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ECUACIONES
Una ecuación es todo igualdad entre dos expresiones
matemáticas, la cual debe encontrarse una o más
cantidades desconocidas, que solo es realizable para
determinados valores.
Esta cantidad desconocida se denomina incógnitas, que
por lo general se designan con letras minúsculas de la
parte final del alfabeto: w, x, y y z ; las letras minúscula
iníciales del alfabeto: a, b, c. Dichas ecuaciones al
resolver representan una solución cuyos nombre
llamaremos raíces de la ecuación a los valores de la
incógnita que cumplen la igualdad.
CLASIFICACIÓN DE LAS
ECUACIONESLas ecuaciones se clasifican atendiendo al número de letras o incógnitas y al
término de mayor grado.
Ejemplos
x + 10 = 20 – 12 es una ecuación de primer grado con una incógnita.
2x + 2y = 100 es una ecuación de primer grado con dos incógnitas.
x2 = 16 es una ecuación de segundo grado con una incógnita.
xy = 12 es una ecuación de segundo grado con dos incógnitas.
x3 – x2 + 5x = 10 es una ecuación de tercer grado con una incógnita.
SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN
Las soluciones de una ecuación son los valores de las incógnitas que al
sustituirlos en la ecuación hacen que se verifique la igualdad.
Ejemplo 1:
¿Cuáles son los valores de x que al
reemplazarlos en la ecuación 5 + x = 8
hacen que se cumpla la igualdad?
Existe un solo valor: es x = 3, porque
5 + 3 = 8.
Ejemplo 2:
¿Con una cuerda de 100 cm podemos
formar muchos rectángulos. La condición
que deben cumplir sus lados viene
expresada por la ecuación 2x + 2y = 100.
Algunos pares de valores son: x = 30, y =
20; x = 40, y = 10; x = 25, y = 25.
Comprobamos la primera pareja: 2 · 30
+ 2 · 20 = 60 + 40 = 100.
RESOLVER UNA
ECUACIÓN ES
ENCONTRAR
SOLUCIONES
ECUACIONES EQUIVALENTES
La solución de las siguientes ecuaciones es x = 6:
Dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones.
Observa cómo pueden hacerse ecuaciones equivalentes a otra dada:
a) 4x – 12 = x + 6
Sustituyendo:
b) 3x = 18
4 · 6 – 12 = 6 + 6 = 12
3 · 6 = 18
Ecuación dada: 3x + 4 – x = 7 + x
3x + 4 – x – 4 = 7 + x – 4 2x = 3 + xRestamos 4 a cada miembro.
2x – x = 3 + x – x x = 3Restamos x a cada miembro
Comprueba que x = 3 es la solución de las tres ecuaciones.
c) x = 6 Es evidente.
Las tres ecuaciones
son equivalentes.
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER
GRADO
1. Quitar paréntesis.
3. Suprimir de ambos miembros los términos iguales.
4. Pasar a un miembro los términos que contenga la incógnita, y al otro
miembro los números
5. Reducir términos semejantes y operar.
2. Quitar denominadores. Se puede hacer de dos maneras:
6. Despejar la incógnita.
En la resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita
conviene seguir un orden para evitar errores de cálculo:
• multiplicando la ecuación por el producto de los denominadores.
• multiplicando la ecuación por el m.c.m. de los denominadores.
Ejercicio resuelto 1
Resolver la ecuación: 4(x – 10) = –6(2 – x) – 5x
· Quitar paréntesis:
· Pasar la incógnita al 1er
miembro y los números al 2º:
· Reducir términos semejantes:
4x – 40 = –12 + 6x – 5x
4x – 6x + 5x = –12 + 40
3x = 28
· Despejar la incógnita: x = 7
Ejercicio resuelto 2
Resolver la ecuación:
· Quitar denominadores:
m.c.m.(4, 36, 9) = 36.
Multiplicamos por 36
· Operar:
· Transponer términos:
4x = 24
· Despejar la incógnita: x = 6
9
5
36
5
4
1 



