Este documento presenta diferentes métodos para resolver ecuaciones cuadráticas y sistemas de ecuaciones, incluyendo factorización, raíz cuadrada, completando el cuadrado y la fórmula cuadrática. También explica métodos para resolver sistemas de ecuaciones como sustitución, reducción e igualación. Proporciona ejemplos para cada método.

1. UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO
FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN HUMANAS Y
TECNOLOGICAS
CARRERA DE BIOLOGIA QUÍMICA Y LABORATORIO
ASIGNATURA
ALGEBRA
TEMA:
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
SEMESTRE:
SEGUNDO
PROFESORA:
ING. NARCISA SANCHEZ
ESTUDIANTES:
CARRILLO CARLA
LLAMUCA JACQUELINE
MERINO ALEXIS

2. Anteriormente trabajamos con ecuaciones lineales. Las ecuaciones lineales son ecuaciones
polinómicas de grado uno. Ahora estudiaremos ecuaciones polinómicas de grado dos cono
cidas como ecuaciones cuadráticas.
Descripción
Son ecuaciones de segundo grado aquellas en las que la incógnita aparece al menos una vez
elevada al cuadrado (x2). Por ejemplo: 3x2 - 3x = x - 1.
Definición: Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma ax2 + bx + c =
0 donde a, b, y , c son números reales y a es un número diferente de cero.

3. Ejemplos: x2 - 9 = 0; x2 - x - 12 = 0; 2x2 - 3x - 4 = 0
La condición de que a es un número diferente deceroenla definición asegura que exista el té
rmino x2 en la ecuación.
Existen varios métodos para resolver las ecuaciones cuadráticas.
El método apropiado para resolver una ecuacióncuadrática depende del tipo de ecuación cu
adrática que se va a resolver.
En este curso estudiaremos los siguientes métodos: factorización, raíz cuadrada, completan
do el cuadrado y la fórmula cuadrática.
Factorización:
Para utilizar este método la ecuación cuadrática debe estar igualada a
cero. Luego expresar el lado de
la ecuación que no es cero como un producto de factores. Finalmente se iguala a
cero cada factor y se despeja para la variable.
Ejemplos para discusión en clase: Resuelve las siguientes ecuaciones por factorización:
1) x2 - 4x = 0
2) x2 - 4x = 12
3) 12x2 - 17x + 6 = 0
Nota: No podemos resolver todas las ecuaciones cuadráticas por factorización porque este
método está limitado a coeficientes enteros. Por eso tenemos que conocer otros métodos.
Raíz cuadrada:
Este método requiere el uso de la propiedad que se menciona a continuación.
Propiedad de la raíz cuadrada: Para cualquier número real k, la ecuación x2 =
k es equivalente a :
Ejemplos para discusión en clase: Resuelve las siguientes ecuaciones por el método de raíz
cuadrada:
1) x2 - 9 = 0

4. 2) 2x2 - 1 = 0
3) (x - 3)2 = -8
Completando el cuadrado:
Completar el cuadrado conlleva hallar el tercer término de
un trinomio cuadrado perfecto cuando conocemos los primeros dos. Esto es, trinomios de
la forma:
x2 + bx + ?
Regla para hallar el último término de x2 + bx + ?: El último término de
un trinomio cuadrado perfecto ( con a = 1) es el cuadrado de
la mitad del coeficiente del término del medio. Esto es; el trinomio cuadrado perfecto cuy
os dos primerostérminos son
x2 + bx es :
Al completar el cuadrado queremos una ecuación equivalente que tenga un trinomio cuadra
do perfectoaun lado. Para obtener la ecuación equivalente el número que completa el cuadr
ado debe sumarse a ambos lados de la ecuación.
Ejemplos para discusión en clase: Resuelve las siguientes ecuaciones por el método de com
pletar el cuadrado:
1) x2 + 6x + 7 = 0
2) x2 – 10x + 5 = 0
3) 2x2 - 3x - 4 = 0
Fórmula cuadrática:
La solución de una ecuación ax2 + bx +c con a diferente decero está dada por la fórmula
cuadrática:
La expresión:

5. Conocida como el discriminante determina el número yel tipo de soluciones. La tabla a con
tinuación muestra la información del número de soluciones yel tipo de solución de acuerdo
con el valor del discriminante.
Valor de:
Tipo de solución
positivo dos soluciones reales
cero una solución real
negativo dos soluciones imaginarias
Ejemplos para discusión en clase: Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas usando la
fórmula cuadrática:
1) x2 + 8x + 6 = 0
2) 9x2 + 6x + 1 = 0
3) 5x2 - 4x + 1 = 0
Nota: Cualquier ecuación cuadrática puede resolverse utilizando la fórmula cuadrática.
Práctica: Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones:
1) x2 - x - 20 = 0 (por factorización)
2) x2 - 8 = 0 (por raíz cuadrada)
3) x2 - 4x + 5 = 0 (completando el cuadrado)
4) 9x2 + 6x = 1 (fórmula cuadrática)
Llamamos sistema de ecuaciones a un conjunto cualquiera de ecuaciones. Por ejemplo, las
ecuaciones:
forman un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas .
El conjunto de ecuaciones:
forman un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.

6. Se llama grado del sistema de ecuaciones al mayor exponente al que se encuentre elevada
alguna incógnita del sistema.
Por ejemplo,
es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas de segundo grado, porque el mayor
exponente es 2 (la x e y al cuadrado). Este sistema con ecuaciones de segundo grado se
llaman también sistema de ecuaciones cuadráticas.
El sistema de ecuaciones es de primer grado con dos incógnitas (porque todos
los valores están elevados a 1, que no se escribe).
Cuando el sistema de ecuaciones es de primer grado y además no aparecen términos con las
incógnitas multiplicadas entre sí (tipo x • y) se dice que es un sistema de ecuaciones
lineales.
Resolviendo sistemas
Para resolver un sistema de ecuaciones existen los siguientes métodos:
Método de sustitución
Lo que debemos hacer:
1.- Despejar una de las incógnitas en una de las ecuaciones.
2.- Sustituir la expresión obtenida en la otra ecuación.
3.- Resolver la ecuación resultante.
4.- Calcular la otra incógnita en la ecuación despejada.
Ejemplo:
Resolver
Se despeja x en la segunda ecuación:
x = 8 – 2y
Se sustituyen en la primera ecuación:

7. 3(8 – 2y) – 4y = – 6
Operando:
24 − 6y − 4y = − 6
24 – 10y = – 6
− 10y = − 6 − 24
− 10y = − 30
Se resuelve:
y = 3
Se sustituye este valor en la segunda:
x + 2(3) = 8
x + 6 = 8
x = 8 – 6 = 2
Solución del sistema:
x = 2, y = 3
Método de reducción
Lo que debemos hacer:
1.- Se igualan los coeficientes de una incógnita, salvo el signo, eligiendo un múltiplo
común de ambos.
2.- Puede ser el producto de los coeficientes de esa incógnita.
3.- Se suman o restan, según convenga, las ecuaciones.
4.- Se resuelve la ecuación de primer grado resultante.
5.- Se calcula la otra incógnita sustituyendo el valor obtenido en una de las ecuaciones del
sistema.
Ejemplo:
Resolver

8. Primero se deben igualar el 6 y el 8 de la incógnita x . Para hacerlo, amplificamos la
primera ecuación por 4 y amplificamos la segunda ecuación por –3. Esto porque al
multiplicar 6x por 4 queda 24x; y al multiplicar 8x por –3 queda –24x, y se anulan entre sí;
o sea, hemos eliminado una incógnita para trabajar solo con la otra (la y ). Luego hacemos
lo mismo con la y .
Se elimina la x :
Se elimina la y :
Ver: PSU: Matemática.
Método de igualación
Lo que debemos hacer:
1.- Se despeja una de las incógnitas en ambas ecuaciones.
2.- Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuación con una incógnita.
3.- Se resuelve la ecuación resultante.
4.- El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que aparecía
despejada la otra incógnita.
5.- Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.
Ejemplo:
Resolver

9. Despejamos x en la primera ecuación:
Despejamos x en la segunda ecuación:
x = –1 – 2y
Igualamos ambas expresiones:
:Se sustituye este valor en la primera o segunda ecuación:
x = 3 + 2(−1)
x = 3 − 2
x = 1
Solución del sistema:
x = 1, y = –1
Otro ejemplo:
Resolver, por el método de igualación, el sistema
Despejamos
Por ejemplo, la incógnita x de la primera y segunda ecuación:

10. Igualamos ambas expresiones:
Luego, resolvemos la ecuación:
Sustituimos el valor de y , en una de las dos expresiones en las que tenemos despejada la x :