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Inecuaciones

Integrantes:
Elysee, Sánchez
Boyer, Deybis
Ladera, José
Morales, Jaime

             Santa Ana de Coro, Febrero del 2012
INECUACIONES

  Desigualdad: se llama desigualdad a toda relación entre
  expresiones numéricas o algebraicas unidas por uno de los
  cuatro signos de desigualdad, , , ,
  Por ejemplo:4 6 10 ; x 1 x 2 0 ; 1 4 8 , etc. ...
  Las desigualdades, al igual que las igualdades pueden
  ser ciertas o falsas, así, en los ejemplos:
  la primera es falsa, la segunda depende del valor que le
  demos a x, y la tercera es verdadera.
  Las desigualdades en las que interviene una variable se
  denominan inecuaciones.
INECUACIONES


   Propiedades de las desigualdades:
   Se denominan también transformaciones de equivalencia.
   Suma: si a los dos miembros de una desigualdad se les suma o
   resta una misma expresión o cantidad, la desigualdad no varía:
   a   b   a c   b c
   Transposición: consiste en restar a ambos miembros de la
   desigualdad una misma cantidad, pero de modo que uno de los
   términos de uno de los miembros desaparezca del mismo y
   aparezca en el otro miembro: a b c a b b c b a c b
                                
                                                    
                                                       
                                Origen                  Transposición
INECUACIONES

    Producto: Si se multiplican los dos miembros de una
    desigualdad por una cantidad positiva, la desigualdad no varia,
    pero si la cantidad es negativa, entonces cambia el sentido de
    la desigualdad: a b          a   b     , al multiplicar por una
    cantidad negativa cambia el sentido de la desigualdad.
    a b, c 0 a c b c , si la cantidad es positiva se conserva
    el sentido original de la desigualdad.
    Simplificación: si se dividen los dos miembros de una
    desigualdad por una cantidad no negativa y distinta de cero, la
    desigualdad no varía:                   a c b c
                                 a c b c, y c 0               a   b
                                                    c   c

       a   b   a         b , ya que 2 3    2    3
                                  7 a     7 b
       a   b       7 a     7 b                  a , b       si el divisor es
                                   7        7
    negativo entonces cambia el sentido de la desigualdad.
INECUACIONES

      Inecuaciones: son desigualdades en las que se
      encuentra presente en uno cualquiera de los
      miembros, o en ambos, una o más variables, o
      incógnitas.
      Una inecuación se verifica solo para algunos
      valores de las variables.
      Los valores numéricos para los cuales se verifica la
      desigualdad son las soluciones de la misma.
      Resolver una inecuación consiste en hallar los
      valores numéricos para los cuales la desigualdad es
      verdadera.
      Inecuaciones equivalentes, son aquellas que tienen
      las mismas soluciones.
INECUACIONES

      Para hallar inecuaciones equivalentes debemos
      aplicar los principios de equivalencia:
          Si sumamos o restamos a los miembros de una
          inecuación una misma cantidad o expresión
          algebraica, la inecuación que resulta es
          equivalente a la dada.
          •Si multiplicamos o dividimos los dos miembros
          de una inecua-ción por una misma cantidad
          positiva y no nula, la inecuación que resul-ta es
          equivalente a la dada.
          •Si multiplicamos o dividimos los dos miembros
          de una inecua-ción por una misma cantidad
          negativa, la inecuación que resul-ta es de sentido
          contrario a la dada.
INECUACIONES

      Ejemplos:
      x 2 3x 5 x 2 x 5 3x 5 x 5                     3 2x ,   es    una
      inecuación equivalente a la primera.
       3          4       3               4
         x 1 2x       6     x 1   6 2x
       2          3       2            , operando nos queda,
                                          3
      , que es equivalente a la dada, y por último
         9x 6    12x 8 12x 9x 8 6 , y de ahí pasaríamos
      a otras inecuaciones equivalentes hasta llegar a la

      solución, en este caso       3x    14   x
                                                  14 , que es la
                                                   3
      solución, es decir, todos los valores de la variable
      meno-res que catorce tercios.
INECUACIONES