 xxx
9
)5(36
36
)5(36
4
)1(36 



 xxx
9(x – 1) – (x – 5) = 4(x + 5)
· Quitar paréntesis: 9x – 9 – x + 5 = 4x + 20
9x – x – 4x = 20 + 9 – 5
· Reducir términos semejantes:
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MEDIANTE ECUACIONES
DE PRIMER GRADO
1.er paso: Expresar el enunciado en lenguaje algebraico.
3.er paso: Resolver la ecuación.
4.º paso: Interpretar el resultado.
5.º paso: Comprobar el resultado obtenido.
2.º paso: Escribir la ecuación.
Para resolver un problema mediante ecuaciones conviene seguir estos
pasos:
1.º Años que tienen que transcurrir ……………….… x
3.º Resolvemos la ecuación:
4.º Tienen que transcurrir 5 años.
5.º Comprobación:
2.º Dentro de x años se tiene que cumplir ………….. 3(11 + x ) = 43 + x
Marta tiene 17 años y su madre 43. ¿Dentro de cuántos años la edad de
la madre será el triple que la edad de su hija Marta.
Edad de Marta dentro de x años ……………..….. 11 + x
Edad de la madre dentro de x años ……………… 43 + x
3(11 + x ) = 43 + x 33 + 3x = 43 + x 2x = 10 x = 5
Dentro de 5 años, Marta tendrá 16 años, y su madre, 48 años.
3 · (11 + 5) = 3 · 16 = 48 y 43 + 5 = 48
Ejercicio resuelto 1
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO. Tipo ax2 + c
= 0Ejemplos:
x2 – 16 = 0
3x2 = 243 también es del mismo tipo.
3x2 = 243 es equivalente a 3x2 – 243 = 0
Por tanto es una ecuación del tipo ax2 + c = 0, con a  0.
x2 = 16 416 x
3x2 = 243 981 xx2 = 81
Transponemos 16 Extraemos la raíz
Simplificamos por
3
3x2 + (–243) = 0
El término ax2 se llama cuadrático, y el c, término independiente.
Las ecuaciones del tipo ax2 + c = 0 se resuelven despejando la incógnita,
y si tienen solución, esta constituida por dos números opuestos.
Si c = 0, la ecuación es ax2 = 0, cuya única solución es x = 0.
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO. Tipo ax2 + bx = 0
Ejemplos:
x2 – 4x = 0
La ecuación 7x2 – 42x = 0 también es del mismo tipo.
Las ecuaciones anteriores son del tipo ax2 + bx = 0, con a  0.
x(x – 4) = 0
7x2 – 42x = 0 x(7x – 42) = 0
Factor común x
Factor común x
El término bx se llama término lineal.
Las ecuaciones del tipo ax2 + bx = 0 tienen siempre dos soluciones, siendo una de ellas x = 0.
Se resuelven sacando factor común, e igualando a cero cada uno de los dos factores.
x = 0
x = 4
x = 0 y x = 4 son soluciones de x2 – 4x = 0
02 – 4 · 0 = 0
42 – 4 · 4 = 0
x = 0
7x – 42 = 0
7x – 42 = 0 7x = 42 x = 6
x = 0 y x = 6 son soluciones de 7x2 – 42x = 0. Compruébalo.
ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO
COMPLETA
Término cuadrático
Término lineal
Término independiente
Por ejemplo, las soluciones de la ecuación 2x2 + 3x –35 = 0 son:
5,3
4
173
4
2893
4
28093
2·2
)35(·2·433 2
1 







x 5
4
173
4
2893
2·2
)35(·2·433 2
2 





x
Comprobación:
2 · 3,52 + 3 · 3,5 – 35 = 24,5 + 10,5 – 35 = 0
2 · (–5)2 + 3 · (–5) – 35 = 50 – 15 – 35 = 0
Es del tipo ax2 + bx + = 0c
Las soluciones de esta ecuación se obtienen aplicando las fórmulas:
a2
ac4bb 2
1

