por separado y encontrando la intersección de soluciones.
1) Este documento contiene información sobre una clase de matemáticas en el Colegio José Manuel Estrada en el año 2012. 2) Lista a 6 estudiantes que asistieron a la clase. 3) Proporciona detalles sobre la asignatura, el colegio, la profesora, y el curso al que pertenecen los estudiantes.
El documento presenta conceptos básicos sobre conjuntos numéricos como N, Z, Q y R. Explica operaciones entre conjuntos como unión e intersección usando diagramas de Venn. Luego introduce desigualdades, inecuaciones de primer y segundo grado, intervalos y el valor absoluto. Finalmente explica propiedades del valor absoluto y cómo usarlo en desigualdades.
Este documento define conjuntos y describe varias operaciones con conjuntos como la unión, intersección, diferencia y complemento. También explica números reales, desigualdades, valor absoluto y desigualdades de valor absoluto.
Este documento define inecuaciones lineales y sus propiedades, y explica cómo resolverlas. Muestra ejemplos de diferentes tipos de inecuaciones lineales y cómo representarlas gráficamente o mediante intervalos. Además, presenta tres casos sobre el número máximo de aves que pueden subir a un arca dependiendo de su capacidad y el peso de los animales ya a bordo.
Este documento presenta una introducción a las desigualdades y a la resolución de inecuaciones. Explica los símbolos utilizados en desigualdades, las propiedades de las desigualdades, tipos de intervalos, clasificación e resolución de inecuaciones de una y dos variables de primer y segundo grado.
Ecuaciones sistema de ecuaciones y ecuaciones cuadraticasBrian Bastidas
El documento presenta los temas a tratar sobre ecuaciones lineales y sistemas de ecuaciones lineales. Explica cómo resolver ecuaciones lineales con una variable utilizando inversos aditivos y multiplicativos. También describe tres métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales: el método de sustitución, el método de igualación y el método de eliminación. Además, introduce el método gráfico para resolver sistemas de ecuaciones.
Este documento describe diferentes conjuntos de números, incluyendo números naturales, enteros, racionales, irracionales y reales. Define cada conjunto y sus propiedades con respecto a las operaciones matemáticas. También introduce conceptos como valores absolutos, desigualdades e intervalos para describir rangos de números reales.
Una inecuación es una desigualdad con una o más incógnitas donde se demuestran ciertos valores de las incógnitas. Las propiedades de las desigualdades, como añadir o multiplicar el mismo número a ambos lados, determinan si el sentido de la desigualdad cambia o no. Para resolver una inecuación, se aplican estas propiedades para encontrar los valores de las incógnitas que la satisfacen.
Este documento explica los conceptos básicos de las inecuaciones. Las inecuaciones son desigualdades que relacionan números y letras mediante operaciones aritméticas. Para resolver una inecuación, se aplican las reglas de la suma y del producto para transformarla en una equivalente más simple. Las soluciones de una inecuación son los valores que hacen que la desigualdad sea cierta.
Este documento explica conceptos básicos sobre igualdades y desigualdades, incluyendo ecuaciones e inecuaciones. Define los signos de igualdad y desigualdad, y describe cómo resolver ecuaciones e inecuaciones aplicando propiedades como sumar, restar, multiplicar y dividir en ambos lados. Incluye ejemplos para ilustrar cada concepto y ejercicios de práctica al final.
Este documento trata sobre las inecuaciones. Explica que una inecuación es una desigualdad que contiene una o más variables. Detalla los pasos para resolver inecuaciones de primer grado, como aplicar propiedades de equivalencia para simplificar la expresión hasta obtener la variable aislada, y determinar el intervalo de soluciones. También cubre conceptos clave como propiedades de las desigualdades y ejemplos de resolución de inecuaciones.
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Este documento define conjuntos y describe operaciones básicas con conjuntos como la unión, intersección y diferencia. También explica números reales, incluyendo sus propiedades de orden, integralidad e infinitud. Finalmente, cubre conceptos como desigualdades, valor absoluto y cómo resolver desigualdades de valor absoluto.
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Las inecuaciones son desigualdades algebraicas que relacionan dos miembros mediante signos como <, ≤, > o ≥. La solución de una inecuación es el conjunto de valores de la variable que la verifican, expresada como un intervalo o gráficamente. Para resolver una inecuación, se aplican operaciones equivalentes a ambos miembros y se despeja la variable, obteniendo un intervalo de soluciones.
Las inecuaciones son desigualdades algebraicas que relacionan dos miembros mediante signos como <, ≤, > o ≥. La solución de una inecuación es el conjunto de valores de la variable que la verifican, expresada como un intervalo o gráficamente. Las inecuaciones se resuelven de forma similar a las ecuaciones de primer grado, con la diferencia de que la solución son intervalos en lugar de un único valor.
El documento presenta los conceptos fundamentales sobre desigualdades, propiedades de las desigualdades, intervalos e inecuaciones de primer y segundo grado. Explica las propiedades de las desigualdades al sumar, restar, multiplicar y dividir sus términos, así como el cambio de sentido cuando se multiplica o divide por un número negativo. También define intervalos, inecuaciones y valor absoluto, concluyendo con ejemplos y propiedades de este último.
Este documento describe las características y resolución de inecuaciones de primer grado. Explica que una inecuación incluye relaciones de orden como >, <, ≥ o ≤. Se resuelven de forma similar a ecuaciones lineales, invirtiendo la desigualdad si se pasa un número negativo al otro lado. La solución se representa gráficamente como un intervalo. También cubre inecuaciones compuestas, resolviéndolas por separado y encontrando la intersección de soluciones.
1) Este documento contiene información sobre una clase de matemáticas en el Colegio José Manuel Estrada en el año 2012. 2) Lista a 6 estudiantes que asistieron a la clase. 3) Proporciona detalles sobre la asignatura, el colegio, la profesora, y el curso al que pertenecen los estudiantes.
El documento presenta conceptos básicos sobre conjuntos numéricos como N, Z, Q y R. Explica operaciones entre conjuntos como unión e intersección usando diagramas de Venn. Luego introduce desigualdades, inecuaciones de primer y segundo grado, intervalos y el valor absoluto. Finalmente explica propiedades del valor absoluto y cómo usarlo en desigualdades.
Este documento define conjuntos y describe varias operaciones con conjuntos como la unión, intersección, diferencia y complemento. También explica números reales, desigualdades, valor absoluto y desigualdades de valor absoluto.
Este documento define inecuaciones lineales y sus propiedades, y explica cómo resolverlas. Muestra ejemplos de diferentes tipos de inecuaciones lineales y cómo representarlas gráficamente o mediante intervalos. Además, presenta tres casos sobre el número máximo de aves que pueden subir a un arca dependiendo de su capacidad y el peso de los animales ya a bordo.
Este documento presenta una introducción a las desigualdades y a la resolución de inecuaciones. Explica los símbolos utilizados en desigualdades, las propiedades de las desigualdades, tipos de intervalos, clasificación e resolución de inecuaciones de una y dos variables de primer y segundo grado.
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El documento presenta los temas a tratar sobre ecuaciones lineales y sistemas de ecuaciones lineales. Explica cómo resolver ecuaciones lineales con una variable utilizando inversos aditivos y multiplicativos. También describe tres métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales: el método de sustitución, el método de igualación y el método de eliminación. Además, introduce el método gráfico para resolver sistemas de ecuaciones.
Este documento describe diferentes conjuntos de números, incluyendo números naturales, enteros, racionales, irracionales y reales. Define cada conjunto y sus propiedades con respecto a las operaciones matemáticas. También introduce conceptos como valores absolutos, desigualdades e intervalos para describir rangos de números reales.
Una inecuación es una desigualdad con una o más incógnitas donde se demuestran ciertos valores de las incógnitas. Las propiedades de las desigualdades, como añadir o multiplicar el mismo número a ambos lados, determinan si el sentido de la desigualdad cambia o no. Para resolver una inecuación, se aplican estas propiedades para encontrar los valores de las incógnitas que la satisfacen.
Este documento explica los conceptos básicos de las inecuaciones. Las inecuaciones son desigualdades que relacionan números y letras mediante operaciones aritméticas. Para resolver una inecuación, se aplican las reglas de la suma y del producto para transformarla en una equivalente más simple. Las soluciones de una inecuación son los valores que hacen que la desigualdad sea cierta.
Este documento explica conceptos básicos sobre igualdades y desigualdades, incluyendo ecuaciones e inecuaciones. Define los signos de igualdad y desigualdad, y describe cómo resolver ecuaciones e inecuaciones aplicando propiedades como sumar, restar, multiplicar y dividir en ambos lados. Incluye ejemplos para ilustrar cada concepto y ejercicios de práctica al final.
Este documento trata sobre sistemas de ecuaciones algebraicas. Brevemente, un sistema de ecuaciones algebraicas consiste en un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas que deben satisfacerse simultáneamente. Resolver un sistema implica encontrar los valores de las incógnitas que cumplen todas las ecuaciones al mismo tiempo.
UNIDAD 2 . actividad de matematica, Universidad central del ecuadorProfeGabriel2
Este documento presenta un resumen de tres oraciones o menos de un documento sobre ecuaciones e inecuaciones. Explica las definiciones y clasificaciones de ecuaciones lineales, fraccionarias y cuadráticas. También cubre conceptos como valor absoluto e inecuaciones.
Este documento explica cómo resolver ecuaciones y desigualdades algebraicas. Detalla los pasos para resolver ecuaciones, que incluyen agrupar términos, cambiar el signo si es necesario, y dividir para aislar la incógnita. También cubre cómo comprobar la solución sustituyéndola en la ecuación original. Finalmente, explica que para resolver desigualdades se siguen los mismos pasos que para ecuaciones.