    Inecuaciones de primer grado: son aquellas en las que lºs
    variables que intervienen están elevadas a un exponente
    igual a la unidad.
    Inecuaciones de primer grado con una incógnita, tienen por
    expresión general ax b ,0 y todas sus equivalentes.
         ax b   0 ; ax b         0 ; ax b     0
    Ejemplos:
                                10                     99
    1)   99 x 109   0   x             x           ,          , es decir, se cumple para
                                99                    109
           todo valor de la variable x menor o igual que noventa y
           nueve ciento nueveavos.
    2) 17 x 15 0            x
                                 15
                                          x
                                              15
                                                 ,          . es decir, se cumple para
                                 17           17
           todo valor de la variable estrictamente mayor que
           quince diecisieteavos.
INECUACIONES
   Luego para resolver una inecuación se sigue un proceso
   similar al de resol-ver ecuaciones.
        Método analítico:
        Para resolver una inecuación de primer grado, lo primero
        que hay que hacer es llegar a obtener la expresión general
        de una inecuación de 1er grado del apartado anterior
        aplicando los principios de equivalencia y los fundamentos
        del cálculo en general:
        Quitar paréntesis si los hubiera. Para ello aplicar la
        propiedad distributiva del producto respecto a la
        suma.
        Quitar denominadores si los hubiera. Para ello reducir
        ambos miembros a co-mún denominador.
        Reducir términos semejantes en ambos miembros.
        Pasar a un miembro los términos que contengan la
        variable y al otro los que no la contengan, y volver a
        reducir términos. (Aplicar los princi-pios de
        equivalencia de inecuaciones)
INECUACIONES
       Despejar la variable. (Volver a aplicar los principios
       de equivalencia de modo que la variable quede
       aislada en el 1er miembro y con coeficiente la unidad,
       1)
       IMPORTANTE: si al aplicar los principios de
       equivalencia debemos dividir o multiplicar por una
       cantidad negativa tener presente que cambia el
       sentido de la desigualdad, así:
   ya que hemos tenido que multiplicar por –1 ambos
   miembros por ser éstos negativos, luego proseguiríamos
   de modo normal.
INECUACIONES


   Ejemplos:
   1) 4x 7 x 2 4x x 2 7 3x 9 x 3                x      ,3 ,
      la solución son todos los valores de la variable menores
      estrictamente que 3.
      3            4   9x 6   12x 8
        x 1   2x                      9x 12x   8 6
   2) 2            3     6      6                 , como nos
      queda la variable negativa debemos multiplicar ambos
      miembros por –1, así , la solución son todos los valores de
      la variable estrictamente menores que catorce tercios.
   Modo de dar las soluciones:
   Por intervalos, como en los ejemplos anteriores.
   Gráficamente, por su representación en la recta real.
Inecuaciones