x
a2
ac4bb 2
2

x

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Ecuaciones

  • 1. ECUACIONES Una ecuación es todo igualdad entre dos expresiones matemáticas, la cual debe encontrarse una o más cantidades desconocidas, que solo es realizable para determinados valores. Esta cantidad desconocida se denomina incógnitas, que por lo general se designan con letras minúsculas de la parte final del alfabeto: w, x, y y z ; las letras minúscula iníciales del alfabeto: a, b, c. Dichas ecuaciones al resolver representan una solución cuyos nombre llamaremos raíces de la ecuación a los valores de la incógnita que cumplen la igualdad.
  • 2. CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONESLas ecuaciones se clasifican atendiendo al número de letras o incógnitas y al término de mayor grado. Ejemplos x + 10 = 20 – 12 es una ecuación de primer grado con una incógnita. 2x + 2y = 100 es una ecuación de primer grado con dos incógnitas. x2 = 16 es una ecuación de segundo grado con una incógnita. xy = 12 es una ecuación de segundo grado con dos incógnitas. x3 – x2 + 5x = 10 es una ecuación de tercer grado con una incógnita.
  • 3. SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN Las soluciones de una ecuación son los valores de las incógnitas que al sustituirlos en la ecuación hacen que se verifique la igualdad. Ejemplo 1: ¿Cuáles son los valores de x que al reemplazarlos en la ecuación 5 + x = 8 hacen que se cumpla la igualdad? Existe un solo valor: es x = 3, porque 5 + 3 = 8. Ejemplo 2: ¿Con una cuerda de 100 cm podemos formar muchos rectángulos. La condición que deben cumplir sus lados viene expresada por la ecuación 2x + 2y = 100. Algunos pares de valores son: x = 30, y = 20; x = 40, y = 10; x = 25, y = 25. Comprobamos la primera pareja: 2 · 30 + 2 · 20 = 60 + 40 = 100. RESOLVER UNA ECUACIÓN ES ENCONTRAR SOLUCIONES
  • 4. ECUACIONES EQUIVALENTES La solución de las siguientes ecuaciones es x = 6: Dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones. Observa cómo pueden hacerse ecuaciones equivalentes a otra dada: a) 4x – 12 = x + 6 Sustituyendo: b) 3x = 18 4 · 6 – 12 = 6 + 6 = 12 3 · 6 = 18 Ecuación dada: 3x + 4 – x = 7 + x 3x + 4 – x – 4 = 7 + x – 4 2x = 3 + xRestamos 4 a cada miembro. 2x – x = 3 + x – x x = 3Restamos x a cada miembro Comprueba que x = 3 es la solución de las tres ecuaciones. c) x = 6 Es evidente. Las tres ecuaciones son equivalentes.
  • 5. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO 1. Quitar paréntesis. 3. Suprimir de ambos miembros los términos iguales. 4. Pasar a un miembro los términos que contenga la incógnita, y al otro miembro los números 5. Reducir términos semejantes y operar. 2. Quitar denominadores. Se puede hacer de dos maneras: 6. Despejar la incógnita. En la resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita conviene seguir un orden para evitar errores de cálculo: • multiplicando la ecuación por el producto de los denominadores. • multiplicando la ecuación por el m.c.m. de los denominadores.
  • 6. Ejercicio resuelto 1 Resolver la ecuación: 4(x – 10) = –6(2 – x) – 5x · Quitar paréntesis: · Pasar la incógnita al 1er miembro y los números al 2º: · Reducir términos semejantes: 4x – 40 = –12 + 6x – 5x 4x – 6x + 5x = –12 + 40 3x = 28 · Despejar la incógnita: x = 7