Este documento define conceptos matemáticos fundamentales como conjuntos, números reales, operaciones con conjuntos, desigualdades, inecuaciones y valor absoluto. Explica que un conjunto es una colección de elementos y define operaciones como la unión y la intersección de conjuntos. También describe las propiedades y clasificaciones de los números reales, incluidos los números naturales, enteros, racionales e irracionales. Finalmente, detalla el significado y resolución de desigualdades, inecuaciones y valor absoluto.
Este documento presenta información sobre conceptos matemáticos básicos como conjuntos, números reales, operaciones con conjuntos, desigualdades, inecuaciones y valor absoluto. Define cada concepto y explica sus características y propiedades. También incluye ejemplos para ilustrar los diferentes temas.
UNA DE LAS OPERACIONES ARITMÉTICAS FUE LA SUMA; QUE FUE UTILIZADA PARA RESOLVER PROBLEMAS CONCRETOS,PUESTO QUE NO HABÍA LLEGADO A UN GRADO SUFICIENTE DE ABSTRACCIÓN MATEMÁTICA.
Este documento presenta definiciones y ejemplos de conceptos matemáticos fundamentales como conjuntos, números reales, desigualdades, valor absoluto y operaciones con conjuntos. Explica que un conjunto es una colección de elementos que comparten una propiedad y que pueden ser objeto de operaciones como unión, intersección y diferencia. También define números reales, desigualdades, valor absoluto y proporciona ejemplos para ilustrar el uso de estos conceptos.
LENGUAJE ALGEBRAICO Y PENSAMIENTO FUNCIONAL.pptxNatalyAyala9
1) El documento habla sobre expresiones algebraicas, incluyendo términos, monomios, polinomios, racionales e irracionales.
2) Explica operaciones algebraicas como suma, resta, multiplicación y división de expresiones.
3) Describe diferentes métodos para factorizar expresiones algebraicas, incluyendo factor común, trinomio cuadrado perfecto, y diferencia de cuadrados.
Este documento presenta información sobre conjuntos y operaciones con conjuntos en matemáticas. Explica que una unión de conjuntos es una operación que une dos o más conjuntos para formar un nuevo conjunto que contiene todos los elementos de los conjuntos originales sin repetir elementos. Proporciona ejemplos de uniones de conjuntos usando diagramas de Venn. También cubre brevemente otros temas como números reales, desigualdades matemáticas y valor absoluto.
El documento define los números complejos y sus operaciones. Define el conjugado de un número complejo como el número obtenido al cambiar el signo de su componente imaginaria. Explica cómo representar números complejos en un plano cartesiano y las propiedades de las sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de números complejos. También define otros conceptos matemáticos como números reales, desigualdades, valor absoluto y plano numérico.
El documento define conceptos básicos de álgebra como expresiones algebraicas, términos, coeficientes, incógnitas, ecuaciones y sus elementos. Explica que una expresión algebraica combina números y letras representando cantidades desconocidas y que una ecuación es una igualdad que se cumple para ciertos valores de las letras.
Este documento define conjuntos, operaciones con conjuntos, números reales, desigualdades y valor absoluto. Un conjunto es una colección de elementos que se considera como un objeto, como números, colores o letras. Las operaciones con conjuntos como unión, intersección y diferencia permiten realizar operaciones entre conjuntos. Los números reales incluyen números naturales, enteros, racionales e irracionales y pueden representarse en la recta real. Las desigualdades matemáticas denotan relaciones de orden entre expresiones algebraicas usando símbolos como >,
Este documento trata sobre inecuaciones con valor absoluto. Explica la definición formal de valor absoluto y sus propiedades. Luego, presenta 6 ejercicios resueltos de inecuaciones con valor absoluto, aumentando progresivamente la dificultad. El objetivo es fortalecer la comprensión del concepto de valor absoluto y su aplicación para resolver inecuaciones.
Este documento explica los términos semejantes en álgebra. Los términos semejantes son aquellos que tienen las mismas letras con los mismos exponentes. Los términos semejantes se pueden sumar o restar directamente, mientras que los términos no semejantes no se pueden operar. El documento proporciona ejemplos de sumas y multiplicaciones de términos semejantes y no semejantes.
El documento explica la resolución de ecuaciones lineales. Define una ecuación como una igualdad con una o más incógnitas y una ecuación lineal como aquella donde la incógnita no tiene un exponente distinto de 1. Luego, muestra un ejemplo de resolución de una ecuación lineal paso a paso, donde se igualan los términos de ambos lados y se resuelve para encontrar el valor de la incógnita.
1. DESIGUALDADES E INECUACIONES
DESIGUALDAD
Para hablar de la NO IGUALDAD podemos utilizar varios términos o palabras. Como son: distinto
y desigual.
El término "DISTINTO" (signo ≠), no tiene apenas importancia en matemáticas y en la vida real.
Ejemplos: 4 ≠ 5, que se lee 4 distinto de 5 (ó 5 distinto de 4)
El término "DESIGUALDAD" si tienen interés en la vida real y por tanto en matemáticas; y se
forma con cualquiera de esos cuatro símbolos
≤
≥
<
>
)(que"igualomenor"
)(que"igualomayor"
)(que"menor"
)(que"mayor"
.
Ejemplos de desigualdades:
a) 5 < 11 b) –2 > –7 c) 0 ≤ 1 4 ≥ –3
Las desigualdades tienen un inconveniente al leerse y es que se leen diferente de izquierda a
derecha que de derecha a izquierda. Practica con los ejemplos anteriores.
Con estos símbolos se construye la relación de orden, ya que dados dos números cualesquiera a y b,
siempre se da una de estas condiciones: a es menor que b, a es igual a b, ó a es mayor que b.
(a < b) (a = b) (a > b)
si unimos si unimos
a ≤ b a ≥ b
Para evaluar una desigualdad, sólo podemos decir si es verdadera (V) o falsa (F.
Ej. Completa con V (verdadero) o F (falso) las siguientes desigualdades:
5 < 3 ___ 25 ≤ ___
–2 < –5 ___ b ≥ b ___
0,25 < 0,205 ___ a+3 ≤ a+8 ___
1
5
3
≤ ___ a < a ___
16
9
8
5
≥ ___ a+b > a ___
45
10
9
2 −
>
−
___ 2a–1 > 2a+5 ___
7
19
4
−> ___ 14,3≥π ___
Ej Completa con el símbolo correcto las siguientes desigualdades:
3 ___ –5, –8 ___ –8, –4 ___ –20, 6___35
7
22
___π
Una desigualdad falsa se puede convertir en verdadera cambiando de sentido a la desigualdad;
ejemplo: 3>5 es falsa si cambiamos de sentido 3<5, es verdadera; cambiar de sentido una
desigualdad es cambiar el signo que tiene por el contrario.
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2. PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES
De la suma:
Dada la desigualdad 3 < 8, si sumamos 7 a los dos miembros se obtiene 3+7
< 8+7, otra desigualdad (en concreto) 10 < 15 del mismo sentido.
Dada la desigualdad 3 < 8, si restamos 4 a los dos miembros se obtiene –1 <
4, otra del mismo sentido.
Dada la desigualdad 3 < 8, si sumamos x y restamos 1 se obtiene 2+x <
7+x, otra del mismo sentido.
Del producto
Dada la desigualdad 3 < 8, si multiplicamos ambos miembros por 5 se obtiene
15 < 40, otra del mismo sentido
Dada la desigualdad 3 < 8, si multiplicamos ambos miembros por –6 se
obtiene –18 > –48, otra pero de sentido contrario.
Dada la desigualdad 3 < 8, si dividimos ambos miembros por 2 se obtiene
4
2
3
< , otra del mismo sentido.
Dada la desigualdad 3 < 8, si dividimos ambos miembros por –1, se obtiene
–3 > –8, otra de sentido contrario.
INECUACIÓN DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA
Una inecuación es una desigualdad en la que aparece alguna incógnita en uno o en los dos
miembros de una desigualdad.
Son inecuaciones: 2 + 3x < 5 x2
– 5x + 3 ≥ 0 3x – y > 5y + 4x – 14
Las inecuaciones se clasifican por el grado y las incógnitas que tiene.
Veamos un problema: Encuentra los números que verifican: que el doble menos uno sea mayor que
si al número le sumamos 4. Este problema tendría una transcripción algebraica así.
2 x – 1 > x + 4 Vemos que hay muchos números que cumplen esta condición.
Los números 9, 11, 90 y 6 vemos que la hacen
cierta así como otros muchos números.
Sin embargo, los números 3, –4 no la hacen
cierta, estos números no cumplen la condición,
también hay otros.
Luego nos damos cuenta que la respuesta a una
inecuación no es única, existen varias soluciones.
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Si a los dos miembros de una desigualdad se les suma o resta un mismo número o una
expresión algebraica se obtiene otra desigualdad del mismo sentido.
Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por un número
*Mayor que cero se obtiene otra desigualdad del mismo sentido
*Menor que cero se obtiene otra desigualdad de sentido contrario.
Nº Doble menos 1 Nº + 4 cierto
9 17 13 SI
11 21 15 SI
90 179 94 SI
6 11 10 SI
3 5 7 NO
–4 –9 0 NO
3. En general una inecuación tiene infinitas soluciones.
Resolvamos la anterior inecuación (Aplicando las propiedades de las desigualdades)
Sumamos 1 a los dos miembros 2x > x + 4 + 1
Restamos x a los dos miembros 2x – x > 4 + 1
Reducimos miembros x > 5
Por tanto, la solución de esta inecuación es: x > 5
Inecuación: 2 x – 1 > x + 4 si sustituimos la x por 9
2·9 – 1 > 9 + 4
17 > 13 que es una desigualdad cierta, y, por tanto, el valor 9 será una solución
2·3 – 1 > 3 + 4
5 > 7 no es cierta la desigualdad, por tanto, el valor 3 no es solución.
* Para resolver una inecuación se transforma en otras más sencillas que sean equivalentes.
* Dos inecuaciones son equivalentes cuando ambas tienen las mismas soluciones.
Las propiedades que permiten transformar inecuaciones en otras más sencillas son las mismas que
las propiedades de las desigualdades, simplemente cambiando la palabra desigualdad por
inecuación.
PROPIEDADES DE LAS INECUACIONES
De la suma:
Del producto
En la práctica las inecuaciones se resuelven igual que las ecuaciones pero teniendo en cuenta que a
veces hay que cambiarla de sentido.
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Las soluciones de una inecuación son los valores que puede tomar la incógnita tales que
al sustituirlos en la inecuación la conviertan en una desigualdad cierta,
Si a los dos miembros de una INECUACIÓN se les suma o resta un mismo número o
una expresión algebraica se obtiene otra INECUACIÓN equivalente del mismo
sentido.
Si los dos miembros de una INECUACIÓN se multiplican o dividen por un número
*mayor que cero se obtiene otra INECUACIÓN equivalente del mismo sentido
*menor que cero se obtiene otra INECUACIÓN equivalente a la dada pero de
sentido contrario.
Se debe cambiar de sentido una inecuación cuando:
* Cambiamos todos los signos de una inecuación (Equivale a multiplicar todos por –1)
* Cuando sea negativo y utilicemos: "el que está multiplicando pasa al otro miembro
dividiendo"
* A la hora de quitar denominadores en una inecuación cuando el denominador común
es negativo
5. INECUACIÓN DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS
Ejemplos de este tipo son: x + y ≤ 0 2x + y > 5 4x – 7y < 11
Para este tipo de inecuación no se puede dar una solución de forma algebraica, sólo se puede
dar una solución de forma gráfica, para ello se requiere la representación gráfica de funciones.
Es obvio decir que para su resolución la inecuación debe estar simplificada.
La solución es, siempre, un semiplano de los que la gráfica (siempre una línea recta) divide
al plano, basta probar con un punto cualquiera de un semiplano para determinar cuál es.
Ejemplo: Resolver la inecuación 2x + y > 5
Para ello representamos sobre unos ejes
cartesianos la función 2x + y = 5 ó mejor la función
equivalente y = 5 – 2x, obtenida de la inecuación.
Los puntos dibujados en la recta corresponde a la
igualdad (2x + y = 5 ); la desigualdad > o < esta en uno
de los dos semiplanos en que la recta divide al
plano .Para determinar cuál de los dos semiplanos es la
repuesta cogemos un punto cualquiera; el mejor es el
origen ( 0, 0 ) y probamos con él: 2 · 0 + 0 > 5; como no
es cierto, el semiplano que contiene al origen no es la
solución, por lo tanto es el otro que aparece sombreado.
Todos los puntos (x,y) situados en el plano sombreado forman parte de la solución de la
inecuación, cojamos uno cualquiera: el (3,1) y lo sustituimos en la inecuación: 2 · 3 + 1 > 5 y
vemos que es cierto; podemos probar con el punto ( 3’26 , – 0’34 )
Si la inecuación esta construida con el símbolo ≥ o ≤ la solución sería un semiplano y además los
puntos de la recta dibujada.
Resolver las siguientes inecuaciones:
1) 63 ≤− yx 2) 13 ≥+ yx
3) 052 >+ yx 4) 543 −<− yx
5) x
yx
53
2
≥−
+
6) 12
3
52
4 −<
+
− x
yx
Pág – 5 –
6. SISTEMAS DE INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA
Ya que la solución de una inecuación es un conjunto numérico ( x > 3 ). Se pueden resolver
sistemas de inecuaciones de primer grado con una incógnita simplemente buscando las soluciones
comunes a todas las inecuaciones.
Ejemplo:
>
<
4
9
x
x
, vemos que las dos inecuaciones tienen en común el conjunto o
intervalo abierto (4 , 9); o sea "todos los números comprendidos entre 4 y 9".
Puedes utilizar las representaciones gráficas de cada inecuación para buscar las soluciones
comunes.
La forma de resolver estos sistemas es la siguiente: “Se resuelve cada inecuación individualmente y
luego se busca la solución común”
Ejemplo.
Resolver.
<−
>+
(b)19
(a)512
x
x Resolvemos cada
inecuación individualmente
<
>
10:Sol(b)
2:Sol(a)
x
x
Que si pensamos un poco vemos que lo que tienen en común son los números mayores que 2 y
menores que 10, o sea, el intervalo (2,10).