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Inecuaciones

  • 1. Inecuaciones Integrantes: Elysee, Sánchez Boyer, Deybis Ladera, José Morales, Jaime Santa Ana de Coro, Febrero del 2012
  • 2. INECUACIONES Desigualdad: se llama desigualdad a toda relación entre expresiones numéricas o algebraicas unidas por uno de los cuatro signos de desigualdad, , , , Por ejemplo:4 6 10 ; x 1 x 2 0 ; 1 4 8 , etc. ... Las desigualdades, al igual que las igualdades pueden ser ciertas o falsas, así, en los ejemplos: la primera es falsa, la segunda depende del valor que le demos a x, y la tercera es verdadera. Las desigualdades en las que interviene una variable se denominan inecuaciones.
  • 3. INECUACIONES Propiedades de las desigualdades: Se denominan también transformaciones de equivalencia. Suma: si a los dos miembros de una desigualdad se les suma o resta una misma expresión o cantidad, la desigualdad no varía: a b a c b c Transposición: consiste en restar a ambos miembros de la desigualdad una misma cantidad, pero de modo que uno de los términos de uno de los miembros desaparezca del mismo y aparezca en el otro miembro: a b c a b b c b a c b       Origen Transposición
  • 4. INECUACIONES Producto: Si se multiplican los dos miembros de una desigualdad por una cantidad positiva, la desigualdad no varia, pero si la cantidad es negativa, entonces cambia el sentido de la desigualdad: a b a b , al multiplicar por una cantidad negativa cambia el sentido de la desigualdad. a b, c 0 a c b c , si la cantidad es positiva se conserva el sentido original de la desigualdad. Simplificación: si se dividen los dos miembros de una desigualdad por una cantidad no negativa y distinta de cero, la desigualdad no varía: a c b c a c b c, y c 0 a b c c a b a b , ya que 2 3 2 3 7 a 7 b a b 7 a 7 b a , b si el divisor es 7 7 negativo entonces cambia el sentido de la desigualdad.
  • 5. INECUACIONES Inecuaciones: son desigualdades en las que se encuentra presente en uno cualquiera de los miembros, o en ambos, una o más variables, o incógnitas. Una inecuación se verifica solo para algunos valores de las variables. Los valores numéricos para los cuales se verifica la desigualdad son las soluciones de la misma. Resolver una inecuación consiste en hallar los valores numéricos para los cuales la desigualdad es verdadera. Inecuaciones equivalentes, son aquellas que tienen las mismas soluciones.
  • 6. INECUACIONES Para hallar inecuaciones equivalentes debemos aplicar los principios de equivalencia: Si sumamos o restamos a los miembros de una inecuación una misma cantidad o expresión algebraica, la inecuación que resulta es equivalente a la dada. •Si multiplicamos o dividimos los dos miembros de una inecua-ción por una misma cantidad positiva y no nula, la inecuación que resul-ta es equivalente a la dada. •Si multiplicamos o dividimos los dos miembros de una inecua-ción por una misma cantidad negativa, la inecuación que resul-ta es de sentido contrario a la dada.
  • 7. INECUACIONES Ejemplos: x 2 3x 5 x 2 x 5 3x 5 x 5 3 2x , es una inecuación equivalente a la primera. 3 4 3 4 x 1 2x 6 x 1 6 2x 2 3 2 , operando nos queda, 3 , que es equivalente a la dada, y por último 9x 6 12x 8 12x 9x 8 6 , y de ahí pasaríamos a otras inecuaciones equivalentes hasta llegar a la solución, en este caso 3x 14 x 14 , que es la 3 solución, es decir, todos los valores de la variable meno-res que catorce tercios.
  • 8. INECUACIONES Inecuaciones de primer grado: son aquellas en las que lºs variables que intervienen están elevadas a un exponente igual a la unidad. Inecuaciones de primer grado con una incógnita, tienen por expresión general ax b ,0 y todas sus equivalentes. ax b 0 ; ax b 0 ; ax b 0 Ejemplos: 10 99 1) 99 x 109 0 x x , , es decir, se cumple para 99 109 todo valor de la variable x menor o igual que noventa y nueve ciento nueveavos. 2) 17 x 15 0 x 15 x 15 , . es decir, se cumple para 17 17 todo valor de la variable estrictamente mayor que quince diecisieteavos.
  • 9. INECUACIONES Luego para resolver una inecuación se sigue un proceso similar al de resol-ver ecuaciones. Método analítico: Para resolver una inecuación de primer grado, lo primero que hay que hacer es llegar a obtener la expresión general de una inecuación de 1er grado del apartado anterior aplicando los principios de equivalencia y los fundamentos del cálculo en general: Quitar paréntesis si los hubiera. Para ello aplicar la propiedad distributiva del producto respecto a la suma. Quitar denominadores si los hubiera. Para ello reducir ambos miembros a co-mún denominador. Reducir términos semejantes en ambos miembros. Pasar a un miembro los términos que contengan la variable y al otro los que no la contengan, y volver a reducir términos. (Aplicar los princi-pios de equivalencia de inecuaciones)
  • 10. INECUACIONES Despejar la variable. (Volver a aplicar los principios de equivalencia de modo que la variable quede aislada en el 1er miembro y con coeficiente la unidad, 1) IMPORTANTE: si al aplicar los principios de equivalencia debemos dividir o multiplicar por una cantidad negativa tener presente que cambia el sentido de la desigualdad, así: ya que hemos tenido que multiplicar por –1 ambos miembros por ser éstos negativos, luego proseguiríamos de modo normal.
  • 11. INECUACIONES Ejemplos: 1) 4x 7 x 2 4x x 2 7 3x 9 x 3 x ,3 , la solución son todos los valores de la variable menores estrictamente que 3. 3 4 9x 6 12x 8 x 1 2x 9x 12x 8 6 2) 2 3 6 6 , como nos queda la variable negativa debemos multiplicar ambos miembros por –1, así , la solución son todos los valores de la variable estrictamente menores que catorce tercios. Modo de dar las soluciones: Por intervalos, como en los ejemplos anteriores. Gráficamente, por su representación en la recta real.