El documento presenta un proyecto educativo sobre inecuaciones en matemáticas, que incluye un manual y un video tutorial creado por estudiantes de ingeniería en petróleo. Se abordan conceptos fundamentales sobre inecuaciones y sus tipos, incluyendo inecuaciones lineales, cuadráticas, racionales y con valor absoluto, así como métodos para resolverlas. El trabajo concluye sugiriendo una enseñanza más integrada de ecuaciones e inecuaciones para facilitar la comprensión de los estudiantes.

1. UNIVERSIDAD ESTATAL PENÍNSULA
DE SANTA ELENA
SISTEMA NACIONAL DE NIVELACIÓN Y ADMISIÓN
PROYECTO DE AULA DE MATEMATICAS
“MANUAL Y VIDEO TUTORIAL SOBRE INECUACIONES”
AUTORES:
Mendoza Chichanda Steeven Alberto
Ramírez Moreira Diana Isabel
Yanchapaxi Fonseca Dalynver José
CARRERA:
INGENIERÍA EN PETRÓLEO
PET 20
DOCENTE:
Ing. Carlos Malavé Carrera.
SANTA ELENA
Agosto 2015

2. ÍNDICE GENRAL
INTRODUCCIÓN................................................................................................... 3
OBJETIVOS........................................................................................................... 3
1. LAS INECUACIONES O DESIGUALDADES...................................... 4
1.1. Regla de la suma................................................................................. 4
1.2. Regla del producto .............................................................................. 4
2. TIPOS DE INECUACIONES ................................................................... 6
2.1. Inecuaciones Lineales ..................................................................... 6
2.2. Inecuaciones Cuadráticas.................................................................. 7
2.3. Inecuaciones Racionales ................................................................... 8
2.4. Inecuaciones con Valor Absoluto...................................................... 9
2.4.1 Propiedades................................................................................10
CONCLUCIÓN.....................................................................................................11
ANEXOS...............................................................................................................11
BIBLIOGRAFÍA...................................................................................................12

3. 3
INTRODUCCIÓN
En este proyecto abordaremos el estudio de las inecuaciones. Empezaremos tratando
las desigualdades en general y sus propiedades. Daremos el concepto de inecuaciones
equivalentes y como transformar una inecuación en otra equivalente (con las mismas
soluciones). Después aprenderemos a resolver "todo" tipo de inecuaciones, según se
detalla al margen y finalmente veremos unos cuantos problemas que pueden resolverse
planteando inecuaciones.
Las inecuaciones tienen multitud de aplicaciones en la vida real. Que es una herramienta
matemática con la que tratamos de optimizar determinados aspectos y situaciones
reales. Antes de estudiar este tema debemos conocer que es una ecuación y sus tipos.
Una ecuación es una propuesta desigualdad en la que interviene alguna letra llamada
incógnita. La solución de la ecuación es el valor o valores de las incógnitas que hacen
que la igualdad sea cierta. Resolver una ecuación es hallar su solución, o soluciones, o
llegar a la conclusión de que no existe.
OBJETIVOS
 Reconocer sus leyes.
 Reconocer las soluciones de una inecuación.
 Resolver inecuaciones.
 Expresar la solución de inecuaciones en la forma de intervalo o como conjunto.

4. 4
1. LAS INECUACIONES O DESIGUALDADES
Las desigualdades son expresiones de la forma A<B, donde A y B pueden ser
expresiones numéricas o algebraicas y el símbolo
< (Menor que)
> (Mayor que)
≤ (Menor o igual que)
≥ (Mayor o igual que).
A la expresión que hay a la izquierda le llamaremos primer miembro y a la que hay a la
derecha, segundo miembro.
Ejemplo:
𝟐 · 𝟒 − 𝟏 < 𝟏𝟎 Es una desigualdad "cierta" (equivalente a 𝟕 < 𝟏𝟎).
En esta última, el primer miembro es 7 y el segundo 10.
1.1 Regla de la suma:
Si sumamos (o restamos) una misma cantidad a los dos miembros de una desigualdad,
obtenemos otra desigualdad equivalente del mismo sentido. O sea, A < B Û A + C <
B + C para cualquier cantidad C.
Si sumamos 2 unidades a los dos miembros de la desigualdad anterior, tendremos
que7 + 2 < 10 + 2, o sea, 9 < 12 (cierto).
Restando 3 unidades (por ejemplo) a los dos miembros, tendremos7 − 3 < 10 − 3, ó
sea, 4 < 7 (cierto).
1.2 Regla del producto:
Si multiplicamos (o dividimos) los dos miembros de una desigualdad por una misma
cantidad (distinta de cero), obtenemos otra desigualdad equivalente, del mismo sentido
si C > 0 y de sentido contrario siC < 0.
O sea, Û (A·C<B·C si C es una cantidad positiva o A·C>B·C si C es una cantidad
negativa).
Si en la desigualdad 7 < 10 multiplicamos los dos miembros por 2, tendremos que7 ·
2 < 10 · 2, o sea,14 < 20.