Podemos buscar la solución común mediante la representación gráfica sobre la Recta Real,
pudiendo hacerse de dos formas I) Marcando los que son (utilizando colores)
II) Borrando los que no son.
Con el ejemplo anterior:
De la forma I) La Sol de (a) en azul, y la Sol de (b) en rojo
Los comunes son los números marcados con ambos colores; el intervalo (2 , 10)
De la forma II) tachando
vemos el intervalo (2 , 10)
La forma más elegante es representar las soluciones en forma de intervalos y buscar la
solución común hallando la intersección de ambos.
∞≡<
+ ∞≡>
,10)(-10:Sol(b)
)(2,2:Sol(a)
x
x
la solución común sería: (2,10),10)(-)(2, =∞∩+ ∞
Resolver los siguientes sistemas de inecuaciones con una incógnita:
1)
>+
>−
31
573
x
x
2)
>−
≥−
132
17
x
x
3)
>
<−
>
x
x
x
7
2
53
4)
<
−>
−∈
2
32
)10,6(
x
x
x
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7. SISTEMAS DE DOS INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS
INCÓGNITAS
Igual que en las inecuaciones de primer grado con dos incógnitas sólo se puede dar una solución
gráfica, en los sistemas ocurre lo mismo. Será la intersección de los semiplanos de cada inecuación.
Ejemplo: Resolver el sistema:
<+
>−
73
02
yx
yx
Para ello representamos las funciones y = 2x en (verde) y la
función y = 7 – 3x (en rojo).
Buscamos los semiplanos de cada inecuación.
La solución del sistema es la intersección de los dos semiplanos, en
este caso la región del plano sombreado.
Si el sistema está construido con el símbolo ≥ o ≤ en alguna o en
las dos inecuaciones, la solución sería la región sombreada y además los puntos de la recta dibujada
bien una o las dos rectas.
Ejemplo: Sistema de inecuaciones:
>+
≥−
253
32
yx
yx
En azul la solución del sistema.
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8. SISTEMAS DE MÁS DE DOS INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS
INCÓGNITAS
Sólo existe solución gráfica como en las anteriores.
Ejemplo: Sistema de inecuaciones:
<
−≥
≤
yx
y
y
1
2
Ejemplo: Resolver el sistema:
≤+
≤+
∈≥≥
(2)6032
(1)363
,;0;9
yx
yx
Nyxyx
Representamos todas las inecuaciones en
unos mismos ejes cartesianos y buscamos lo común.
En general es un recinto que puede ser
abierto o cerrado.
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9. INECUACIÓN DE 2º GRADO
* Debes tener en cuenta que decir “ mayor que cero” y decir “positivo” es lo mismo, y decir
“menor que cero” y decir “negativo” es lo mismo.
* Las inecuaciones de 2º grado se resuelven igual ya sea con el símbolo > 0, < 0, ≥ 0 ó ≤ 0
* Hay cuatro formas de resolver la inecuación. Las veremos con un ejemplo.
Resolver la siguiente inecuación: 0452
≤
≥
<
>
+− xx . Punto de partida para todas.
1ª forma y la más recomendada.
Hallamos los valores para la x que dan el valor cero, esto es, resolvemos la ecuación:
0452
=+− xx ; obtenemos dos valores x1 = 1 y x2 = 4. Para estos valores la expresión 452
+− xx
toma el valor cero, eso quiere decir que en los demás valores no da cero, esto es, dan positivo ( > 0)
o negativo ( < 0); es lo mismo que: “analizar los signos que toma la expresión 452
+− xx ”. Los
buscamos de una manera gráfica sobre la recta Real representado los valores que dan cero.
La recta Real queda divida en tres intervalos:
I1 = ( –∞ , 1); I2 = ( 1 , 4 ) I3 = ( 4 , +∞ )
Pues bien, la expresión 452
+− xx siempre toma el mismo signo ( + , – ) en cada uno de
los intervalos; basta probar con un valor cualquiera del intervalo para saber el sigo que toma en todo
el intervalo,
En el intervalo I1 probamos con x = 0 la expresión toma el valor 4 que es > 0
En el intervalo I2 probamos con x = 2 la expresión toma el valor –2 que es < 0
En el intervalo I3 probamos con x = 5 la expresión toma el valor 19 que es > 0
Que se representa así:
Si estamos resolviendo la inecuación: 0452
>+− xx , la solución sería: ( –∞ , 1) ∪ ( 4 , +∞ )
Si estamos resolviendo la inecuación: 0452
<+− xx , la solución sería: ( 1 , 4 )
Si estamos resolviendo la inecuación: 0452
≥+− xx , la solución sería: ( –∞ , 1 ] ∪ [ 4 , +∞ )
Si estamos resolviendo la inecuación: 0452
≤+− xx , la solución sería: [ 1 , 4 ]
NOTA.– A la hora de probar con un valor del intervalo conviene probar con valores exagerados
cuando se pueda.
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10. 2ª forma. Es transformarla en un sistema de dos ecuaciones con una incógnita.