  • 7. Ejercicio resuelto 2 Resolver la ecuación: · Quitar denominadores: m.c.m.(4, 36, 9) = 36. Multiplicamos por 36 · Operar: · Transponer términos: 4x = 24 · Despejar la incógnita: x = 6 9 5 36 5 4 1      xxx 9 )5(36 36 )5(36 4 )1(36      xxx 9(x – 1) – (x – 5) = 4(x + 5) · Quitar paréntesis: 9x – 9 – x + 5 = 4x + 20 9x – x – 4x = 20 + 9 – 5 · Reducir términos semejantes:
  • 8. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MEDIANTE ECUACIONES DE PRIMER GRADO 1.er paso: Expresar el enunciado en lenguaje algebraico. 3.er paso: Resolver la ecuación. 4.º paso: Interpretar el resultado. 5.º paso: Comprobar el resultado obtenido. 2.º paso: Escribir la ecuación. Para resolver un problema mediante ecuaciones conviene seguir estos pasos:
  • 9. 1.º Años que tienen que transcurrir ……………….… x 3.º Resolvemos la ecuación: 4.º Tienen que transcurrir 5 años. 5.º Comprobación: 2.º Dentro de x años se tiene que cumplir ………….. 3(11 + x ) = 43 + x Marta tiene 17 años y su madre 43. ¿Dentro de cuántos años la edad de la madre será el triple que la edad de su hija Marta. Edad de Marta dentro de x años ……………..….. 11 + x Edad de la madre dentro de x años ……………… 43 + x 3(11 + x ) = 43 + x 33 + 3x = 43 + x 2x = 10 x = 5 Dentro de 5 años, Marta tendrá 16 años, y su madre, 48 años. 3 · (11 + 5) = 3 · 16 = 48 y 43 + 5 = 48 Ejercicio resuelto 1
  • 10. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO. Tipo ax2 + c = 0Ejemplos: x2 – 16 = 0 3x2 = 243 también es del mismo tipo. 3x2 = 243 es equivalente a 3x2 – 243 = 0 Por tanto es una ecuación del tipo ax2 + c = 0, con a  0. x2 = 16 416 x 3x2 = 243 981 xx2 = 81 Transponemos 16 Extraemos la raíz Simplificamos por 3 3x2 + (–243) = 0 El término ax2 se llama cuadrático, y el c, término independiente. Las ecuaciones del tipo ax2 + c = 0 se resuelven despejando la incógnita, y si tienen solución, esta constituida por dos números opuestos. Si c = 0, la ecuación es ax2 = 0, cuya única solución es x = 0.
  • 11. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO. Tipo ax2 + bx = 0 Ejemplos: x2 – 4x = 0 La ecuación 7x2 – 42x = 0 también es del mismo tipo. Las ecuaciones anteriores son del tipo ax2 + bx = 0, con a  0. x(x – 4) = 0 7x2 – 42x = 0 x(7x – 42) = 0 Factor común x Factor común x El término bx se llama término lineal. Las ecuaciones del tipo ax2 + bx = 0 tienen siempre dos soluciones, siendo una de ellas x = 0. Se resuelven sacando factor común, e igualando a cero cada uno de los dos factores. x = 0 x = 4 x = 0 y x = 4 son soluciones de x2 – 4x = 0 02 – 4 · 0 = 0 42 – 4 · 4 = 0 x = 0 7x – 42 = 0 7x – 42 = 0 7x = 42 x = 6 x = 0 y x = 6 son soluciones de 7x2 – 42x = 0. Compruébalo.
  • 12. ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO COMPLETA Término cuadrático Término lineal Término independiente Por ejemplo, las soluciones de la ecuación 2x2 + 3x –35 = 0 son: 5,3 4 173 4 2893 4 28093 2·2 )35(·2·433 2 1         x 5 4 173 4 2893 2·2 )35(·2·433 2 2       x Comprobación: 2 · 3,52 + 3 · 3,5 – 35 = 24,5 + 10,5 – 35 = 0 2 · (–5)2 + 3 · (–5) – 35 = 50 – 15 – 35 = 0 Es del tipo ax2 + bx + = 0c Las soluciones de esta ecuación se obtienen aplicando las fórmulas: a2 ac4bb 2 1  x a2 ac4bb 2 2  x