5. 5
Si lo hacemos por(−2), tendremos7 · (−2) > 10 · (−2), o sea, −14 > −20. (Observa
que lo que antes era "<" se ha convertido ahora en ">"; la desigualdad ha cambiado de
sentido).
Una inecuación es una desigualdad entre expresiones algebraicas. A las letras de
dichas expresiones algebraicas les llamaremos incógnitas, y dependiendo de cuantas
haya, diremos que se trata de una inecuación con una, dos, tres, incógnitas.
Ejemplo:
𝟑𝒙 − 𝟒 ≤ 𝟐 Es una inecuación con una incógnita (x).
Los valores de la incógnita(as) que hacen cierta la desigualdad se llaman soluciones de
la inecuación.
Para la inecuación anterior, x = 0 es solución (porque es cierto que3 · 0 − 4 ≤ 2), pero
x = 3 no es solución (porque no es cierto que 3 · 3 − 4 ≤ 2).
Resolver una inecuación consiste en encontrar todas sus soluciones.
Diremos que dos inecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones.
Por ejemplo:
𝟑 · 𝐱 − 𝟒 ≤ 𝟐 Es equivalente a:
3 · x ≤ 6
O
ax ≤ 2.
Podemos utilizar la Regla de la suma y la Regla del producto para transformar una
inecuación en otra equivalente más sencilla de resolver.
Por ejemplo:
4x − 3 ≤ 5 + 2x  (Sumando 3 a los dos miembros) 4x ≤ 8 + 2x (Restando 2x en
los dos miembros)4x − 2x ≤ 8  2x ≤ 8  (Dividiendo por 2 en los dos
miembros)x ≤ 4; luego las soluciones de esta inecuación son todos los números del
intervalo(−∞,4].
Si fuese4x − 3 < 5 + 2x, la solución sería el intervalo(−∞,4).
En las páginas siguientes aprenderemos a resolver distintos tipos de inecuaciones.

6. 6
2. TIPOS DE INECUACIONES
2.1. INECUACIONES LINEALES
Una inecuación lineal es una expresión matemática que describe cómo se
relacionan entre sí dos expresiones lineales.
𝑎𝑥 + 𝑏 > 0
𝑎𝑥 + 𝑏 < 0
𝑎𝑥 + 𝑏 ≥ 0
𝑎𝑥 + 𝑏 ≤ 0
Lo que indica que las inecuaciones lineales admiten un número infinito de solución
que suelen expresarse en forma de intervalo de números reales.
EJEMPLO:
Resolver la siguiente inecuación: 6(
𝒙+𝟏
𝟖
−
𝟐𝒙−𝟑
𝟏𝟔
) > 𝟑 (
𝟑𝒙
𝟒
−
𝟏
𝟒
) −
𝟑
𝟖
( 𝟑𝒙 − 𝟐)
SOLUCION:
El número 6 que se multiplica con los siguientes valores dentro de los paréntesis, se
simplifica sacando la mitad del 6 con cada uno de los denominadores. De 6 pasa a ser
3 y este se multiplica normalmente con cada uno de los valores dentro del paréntesis en
una multiplicación de fracciones.
𝟑𝒙 + 𝟑
𝟒
−
𝟔𝒙 − 𝟗
𝟖
> 𝟑 (
𝟑𝒙
𝟒
−
𝟏
𝟒
) −
𝟑
𝟖
( 𝟑𝒙 − 𝟐)
En la parte derecha del signo ">" se multiplica el 3 con cada uno de los valores que
están dentro del paréntesis luego colocamos el "menos" y el −
3
8
se multiplica para (3x −
2)Dándonos como resultado −
𝟗𝒙−𝟔
𝟖
𝟑𝒙 + 𝟑
𝟒
−
𝟔𝒙 − 𝟗
𝟖
> (
𝟗𝒙
𝟒
−
𝟑
𝟒
) −
𝟗𝒙 − 𝟔
𝟖
Se realiza una suma y resta de fracciones en la que el m.c.m es igual a 8, entre los dos
primeros valores que quedan a la izquierda del signo ">" y como resultado nos queda:
𝟔𝒙 + 𝟔 − 𝟔𝒙 + 𝟗
𝟖
>
𝟗𝒙 − 𝟑
𝟒
−
𝟗𝒙 − 𝟔
𝟖
Tenemos:
𝟔𝒙+𝟔−𝟔𝒙+𝟗
𝟖
< 𝟏𝟖−𝟔−𝟗𝒙+𝟔
𝟖
Podemos ver que tenemos los mismos denominadores, asi que podemos simplificar
ambos denominadores para sí mismos. Y no quedaría finalmente