Se descompone en factores la expresión 452
+− xx , pues utilizar Ruffini o la ecuación de 2º grado
452
+− xx = )4()1( −⋅− xx
* Si la inecuación es 0452
>+− xx , descompuesta en factores queda: 0)4()1( >−⋅− xx y
“decimos”: “el producto de dos factores es positivo si ambos son positivos ó ambos negativos” y
construimos los dos sistemas de inecuaciones siguientes:
Los dos positivos
>−
>−
04
01
x
x
De solución x > 4
Los dos negativos
<−
<−
04
01
x
x
De solución x < 1
Luego la solución final sería: x < 1 ó x > 4 equivalente a ( –∞ , 1) ∪ ( 4 , +∞ )
* Si la inecuación es 0452
<+− xx , descompuesta en factores queda: 0)4()1( <−⋅− xx y
“decimos”: “el producto de dos factores es negativo si uno es positivo y el otro negativo, y
viceversa” y construimos los dos sistemas de inecuaciones siguientes:
positivo-negativo
<−
>−
04
01
x
x
De solución: ( 1 , 4 )
negativo-positivo
>−
<−
04
01
x
x
De solución Incompatible
Luego la solución final sería: ( 1 , 4 )
Se resuelve de forma análoga si es ≥ 0 ó ≤ 0
3ª forma, recomendada para otros tipos de inecuaciones.
Se descompone en factores la expresión 452
+− xx , puedes utilizar Ruffini o la ecuación de 2º
grado 452
+− xx = )4()1( −⋅− xx
Se analizan gráficamente los signos de cada uno de los factores sobre rectas Reales iguales y luego
se analiza el producto.
Signo de ( x – 1 )
Signo de ( x – 4)
Signo de ( x – 1 ) · ( x –
4)
Si estamos resolviendo la inecuación: 0452
>+− xx , la solución sería: ( –∞ , 1) ∪ ( 4 , +∞ )
Si estamos resolviendo la inecuación: 0452
<+− xx , la solución sería: ( 1 , 4 )
Se resuelve de forma análoga si es ≥ 0 ó ≤ 0
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11. 4ª forma, utilizar la representación gráfica de funciones.
Representamos la función yxx =+− 452
. Podemos utilizar DERIVE
Si queremos resolver la inecuación: 0452
>+− xx , tenemos que ver ¿qué
valores “x” tienen la “y” positiva.
Si queremos resolver la inecuación: 0452
<+− xx , tenemos que ver ¿qué
valores “x” tienen la “y” negativa.
Se resuelve de forma análoga si es ≥ 0 ó ≤ 0
Como vemos en la gráfica los valores x < 1 tienen la y positiva ( > 0 ) y también los valores x > 4.
Y los valores x comprendidos entre 1 y 4 tienen la y negativa. ( < 0 )
Observa que los valores para la x = 1 y x = 4, la función toma el valor CERO, que son donde la
gráfica corta el eje X, y estaríamos resolviendo la ecuación 0452
=+− xx
Ejercicio: Resolver la siguiente inecuación: 012163 2
≤−− xx
Por la 1ª forma: Representamos sobre la recta Real los valores que anulan la inecuación, o
sea, resolvemos la ecuación: 012163 2
=−− xx , cuyas soluciones son x1 = –2/3 y x2 = 6.
Posteriormente analizamos los signos en cada intervalo
Luego la solución de la inecuación es: [ – 2/3 , 6 ]
Ejercicio: Resolver la siguiente inecuación: 0276 2
>+− xx
Por la 1ª forma: Representamos sobre la recta Real los valores que anulan la inecuación, o
sea, resolvemos la ecuación: 0276 2
>+− xx , cuyas soluciones son x1 = 1/2 y x2 = 2/3.
Posteriormente analizamos los signos en cada intervalo
Luego la solución de la inecuación es: ( –∞ , ½ ) ∪ ( 2/3 , +∞ )
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12. Ejercicio: Resolver la siguiente inecuación: 025102
>+− xx
Por la 1ª forma: Representamos sobre la recta Real los valores que anulan la
inecuación, o sea, resolvemos la ecuación: 025102
=+− xx , cuyas soluciones son x1 =
5 doble. Posteriormente analizamos los signos en cada intervalo
Sólo tenemos dos intervalos, que probando con – 1000 y con + 1000, los dos dan positivo
Luego la solución de la inecuación es: Todos los números Reales menos x = 5
que da el valor CERO. Escrito en matemáticas: { }5−ℜ
Si hubiese sido la inecuación: 025102
≥+− xx
La solución hubiese sido: “Todos los números Reales”
Si hubiese sido la inecuación: 025102
<+− xx
La solución hubiese sido: “No tendría solución”. Incompatible
Si hubiese sido la inecuación: 025102
≤+− xx
La solución hubiese sido: x = 5. Solución única
Ejercicio: Resolver la siguiente inecuación: 026102
>+− xx
Por la 1ª forma: Representamos sobre la recta Real los valores que anulan la
inecuación, o sea, resolvemos la ecuación: 026102
=+− xx , que al resolverla no tiene
raíces reales; por lo tanto en la recta Real no podemos representar ningún valor, esto es
sólo tenemos un intervalo. Probamos con cualquier número de la recta (el cero) y
analizamos el signo que toma; en este caso 26 que es >0 (+)
Luego la solución de la inecuación es: Todos los números Reales Escrito en
matemáticas:ℜ .
