El documento proporciona instrucciones para calcular la media aritmética de un conjunto de valores. Explica que la media se obtiene sumando todos los valores y dividiendo el total por el número de observaciones. También describe cómo realizar este cálculo usando calculadoras CASIO, incluyendo los pasos para introducir los datos y obtener los resultados.

1. ?~,:'_",~:>~-.".;:.>' i .... t!,:> ..•."
, r .•
•~
,::i.'.?,;:.:_-.'.f
{..••.
..• ":;',
[)i} '!"1 '<. _. , '~,':',"':'" •...
.".:l
;T~,;~:". '~. . ;:
indicar el estimador y eOil ma)'úseula pMa el par"metro, Otra forma de s;¡hl';bli;;&: ..;,I'~>
I .•' ,¡,
media es utilizanclo la 1"ITa M (mayúscLlI~) colocando corno sl¡[;índr~~,.:'Y entre 'O,,! •
... .«.>f
paréntesis la letr8 que identifica la 'a.r¡ab'~~: "/x); M(,.); M(zJ; tarnbién ::d:.;unns ,:h"J_j~.:r'i"t:.i "-':-:-"..:,.:"
a (rninClscula). En poblaciones, corno paránletro¡ es
enlpleacL.l con 1l1udl<1 freci"¡e"rí"c:.i-a
la letra griega miu.o mu (1')'
La nledia de un conjunto de valores' XJ¡ .. " XiiI es lasun13 de los rni:;rnos, dividida
Xl I X~l/
por el núrnero total de observaciúnes que se consideran. (.J!Js(;rvernos (lIJe esra fórnlula
"nlZltenlática es simplenlente un conjunto de instrucciones. En esle caso, se esl-án
impartiendo instruccio"nes. ' ,.
'. ,
...d MEDIA ARITMÉTICA SIMPLE ,
Algunos la den'or:ninan como Inedia' no ponderada, y se obticnedividil:ndo la surna de
torios los valores que toma la variable, por' el ~llmero de observ,1Ciones,
su.na de todo~ los valores observados
x - --------"--_._- ._-
núnlcro de observaciones
n = húrTlero total de observaciones en el cOllJLinl"O.
x = nledia, para el conjunto de observaciones.
''
<- = indica sunl;:l de 105 elernentos o valores de la"variahle.
x', valores de la vari,J.ble, donde i torna valores de 1 h;"Jsl:a n.
F-I proceso que debe seguirse en la aplic;:ación, ser~):
a) Sume todos los valores observados.
b) Divida el resultado anterior por el númer.o de observ'lCiones.
El emplear la fórmula en vez de la descripción verbal, significa economía y pre:cisión.
La anterior fórmula denominada por algunos corno media simple o Il() ponder~da, se
. enlplea cuando los e1dLos están sin agrupar, es decir, se ITabaja con los datos ()riginales
provenientes del instrumento ele recolección utiliz;:zdo, sin que se l1dY() inici;lc1o el
proceso ele conceht.ra~ión, t~~bulación o elaboración de cuadros o tabl.:--ls.
Este procedimiento es nluy conocido y enlpleado por el estudiante, ya que frecuente-
t11ente calcula el'p"romedio obtenido enun(l asignatura o en'el cu/soque adelanta. Pnr
ejemplo, si se utiliza una escala de () a 'j O.)' las calificaciones obtenicbs por un alumno
son: 6, 8, 6, "O Y 5, ¡cuál es el promedio! .
, -:"
6+8 .•.6+10 .•.5'
~ 7
5 5
El procedimiento'es mucho más r"pido y seguro si.emplea'Tic)slacalculadora manual,
por ejemplo, la CASIO 3GOOp cuyo manejo es simple, ,como k, vamos a ver a
conli nuac:ión:
a) Encendida la calculadora, se oprime: la tecla (MODE) y luego. el :1, Debe aparec"r en
pantalla SO, cuando se va a tl";;lbajar en estadrslic;J con una sob vZtri;1blc. '
b) Si hay información en la memoria, debe borrarse utilizanclo las teclas: @ @
@@
"
'.'

2. cl Nos aseguramos que se haya borrado tecleando [KOIIT) 3. En pantalla debe, dpi!.
recer'O. ., "
d) Entramos la información oprimiendo seguidamente las tecids:
e) "Los resultados se obtienen con: (KOIIT)1, la suma de cada uno de los valores de la
"variab.le el~vadós al cuadrado igual a 261, Con [KOlITjZ, la suma detodos los valores
:::'dela variable, igual a 35. Con [KOui-)3, el número de observaciones,'es decir, n. Ahora
'bien, con la tecld OED 1 se obtiene el valor de la media aritmética, igual a 2,82.
Otra calculadora muy utilizada es la CASIO 4000p 'c'uyo pr'oéeclimiento de operar es
',,' parE'cido al anterior. <::onservando el significado de los órdin,ales, se tendrá:
aY @@ . m' aparece en pantalla SO
b) (SHiFT) (DEL) @D borra la memoria
c) r¥iA) 3 comprobamos si borró ydebe apare,cer en pantalla O
d) 6 lJD 8 lJD 6 lJD 10 lJD
Este es el proceso que seguir~mos en la entrad~'o captura de los datos.
el Procedemos a observar los resultados de las operaciones,que real iza la calculadora'
fA0!A) 1 @D corresponde, a 2: Xf - 261
~~ 2 @D ¿:X; = 35
,,;,:
"~
~~ 3 @D n 5
@~J 1 @D x = 2,82
"EI alumno puede ~omprobar con el ejercIcIo de la 'tabla 7~i;;'correspondiente a la
,infornlación de d~t?s sin agrupar de la variable discreta, si€nC!o x = 2,82: También
,,,,_-.a....,...
t:~/"'''''-~-''~S-
puede practicar con la infor,mación de la tabla 7,9, de datos sin agrupar de una variable
". ' -
V"',
~.:..- " :,~;,--',S[¡~"':'-~""" ,
c(~,. ~' cO"n,
[inua, cuya media debe ser
" x = . 52,4.
;., l"~~{(.".>/".,;~ ~'MEDlA ARlTMÉTICAPOilDERADA "
",:'_'~,:.(.r,:.,.,.r,tif) [':¡'~Se aplica cuando los datos están agrupados en una tabla de frecuencias. El término
, __ ..,-f''';:'-' ponderación se da,a la importancia o peso que tiene cada valor de la variable dentro
~". __;:/;;1 del conjunto, y corresponde a la frecuencia absoluta o relativa, siendo su mayor
..:e._".",';;;>" 'importancia cuanto más alta sea la frecuencia. La fórmula es casi'igual a la 'anterior,
sólo que en este"caso se multiplica cada valor de la variable por su "'espectiva
frecu(~llcia:.
suma de los productos'
x
número de observaciones ir. ,;', .
. '.~
.
. ': 1 f-; ji ~
Para ,,1 desarrollo de la fórmula, se procede de la sigUienté-man'éra,:
. , ',-,',,"- .',:.

3. f/f~f:fj3~f!G¡Có
a) Se multiplica cada valor de la' variable por su respectiva frecuencia.
. .
(,/<Y
fy .:::1
.6'¡H;:;;:'
(L~~t)
b) Se suman los productos anteriores y el resultado se divide por el Ij.~nif"roe.<;j~ --~.'
obs(ervaciones, es decir, por el tamaño de la muestra (n) o de la poblac.ión.~.(!'J):o,.;".~,,:.,
, '"" , • "; '.' /" ••.• '''''<:,.., ~:~.> ,
- ; .. - •. " : -o" o', _. (:"';';'.'. ','
Cuando s'olo' se dispone de.la frécl.Jenciarelativa, 'ánibiénpJede calcularse fa...'y1eclja
, "
Aritmética, aplicando la sig:-,ien.t",fórml,Jla:.. . <.,;;:;.;-' .• _."j
á , ~. ,,-o'" . ¡, ..•~ . ~; .';' ¡ "., i:, •. ~. .,¡ .. :7,! .~'.;":'.-/" : ..,..-.'
-£:,,-
.. . ~". - lo. .1,
x suma de los produc:tos'
Ahora aplicaremos las dos fórmulas anteriores, en variables discretas y continuas; para
ello, se considerará la información ciada por las tablas 7.6 y 7.10.
.• : o",; '. .', "',1,,'. . '.... ~:"' '.:, ,",.,- ,- L..¡' .' ; ,',
~~f~¡~'~~f~
.. 4
5
8
5
'3'2'
25
'O'l'ó'
'.
0,10.
' ....
:0'.6..
"'0,50
f
4 .," x t.""L., I
. '~-""/ . n'
,1.):'"
;,;.:S.x'.l ... .';~.
"
2,82
'.'
6 2 12 0,04 0,24 los dos rc?ult.ados' anterir ¡res son iguales
2: 50 141 1,00 2,82
.,
Tabla 8."' Variahle.discreta. Cálculo de la media aritmética (p?nde.ra.da).
. ,,' ,
.'....i4$.:). ~_.~.:.~.~4.~8".:i~. 7:~.<:.~~'~:: .
...
~:,J1t
-
...~
,.~,;.:.; .';~g~'~);
'1,5:S;~>;-:r"3'i'-8~-5
•41l,1 c. 53 '. ,9' 50;5
:1;'.-, ' ~1l~5J';,1 ~;';'~5'B~~-~: •.5,,5:;5:1,
i ;;¡(t5::?/
'58,' - '63 9 60,5
63,1 - 68 2 65,5
2: 50 .
Tabla 8.2 Variable continua. Cálculo de la media aritmética (ponderada]
Si cornpararno's los anteriores resullados con los obtenidos para datos no agrupados,
observarnos que en la variable discreta son iguales; en cambio en la v;¡riable continua,
por lo g"neral, difieren. Ello se debe a la pérdida de informacio", primero, al "grupar
"'Ios datos en intervalos de clase; luego, al calcular la media utilizando las marcas de
~clase~ "o ir.J '}n .-",1- ;':-:',;' .- i ' . ' .. ';'> .
..i :.:.
Al igual que en datos no agrupados, se podrá utilizarla calculadora para obtener el
promedioen 'dil'ti:is'agrllpados: Veáílloslo, p""tiendo de'la éntrada de Ills datos, pues los
pasos anteriores son iguates: .

4. ~
...•
--;,'
""1
d) En l<l3600p, i<lentrada o captura de datos se realiza de la siguiente manera:.
" ::.,.: .. ,
•"0,
"
.'. l"',:, '. -.)
35,.5 03 @D 50,5 0 9 @D '605
~ '-, 09 @D
40,5 05 @D 55,5 015 @D 65,5 02 @D
45,5 07 @D
, '
'!, ',.
" 35,S [SHIFT) CD 3 QD ,55,5, ,[SHIFr)
,
{JJ 15 iJD
40,5 ISHIFT) CD 5 QD 60,5 [SHIFr)' CD 9 QD
45,5 (SHIFTj CD 7 CE] 65,5 (sHIFTI CD 2 QD
50,5 [SHIFT] CD 9 QD ,< ¡ (
. ,:""."
Cuando oprima paréntesis CO debe aparece're'n pantalla ~~nt~ '( coma. El QD está
10c"lizado en I~tecla [r). "
b) PMa la salida, o se<l la obtención de los resultados, se opera exactamente igual al
procedimiento que empleamos en dalas no <lgrupados,.
, .
A DESVIACIONES
Son diferencias que se obtienen e!"tre los valores de la variable y un punto fijo, que
puede ser un promedio, por lo general, la media, aun valar arbitrario, es decir,
cualquier valor que c<lprichosamente se quiera tomar, ya sea positivo o negativo,
dentro o fuera del recorrido,' denominado media supuesta u origen de trabajo, y que
lo simbolizaremos mediante A u 01.
Se consideran tr~s ~Iases de desviaciones: respecto a la media; a una media supuesta;
ya la medi<l supuesta tornada en unidades de amplitud del intervalo.
" , . . l.
A DESVIACIONES RESPECTO A LA MEDIA ARITMÉTICA
Se obtienen calculando las diferencias entre cada uno de los valores que toma la
variabley la n:'edi~;la c~al se simboliza medi<lnte di' En datos no agrupados se obtiene
de la sigu fente' forma: ' •.. """'.',,,.,'"
, ¡. ,- ' .. ,""'~ .~~:.,:'ic'','
Supong<lmos los,valores,6, 8, 6, 10,5, para los cuales se sabe' qu~.I,a,media es igual
'. "~" ), .'
a x = 7, Y las desviaciones, <lplicando la fórmula de d; = Xi-' x,serán: 6 - 7 = -1
",.' .
._" ....•..f."f
,
; 13 - 7 = 1;, 6 - 7 = .,-1 ; 'fO - 7 = 3; 5 - 7 = -2 .
, :1 !';';' ;~Ú ir....
En datos agrupados, el procedimiento de cálculo escomos,igu<;: . . :
';;0";;. I
di = Xi - X . '(lh f'f~'!:-'~:(~

5. 3
'4
,c,~~¡r~;:f~t:¡~~
8 .',HJ 9,44
¿ (xi - x)fi o
5 5 2,' 8 , 0,90
6 2 3,'5 6,36
~;~-:~: .
50
°
Tabla 8.3 Variable dis~ret~l:'Ocsviacjones
: respe¿to a la media'
< " , •
;~:~:i
:rt::;~ff~~¡;"~,'
',:,48,] J
53,1
,58,1
63,1
C':: ,53 ",
58
63
68
9
15
9
2
O¡r~l~l~
, 3,7 27,4
,50 O
Tabla 8.4 Variable continua - Desvi~~iones respecto a .la medía
:.:.:,--"'.:
Observe detenidamcnte quc, en datos no agrupados, la, suma de las desviaciones
J{~;1'" respecto a la media ariimética, debe ser siempre igual a"cero;' en cambio en datos
agrupados o tablas de frecucncia debe estar multiplicada cada desviación por su
respectiva frecuencia, para que la surnatoria sea igual a cero,
...•• DESVIACIONES RESPECTO JI, LA MEDIA SUPUESTA U ORIGEN DE
l, . TR"',BAJO , ,
;1. El procedimiento es exactamente igual al cálculo anterior, con la diferencia que en vez
'~C-~4:"~' de tornar el valor de la media elegirnos un valor cualquiera; sin embargo, es preferible
l'
h -PI teneren cuenta un valor de la tabla, ojalá un valor central. ValeJa pena aclarar que estas,
" desviacioni,s se calculan de preferencia en datos agrupados, Con las mismas tablas
anteriores, calcularemos SLlS desviéciones respecto al origen de trabajo, tanto par¡1 la
":
,:[ variable discreta como para la continua: ."":'
/
-, ; .:0'::c:~t:6E~V,IÁCI ºN'ES :~/f:;":!
:'x'i'::,'A :*~1~~~!t~~:---;
~.
1171
O -4
, -3
J ,~'c2:<bc::.':::¡.- .~:"~:':1;:+:'-?-{ O
3 ",:.':'~ 1;',..
-s-~.--: 5
A=4 4 ° 55, 5 '0
" 5
6
,
,2
60, 5
65, 5
,5
20
Tabla 8.5 Variable discreta - Desviaciones Tabla B.6 Variable continua - Desviaciones
respecto a un origen de traba/o . '.. respecto a un ari8en de trahajo .
.1

6. La media supuesta se simb611zá pO,,'A o por Ol; considerando el valor 4 para la variabl~:,'"
discrela y 45,5 para la continua, ",' ' '
Una de las tantas utilizaciones que se le da a estas desviaciones, corresponde al cálculo
de la media aritmética, medianle e.denominado primer método abreviado, Veamos
su fórmula y su aplicación con las tablas anteriores. .
+;<r~.~."~,. ~t¥~t~I
~~~~;i ~~~b~f~~
'-,''1, ",~[;;:,i:7~ibr'I.l~~;~1f~1'
h ~~",~::.2, ,,.i'" .•.;..;-2-,.~_c;-~,,-'" --.?-A:+
.... ....
~, . ..;.~.:'
,",1.
.so -59 50 315
Tabla U.7 Variable d~screla - Cá.lculo de la Tabla 8.8 Variab1e continua - Cálculo de la
media aritmética o método abreviado media aritmética, o método abreviado
-.;
~".
.,
La fórmula que 'utilizaremos para calculaf;lamedia aritmética en ambos caso~';:erá:
.,- .. _ -. "'~.~'-""'--"""--'------~'."'; .
+'¿(X;'-'A)ft ~"A + ¿di; '"
x A
n n
Reemplaza"do;s~[¡e;;e: x = ~ +'(- 59 + SO) = 4:" 1,18 =2,82 en la variable discreta
, ,"
' -;,' .. '." ) (~
x.= 45,5 + (315 '(' 50) = 45,5 +6,3 = 51,8 en la variable continua
!','. . ,'" .1" -~.,). ;
: -Al! DESVIAi:lONESRESPECTO A UN ORIGEN DE TRABAJO TOMADAS
EN UNIDADES DE AMPLITUD 'G '
Generalmente se aplica en datos :agrupados cuando la variable es continua y la
ampli lud del intervalo es constante. Se calcula dividiendo cad;¡ una de las desviaciones
respecto a la media supuesta por la respectiva amplitud. Como siempre, se trabaja con
ampl itud constante; su cálculo es más abreviado; basta colocar cero al frente del origen
yapa nir de ese punto, hacia arriba, se tendrá: -1-2 -3 Y así sucesivamente. Se procede
lo mismo hacia ab'ljo, pero tomando números positivos: 1 2 J 4 ...
Se simboliza' mediante d; y su fórmula de cálculo es:
,. ~ . ~., _~ ' .>" < .,' I
d, ~ x., -A
,
.c
d.
-'
c ,
.: J
También se aplica para cale,ular algunas medidas, entreei'las' la média aritmética, .
,,
conocida CO,mosegundo método abreviado, cuya fórmul;¡ es:., e
:.:.
¡
¿ d¡f
x A + c I
n
",.:",",.': 'Su
, aplicación es la siguiente:

7. ',;
"., '
,8
• 50 63
.¡
Tao!a 8.9 Vari~ble continua - Cálculo de la rnedj~,~rítlnétíca
. ;,.' .. ,.-,
-'~;~l;~¿Jkh/¿1g5b aldevíado
'~"lh~~'-'i-;-l"~'~'l1;~~,._{:
, .. :,,' .;;t<t'iJ¡;}~~i'
A PROPH~:DADES DE 'LA MEDIA ARlTMÉTlcA:Jt~~;im
'j;O
,'
.' I ' f ¡::' ~'.¡_::~,k:d~)t,',;:i,~!¡;)i
.:
.
Es de gran importancia conocer y manejar las p,'opiédades'8e"É'ste promedio, a fin de
. simplificar y agilizar procedimientos dé cálculo, o para;~.nl.~n,der illgunos métodos
estadísticos. • . . .... . .
'{~'I ;.-. " 'f0~.:f."~-~.
"';~';:;(¡
1 ~ '::, '!:.; ':"1,.. :.:;L-}i~(l:~';_¡'.
I a) La suma de las desviaciones respecto a la media siempre debe ser igual a cero.
En datos no agrupados será 2: (x; - xT'~ O.":'i"y"eri";datos agrupados será
:.¡
2: (x, - x)f, = O. Ya estas propiedades las habíamos',de'rl-1o:s.trado
cuando se habló
de las desviaciones respecto a la media. . ,.. ' .
t~'~ '. ,. . _...'.'
. '".'
b) La media aritmética de tina constante. es igual a' ra'~cú-j'stante. Propiedad fácil de
: ""-:i:}v1:dr:,~~;.n~{~<::'."
1 entender y de explicar mediante un ejemplocomq ~.. I.~¡g,:-!i<e'nte: un curso todos
si en
'J
~; los estudiantes obtienen la misma nota, esa será el promedio .
. . , '__ .. .-~; ,l.:..
."'-: '__
. ,
2:k :,. h = nk n = k
1- , j."
M[k]= +
, ~,''
e) La media aritmética de una constante por una v'ariábléserá'igual al producto de.
1
~. la constante por la media aritmética de la variable.
1
1
. Mlkxl + n!=
•
',; _ "i1.:';:
• " ',C -.:
':>~:';~-i
.,' .'. ~••
, '-; , ';: ..~.rJ!,:~.~;t,;ei:~?:~,1:
- i
J
ef) La media de una variable más una' constante ,es igual..,,:-'~,uin:aefe la media más la
constante. M[x +' k) = M[xl + M[kJ' = x + k. Esta propied.ad es válida para la
diferencia': J1lx _' k] = 'x - k . _.: ;;_._.;
.... ¡
, . "?, ,'l.'" 1
e) La media de la suma <le dos o más muestras es igu,aU£J?.i!Y'ediade estas medias
]
,
ponderadas, es decir, las medias deben estar multiplic~d~s [lor su respectivo
número de .elementos, y la suma de estos productos ..dividida por el tolal de
elementos, , .',' ,
x n, +
1 x2n2 + x3n3
x
n
,. !,. , .. '
- :! -~ -" '
Veamos la aplicácion de algunas de estas propiedades en)atabla correspondiente a la
variable continua. "".
1
,

8. j~~
,/l,l~!
fn~".'
..Ir~"
.~lt=H
Ifig ltRi~f*J"
I¡f~_~~i~
¡~~~'W ~.;: Í'1 1 1.665
I~
,trJ¡;,~
60;5
65,.5
;-,9, .
2 76 2 152.•.
(,,121
;. 131
1.089
262 J!~
;¡j¡"
50 3.115 50 5.180 :~,ti~
50
(1) Tabla 8. 10 (2) Tabla 8.1.7 (3) Tabla B. 12
~':I
~,¡:t;i.~
.,',.-.'
Dal~; iñi~iales' Propiedad de la Suma 'Propiedad deL Producto. lif
~jl'
tlijil
~¿~r.::,
',.,
(1 ) Infonnación:'correspondiente,
prc','.,l~.~V,o.esiguala:
a la tabla ini~i3"1,,d.'f:,la c,ual,'.~abemos que el J~l"
'.' II
,,"';51,8. .~,
(2) Se le ha sumado 10, 5 a cada uno de los valores de la variable (tabla 8.10) ;111
y con ella se cal,cula la nueva media aritmética.
_" 3'1'''1''5'':''''5:''0''''''''6'''2':'3''
x = '.,.+ =.'
..'.,''''',''.''':"
, , .' .. ,~, .. :L.: 3;
" ': ..
,.
~Ir
~N¡,'
:1i!.Í"'~
r.,.~..
.¡
.
; '-jo ,.•;'
I.
.
,< t
1-' ,_.
M[x+',;(="51;8'¡:'10;5 = 62;3' ¡" '( , 1 '",'
. . ~. ó"; :. 1,_" ~J~~',' ,, .' ',. .'
(3 ) Se ha multiplicado por dos cada' uno de los valores de la variable (tabla 8.10) Yse :.''.~:Pj
.... ...
.
, - .' , ,~., ha ~.,'
calculado " nuevamente .-la me'dia aritmética.
. ,. ~'-',' "
. ... "'y
",;.!"!~;
,
" ( -; " ~.
, ,,;':5:180 +50=' '103,6" K•. ¡:
(4)
MI~~)I=51,3 x 2 = 103,6
Dividamos la distribución (ver tabla 8.1 O)en dos su.bmuestras, la primera de ellas
• "I~l .i~
con 15 elementos y la segunda con 35. Luego, calcularnos la mee/ia para cada una '~~
de las .submuestras, , ~ ..
!i¡:~~.
~.~,.;.Il
': l. ~t,
é...- ~lY~t~~~
~{{~~lJ~
,~~~~l~f.¡~~ ¡tij¡, .•11
~r*iJ.Tt~l1 ~~t:~tj1jl~~
<~~&~(:!í~ . i~~~!:~~1
. ~iriJ ..
I~~ .~l(
~'¡~f!:! ~W~~~!~q;~
.;~;
~1
.... :,,-
,
•.;",6,? (5);'... .:lh.131
. f-I':'~.~~:(.~~r~f ,0 .
" 15 627,5
,.' H-"
2: ... •...r: ,. , 5, ?
.J 1 962,5 )~!~
¡
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- ~
'62 7,511 = 4 1
5
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x2 ~ 1.962,5
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35 56,07 1
~~,~_
+
t~l
X,
.,
.~*.
""~ñ'
1$¡¡i
(4) Tabla 8.13 Primera submuestra (5) Tabla 8.14' 'Segunda 's~bmuesrra
. . : . '.
l:i~".r
.~.f .
~'
"",..'''!''Lamediá'paia'el total será x
41,83(15) + 56,071(35)
50
2.590;
..5.0",
51,,8
J
J,f .
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.... 'i_.
?~~~J I - ~~~~~~'ó'¿~~~l;¡~~~~_'lt:~:f4f~~Jid'}1íl<
1:~,,,
"'1:~ .. ~
.
':;::':.' Esaquel valor de la variable que divide la frecuencia total en dos parles iguales, esdecir,
[~.:,(:
. aquel valor de la variablequ'e supera y a la vez es superado por m~,; de la mitad de las
, observacione's en un conjunto ordenado. La mediana es el valor cenlral. ' , . ¡."
tt.:: i.~("
J. "sr' Se le considera como unamedicia de tendencia cen'tral, ya,que se localiza en el centro,
:{" superando la mitad y siendo superada por la ,otra mitad de las observaciones. Este
~'i";-t!, promedio es menos importante que la media aritmética y su cálculo es un poco m~s
,.1,,'" complicado, ya que en cada situación'en particular debe aplicarse una determinada
P~~.L'."!" fórmula, tan rígida que no admite tratamiento algebraico alguno, pero presenta la
,', ventaja de no ser afectada por cambios que se I,ehagan a la variable, manteniendo su
i;~i~ ordenamiento, a:uncuá~~o e~istan valores demasiad~ ~;al"des.
;'1+~fn',., Para la detefmin'ción de Ii¡mediana no se requiere conocer el valor de todos los datos;
, ~":,-'",.,¡".,,','.;',,;,,.•¡'.,.'.,.(",,".;t .. :,:".,',',:,'
.•
. "....
,::' " ~~I ~17~t
::~~s~~~~~:,sc~~~ ~t;: ~l~~ae~v~~i:o~~t~~~: U?
lé~t~ ~~~sb o;:~sp:~:~:n~~~'i ;t:~
~:r~ c:
datosincornpletó's, por ejemplo, en aquellas distribuciones cuya variahle tiene valores
i',., '" ,
extrenlOS no 'definidos con intervalos
, ',"
titula"dos'"lInlenos 'de" 'o "IIm;)s de".
~l:",,,,;'" Vearnos su apllc:~ció~ en cada caso en particular:', ':,' ,,' ,,',
j',,:. ...d DATOS NO AGRUPADOS
",C:.:- Para el cálculo de la mediana, cuando losdatos'no están agrupados en una labia de
:;Z-:"';,"-
frecuencias, debe tenerse en cuenta si el número de observaciones es impar o par. En
m:;~~,ji
' cada CZlSO se siguen los siguiérites pasos:' ' , "
?~~X>~~' a) Se ordenan Iqs datos de menor a mayor o de mayor a menor.
¡,t.;, '.~~ _
__
.
. ,', .," ~
;:(" .-i ,.b) Se deterrnina el ,;alor central, ya sea mediante la observación directa de los datos
:1- -1'
O a través de la apl icación de la fórmula: (n + l)/2. Elresultado n(h señala el nC,rnero
~. ,
¡
de la observación en que se localiza la Mediana; por ejernplo:
1
j
Número impar de obse~vaciones
Si sólo se dispone ele un nCmlero impar de datos, la medi,ana estar:'; localizada en el
centro, Consideremos nuevamente los datos 6,8,6,10 Y5. Se ha dicho que prirnero
lús ordena/nos 'de menor a may(;>r o de mayor a"menor, deja siguiente rnanera: 566
8 '/O. Observemos que uno de los seis ocupa el centro; por lo tanto, a ese valor le
corresponde la ¡'nediana, Me'~ 6. Ahora disponemos dedos resultados: x = 7 YMe = 6. ¡Qué
sucede si el últirno valor en vez de lOes lOO? La mediana sigue siendo 6 y la media se
~-".
altera, pasa a ser 25 para el rnismo conjunto de datos, debido a lo ,;ensible que es la
1 rnedia, a cualquier cambio que se haga en I",variable. ,
J, En el misrno, ejercicio podemos calcular la mediana aplicando la fórmula
,
r' (n + 1) " 2 = (5 + 1) .;. 2 = 3, lo cual indica que ,la mediana,está' localizada en el tercer
,
, dato de la variable orden",da. '
}
"~o,
:~
"
Ní.mero par ~e observaciones
;~
'l' Si disponemos de un 'conjunto par de dMOS, se toma convencionalmente la mediana,
r
~.~ a la media de las dos observaciones centrales. Si estos dos valores son iguales, se tomará
,.c .. ,~
;,c, , uno de ellos. Cón los datos: 6; 8; 6; 10; 5; 10, los ordenamos de mayor a menor: 10
"
1
r 10 8 6 6 5. La mediana será el promedio entre la tercera y la cuarta observziCión
¡~
r '?' obten,ida de la siguiente manera: (6 + 1) .;. 2 ;", 3,5, es' decir, que, promedia-
")
"
mos (8; 6) = 7. Este será el valor de I,amediana: Me=7,
e
.:..
1'.~

10. •
.1,,-
.'
';;l~'?.;t1[)ATO~,.A~.~UPADOS' ":;L.:•..'.', ...... ,
'Cuando trabajamos con tablas de frecuencias, debe 'establecerse si la variable es
disueta o continua; luego, miraremos si al dividir por dos el total de observaciones,
el valor se encuentra en la columna de las frecuencias absolutas acumuladas, Se nos
, pres,~ntan dos, situaciones al calcularla mediana, En cad'l e:asodebe aplicarse una
fórmula difel'eilte, con base en [as siguientes recorriendac'i,ones:
.' '. . . , ." '.,', ... ' '--'"'
a) Se obtienen..las frecuencias absolutas acumu[adas,sum'aiído las sucesivas frecuen-
cias, ya sea"'de arriba hacia abajo, o en sentido contrario, sin que este procedimien-
.J ¡
".. to afecte el resultado,
b) Dividi;':;os pbr dos el total de observaciones: n '.¡. 2,
' .. ,; - ',' . " ; ' ..
c) El resultado anterior lo buscamos en I,a columna de las frecuencias absolutas
"cumuladas, ""[respecto'recordemos que se pre'sentan dos situaciones: [a primera,
.! .
cuando el valor puede o,?servarse; dichovalor lo simb()lizarenl<?s por Ni-, yal
", 1: "1
inmediatam"nte superior en valor por Ni' por lo cual se dice queN¡_, = ;'/2, La
segunda situación seda cuando el valor no se observa en dicha columna; eneste
caso Ni', corresponded al valor inmediatamente inf~rior '''' n/2 y N¡ al in-
mediatamente superior en valor y se dirá que N¡ -1 <n/2, Además, la fórmula que
debe aplicarse es diferente al tipo de variable, discreta o continua,
"A VARIABLE DISCRETA "r-
,~"
'P,:ocedem';~ia '~~i~'~lar la' mediana, de' ac,Lierd~' con las '~'os situaciones descritas
''o .
anterionllente:.
I~Ji , L J'.' "
Xj_l-?
Xj-> ~~~~; "," .. 5'" .
6
'5"
2
- '(8
"50
50 2:
(1) Tabia 8.15 Variable discreta - (2) Tabla 8. t 6 Variable dis.creta -
Cálculo de la mediana Cálculo de la l7.1ediana
, '
"~o •. '. - (1) Aparece en la c.olumna de las frecuencias el valor obtenido al cal,c,ular n/2 = 25;
-'." .,1,
por lo tanto, se dirá qU'e Ni-, = n/2, En este caso la fórmula q'ue'debe emplearse
es: ., l' " .. - ~.:~ ~
X _1
j
+ xJ' 2 +3'
Me = ---- Me ~ ~ 2,5
", " 2 2
"¡~'¡:¡t2) COIl1~~~'¡~colu,mnade las frecuencia~ absblutas acum~lag~s '~o"aparece el valor
;,.¡",; 25, ,éo.ns.ideremos COn'O Ni-, ,a 20, ~s decir, e,l valor innii:,diatamente inferior, y
com,? ~j, a[, inmediatamente superipr ", 25, o, sea, '35" ,Sei.dirá en, este caso
Ni-, < n12, y la'fórmula a emplear será: ' '.-.'
;--'
M" = Xi
e Me = 3 ¡
.,'

11. •
f~';f0~:~ .... . '-¡
" . ,1
~ VARIABLE COiiTINUA : -";
'xjr,?
-<-
,'1n~r,~
48,1
53,1'
,11" 53
"58
9 24 '<-Ni"
r{:9,~39 <-,Ni
58,1 - 63 9 - 48
63,1 68 2 50
50 SI)
-~
..
(1) Tabla 0.77 Variable continua - (2) Tabla 8.1 (J V~rjabfe continua -
;" Cálculo de la m?diana Cálculo efe la mediana
(1 ) Localizamos el valór de n/2 = 25 en la columna de las frecuencias absolutas
a5=umuladas, siendo Nj., = nl2. La fórmula que debe aplicarse será:
Me = xi .•• = 53 .
Observe que el valor de X¡_l lo hemos localizado al frente de Ni ya que 53 es el
cen~:ro de la distribución, en cuanto al númerb de observaciones.
(2)' En (.ste chso, el,v~(~;'15pó se en~J~;~traen lacol~mna,rí'or lo tlnto;sedirá que ':'.
N¡., < nl2. Para' su C~lculo se "plicará la siguientefórmula: '
....
n , '~ ••
, _. _ N, r
',","'"'' Me x'.,¿¡+G_2_._'_j,~_' Me 53 + 53.""1¡4' ~53,U
1, J,'~. -~5 ' ---
.tr:.'; ., . -F/ ~o .
, NOTA: N¡ es el símbolo que utilizaremos para indicar la columna de las frecuencias
1',.,L
. ~ •••
~ ~."_i1I_
absolutas acumuladas por ser más fácil de manejar .
, ),', "Es una medida de posición q~,e sacrifica ~na mayor cantidad de información que la
, mediana. 5u resultado es rnás general yen algunos casos poco L,til. Fs definida corno
]:;.; aquel valor de la var.iable que rné~s re-pite, es decir que tiene IJ. 1l1<:lxinla frecuencia
se
J de la distribución. Se simboliza por Md, siendo igual a Xj' e""
"
A DATOS SIN AGRUPAR
Apliquemos la moda en los datos siguientes: 6; 8; 6; 10; 5, ,Ob~er;";ltnos que el 6 es
el valor de la variable que rnás se repite, por lo tanto: X¡'=-. Md=',6. '
Consideremos otro conjunto de 6 observaciones, cuyos valores.,son: G; 8; 6; 10; 5; 10.