7. 7
6x + 6 − 6x + 9 > 18x − 6 − 9x + 6
Del lado izquierdo se simplifican el 6x y él −6x por sus signos contrarios y se suman el
9 y el 6 que nos da: 15.
𝟔 + 𝟗
𝟏
>
𝟏𝟖𝒙 − 𝟗𝒙
𝟏
Quedándonos como resultado:
15 > 9𝑥
Despejamos:
15
9
> 𝑥
𝑥 >
5
3
//
En la semirrecta se lo representa de la siguiente manera:
(−∞,
5
3
)
2.2. INECUACIONES CUADRATICAS
Una inecuación cuadrática es una inecuación de la forma:
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 < 0
Lo cual nos hace pensar que, de ser posible, una vez expresado el trinomio en sus
factores, tendríamos:
>
<
( 𝑥 − 𝑥1)( 𝑥− 𝑥2) ≥ 0
≤
Suponga que 𝑥1 y 𝑥2 son diferentes. Con la ley de los signos, concluiríamos en la solución sea
mayor que cero (positivo), menor que cero (negativo), mayor o igual que cero, menor o igual que
cero. Observe que:
( 𝑥 − 𝑥1)( 𝑥 − 𝑥2) > 0
+ +
− −
( 𝑥 − 𝑥1)( 𝑥 − 𝑥2) < 0
+ −
− +

8. 8
En la recta numérica podemos representar el signo resultante del producto. Primero ubicamos
los valores críticos de x, valores para los cuales cada factor se hace cero. Estos puntos sirven
de referencia para definir los intervalos a considerar. Es decir:
𝑥 < 𝑥1 𝑥1 < 𝑥 < 𝑥2 𝑥 > 𝑥21
( 𝑥 − 𝑥1)( 𝑥 − 𝑥2) ( 𝑥 − 𝑥1)( 𝑥 − 𝑥2) ( 𝑥 − 𝑥1)( 𝑥 − 𝑥2)
++++++++++++++++++++ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ++++++++++++++++++++
X1 x2
EJEMPLO:
Resolver la siguiente inecuación: 𝒙 𝟐
− 𝒙 − 𝟔 > 𝟎
Solución:
Si nos fijamos en el ejercicio tenemos lo que es un trinomio de la forma: 𝒙 𝟐
− 𝒙 − 𝟔 > 𝟎
Nos quedaría de la siguiente manera:
(𝑥 − 3)(𝑥 + 2) > 0
Sacamos los puntos críticos:
X=3 x=-2
Los representamos en la semirrecta:
-3 2
-∞ ∞
+ - +
Solución: (−∞,−𝟐) 𝑼(𝟑,∞)
2.3. INECUACIONES RACIONALES
Una inecuación racional, es una inecuación formada por fracciones donde el numerador
y el denominador son polinomios. Para encontrar la solución de este tipo de
inecuaciones, se debe realizar operaciones algebraicas que ubiquen a la variable en un
lado de la desigualdad y en el otro el cero.
Una vez encontrada una fracción comparada con cero, se estudian las raíces de los
polinomios que conforman el numerador y el denominador.
Se representan en una recta real y se estudian los signos que determinan el
comportamiento de la función racional.
Se cumple que al encontrar un intervalo positivo el siguiente será un intervalo negativo,
para comprar selecciona un número evalúa la función.

9. 9
EJEMPLO:
El CONJUNTO SOLUCIÓN de la inecuación
𝒙 𝟑−𝟒𝒙 𝟐−𝟓𝒙
𝒙−𝟐
≤ 0 es el intervalo:
SOLUCIÓN:
En el numerador observamos que hay un factor común, resolvemos y nos queda:
𝒙(𝒙 𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟓𝒙)
𝒙 − 𝟐
≤ 𝟎
Como vemos nos queda entre los paréntesis lo que es un trinomio de la forma
resolvemos y nos queda de la siguiente manera:
𝒙(𝒙 − 𝟓)(𝒙 + 𝟏)
𝒙 − 𝟐
≤ 0
Luego de resolver sacamos los puntos críticos:
𝒙 ≤ 𝟎 𝒙 ≤ 𝟓 𝒙 ≤ −𝟏 𝒙 ≤ 𝟐
Representamos estos puntos en la semirrecta:
-1 0 2 5
-∞ ∞
+ - + - +
SOLUCIÓN: [-1,0] U [2,5]
2.4. INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
El valor absoluto de un número real a se denota por a y está definido por:
| 𝒂| = {
𝒂 𝒔𝒊 𝒂 ≥ 𝟎
−𝒂 𝒔𝒊 𝒂 < 𝟎
}