Si hubiese sido la inecuación: 026102
≥+− xx
La solución hubiese sido: “Todos los números Reales”, ℜ
Si hubiese sido la inecuación: 026102
<+− xx
La solución hubiese sido: “No tendría solución”. Incompatible
Si hubiese sido la inecuación: 026102
≤+− xx
La solución hubiese sido: “No tendría solución”. Incompatible
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13. INECUACIÓN RACIONAL O DE GRADO SUPERIOR
Para este tipo de ejercicios es mejor la 3ª forma.
Las inecuaciones racionales hay que resolverlas con la expresión CERO en uno de sus miembros,
si no es así se pasan las expresiones algebraicas a un miembro y se realizan las operaciones hasta
dejarlas como una única fracción algebraica.
Se analizan gráficamente los signos que toma el numerador y denominador, por separado,
sobre rectas Reales iguales y luego se analizan los signos del cociente. Para el caso 0,0 ≥≤ ten
en cuenta que el denominador no puede ser cero.
Las inecuaciones de grado superior hay que resolverlas con la expresión CERO en uno de sus
miembros, si no es así se pasan las expresiones algebraicas a un miembro y se realizan las
operaciones hasta dejarlas como una única expresión algebraica. Después se descompone en
factores; se analizan los signos de cada uno de los factores sobre rectas Reales iguales y luego se
analizan los signos del producto.
Ejercicio de racional: Resolver la siguiente inecuación: 0
42
5
>
+
−
x
x
Por la 3ª forma: Se analizan gráficamente los signos que toma el numerador y denominador, por
separado, sobre rectas Reales iguales y luego se analizan los signos del cociente.
Signo de (x – 5)
Signo de (2x + 4)
Signo de
42
5
+
−
x
x
Al estar resolviendo la inecuación: 0
42
5
>
+
−
x
x
, la solución es: (– ∞ , – 2) ∪ (5 , + ∞)
Si hubiese sido la inecuación: 0
42
5
≥
+
−
x
x
La solución hubiese sido: (– ∞ , – 2) ∪ [5 , + ∞)
Si hubiese sido la inecuación: 0
42
5
<
+
−
x
x
La solución hubiese sido: (– 2 , 5)
Si hubiese sido la inecuación: 0
42
5
≤
+
−
x
x
La solución hubiese sido: (– 2 , 5]
Ejercicio de racional: Resolver la siguiente inecuación: 1
2
6
<
+
−
x
x
Sol: 0
2
8
0
2
26
01
2
6
1
2
6
<
+
−
⇒<
+
−−−
⇒<−
+
−
⇒<
+
−
xx
xx
x
x
x
x
,
cuya solución es: x > – 2
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14. Ejercicio de grado TRES: Resolver la siguiente inecuación: 012133
>+− xx
Por la 3ª forma: Descomponemos la expresión en factores, (utilizamos Ruffini) y
queda: )4)(3)(1(12133
+−−=+− xxxxx , cuyas raíces (soluciones de la ecuación)
son: x1 = – 4, x2 = 1 y x3 = 3.
Se analizan gráficamente los signos de cada uno de los factores sobre rectas Reales iguales y luego
se analiza los signos del producto.
Signo de (x + 4)
Signo de (x – 1)
Signo de (x – 3)
Signo de (x + 4) (x – 1) (x – 3)
Al estar resolviendo la inecuación 012133
>+− xx , la solución es: (– 4 , 1) ∪ (3 , + ∞).
Si hubiese sido la inecuación: 012133
≥+− xx
La solución hubiese sido: [– 4 , 1] ∪ [3 , + ∞)
Si hubiese sido la inecuación: 012133
<+− xx
La solución hubiese sido: (– ∞ , – 4) ∪ (1 , 3)
Si hubiese sido la inecuación: 012133
≤+− xx
La solución hubiese sido: (– ∞ , – 4] ∪ [1 , 3]
Ejercicio mezcla: Resolver la siguiente inecuación: 0
1
3
2
>
−
−
x
x
Por la 3ª forma: Descomponemos en factores y analizamos signos del numerador y denominador.
Signo de (x – 3)
Signo de (x – 1) (x + 1)
Signo de
1
3
2
−
−
x
x
Al estar resolviendo la inecuación: 0
1
3
2
>
−
−
x
x
, la solución es: (–1, 1) ∪ (3 , + ∞)
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