Se presentan dos valores de la variable con igual número de repeticiones, 6)' 10. En
, este caso h"y dos modas, lugo se dice que la distribución es.l~imodal.
.f
Cuando ningún valor se repite más de una vez, puede a(irnlar,se que no hay moda. 5i
un solo valor de la variable se repite más veces que los, dernás, será u"imodal; si hay
i
,1
más de dos modas, seráplurimodaJ. " ,,,,,;,~.íj> ,.,
L
,
r
'

12. ii~~;[~
¡"..t{r..f!
'~.;',.,"o¡Jl
"~~"'.
A D,ATOS AGHI,JPADOS
Así corno se calculó la nloq~/ en datos nO'agrupados; en una forma sinlple e inlnedi(~.ta,',
-..i~r 'Jiiw:r,
~~
casi por simple observación y sin,fórmula alguna, podernos proceder igual en datos lt.J¡tf.~
agrupados, tanto para la variable discreta como para la continua. En esta CdUmadebe "i~lW.~
ser calculada uti I izando las mal'cas de clase y sólo cuando, la amplitud del intervalo ~ea A~J;
constante; cuando n0.10 sea, es preferible aplicar otra medida diferente. :.~~b
;'"íl.~
En las tablas que se presentan a continuación, se han calculado las modas en cada una ""1 '.
de las distribuciones, siendo Md = 3en la variable discreta'y Md =55,5 en la variable "
continua, utilizando para ello las marcas de clase.
i
~i';I.1
;,'~,'r~(
,;¡,~~"i
;~!~
~{Ifl)¡
'.~~,
..5
.6
,5
.2 ,
50
,'., ,.),.-,,'
.
55~5~ ' l' 5' .
.,60,S:
,65,,5.
,.'c¡.
2
50
~~".;:',;~-'::~.:.i;
.. '!>..;~'.}'~ .:~~¡SW
'~~~
,,;~l'il
l~~
~t:'
"
Tahfa 8. 19 Var¡ab/~ discreta -.C:.ílculo del.modo
-'
~H
. TéJ./Jla .20 Var(able continua - Cálculo del modo
8
mii~ :;';111$1,
~
¿ ~-i:,'~,',,'., ",...••••• ~!í
:,' :~~
~-------"'H""'a-g-a-mosalgunas comparaciones en cuanto a la aplicación de estas medidas, que
hemos considerad~ como las más importantes y de mayor utilidad. ' :;,I~
",l;?",
a) La media ai'itmética es la más conocida y,aplicada: Es frecuente que numerosas ~¿;l~,
p,ersonas, d,e.,scon.o, su ,'a.eXistencia,de o.tras fnedidas}
zca,n cálculo, sino en su verdaderaaplicación,. ca,nacen tienen
dificulta,cl.no sólo,efl si las' 0,
.l)i'
-,.~:"',":','~,.,:",_r","""'~~".~.',',:',,l~",",.,":':,',
~:~;..,..-
ola
r:/",':;:",'":,;,:~,~,,:f.~,,:,,,':,',:,_,:,::'.';,~.'~,'"~""~,,~'",:.',.',,.,,~:',,'.',~,.,',,,:.,',<,.,',:':",'~.'.,"',~".,','":,",<""""',.,,,",.':,,""":,,",.',,,"""
.," : .,'. ""; '~:.
b) ~:~nu :~; :~.I
~ ~~C~~t:
s~:~~l'Is~ar:~!:~~~1 Uu~~"~ed~,
; ::e;i: , la med lana y la moda
c) Lo~tres p.r¿:'rhédi,~s,d,e~eí1~;~n'déJaf8ril:iaquetome la distribuciÓn; Si es simétrica".~
llb
"', '" O lIgeramente aSlmetnca, debe util,zarse la medIa; en cambIO cuando esto no ,,<,;j!;
., ocurre, la mediana es la más indicada. k,~~',
¡~!
d) Si una distribución tiene más de un máximo en la frecuencia, la sola aplicación de"'" '
la media, o la mediana, puede ocultar propiedades intel'esantes. '~,;,~[,'.
, .. e) La media no se puede calcular en distribuciones con intel'valos abiertos, por tanto, ~~'
la mediana y la moda son las más indicadas. ,? ',', ~r;
f) Dos medianas o dos modas no se pueden l' me i l' obtener el valor romedio'~,~,L
ele dos nluestras combinadas, per sí se puede realizar con la .media aritmética,
~:~V/1
'I~:
g) En urja distribución ele frecuen;:ias, cuando, la ampiitud del intervalo no es' '¡'~i
;:;::;b:~::::,::.¡I
h)~::::,:e::~:::::::::~::I:::::;::::::.m:::;:~;:::
entrE'el resultado en una muestra comparada con el.de otras obtenidas de la misma'~~~"
población, por tanto propor~iona una mejor estimaciÓn del parámeúo. . J,t!
¡i!¡' ,
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~'~ ..,~.
~L