10. 10
2.4.1. Propiedades:
Si a y b son números reales y n es un número entero, entonces:
1) | 𝒂. 𝒃| = | 𝒂|.|𝒃| 3) | 𝒂 𝒏| = |𝒂| 𝒏
2) |
𝒂
𝒃
| =
|𝒂|
|𝒃|
4) | 𝒂 + 𝒃| ≤ | 𝒂| + |𝒃|
La noción de valor absoluto surge de una manera natural en problemas de distancia. En
una recta coordenada, sean A y B puntos con coordenadas a y b. Debido a que la
distancia es siempre no negativa, la distancia d entre A y B es d = b − a cuando B está
a la derecha de A (figura a), y d = a − cuando B está a la izquierda de A (figura b).
A B B A
b-a a-b
EJEMPLO:
Resolver la siguiente inecuación: 𝑋3 − 3𝑋2 − 10𝑋 + 24 < 0
Solución:
Descomponemos en factores:
𝑥3
− 3𝑥2
− 10𝑥 + 24 = 0
{
𝑥 = −3
𝑥 = 2
𝑥 = 4
}
Con lo cual a la inecuación se le puede escribir como:
( 𝑥 + 3)( 𝑥 − 2)( 𝑥 − 4) < 0
Con los datos obtenidos representamos en la resta numérica:
-3 2 4
-∞ ∞
- + -
Solución: (−∞,−3)U(2,4)
v

11. 11
CONCLUSIÓN
El problema que se evidencia fuertemente en los libros de texto, es que dedican muchas
secciones al tema de las ecuaciones, en comparación con el tema de las desigualdades
(o inecuaciones), y además los textos e incluso los docentes, introducen ideas erróneas
o que generan obstáculos en términos de los procesos de solución de las inecuaciones.
De acuerdo a lo anterior, el problema radica en las analogías que se establecen entre
ecuaciones e inecuaciones, cuando se les hace creer a los estudiantes, que las
propiedades que permiten solucionar las ecuaciones son aplicables o transferibles a las
inecuaciones; esto se manifiesta por medio de expresiones como:
“Los métodos para resolver desigualdades en x son semejantes a los que se utilizan en
la solución de ecuaciones. A menudo usamos las propiedades de desigualdades a fin
de sustituir una desigualdad con una lista de desigualdades equivalente, hasta terminar
con una desigualdad que permite obtener soluciones con facilidad…”
La propuesta de este trabajo de investigación es que al momento de estudiar las
inecuaciones, se aborde también el estudio de las ecuaciones en los reales de manera
simultánea. Por ejemplo, la solución de | 𝑥 + 2| = 5, son los puntos de coordenadas −7
y 3, una vez identificados éstos valores, es mucho más sencillo encontrar la solución de
la expresión | 𝑥 + 2| < 5 (o de la inecuación | 𝑥 + 2| > |𝑥 − 3|)), porque son los números
que están entre −7 y 3 (o los números que pertenecen a (−∞,−7) 𝑈(3,∞).
A través de ejercicios de preparación, aplicación práctica y acciones interpretativas se
ha desarrollado habilidades matemáticas asociadas con el concepto de Inecuaciones,
en los que se trabajó en grupo para aplicar los procedimientos y corroborar los
resultados, obteniendo así el conocimiento necesario para resolver inecuaciones.
Tras la realización de este trabajo has comprobado que las posibilidades de la red son
enormes, ¡hasta para estudiar matemáticas! Espero que este trabajo les haya servido
para aprender algo más sobre Inecuaciones.
ANEXOS:
https://www.youtube.com/watch?v=bAfPpsNxen8&feature=youtu.be

12. 12
BIBLIOGRAFÍA:
http://repositorio.uis.edu.co/jspui/bitstream/123456789/7197/2/140074.pdf. (repositorio.).
repositorio. Obtenido de
http://repositorio.uis.edu.co/jspui/bitstream/123456789/7197/2/140074.pdf
MATEMATICAS, C. B. (s.f.). ocw. Obtenido de http://ocw.unizar.es/ciencias-
experimentales/conocimientos-basicos-de-matematicas-para-primeros-cursos-
universitarios/B4_calculo/Bloque4_tema1/resueltos_b4_t1.pdf
Morales, E. (28 de junio de 2010). laprofematematica. Obtenido de
http://laprofematematica.com/blog/como-resolver-una-inecuacion-racional/
NARVÁEZ, M. C. (2011). bibliotecadigital. Obtenido de
http://bibliotecadigital.univalle.edu.co/bitstream/10893/3898/4/CB-0449571.pdf
SWOKOWSKY, E. &. (2006). Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica.