Este documento presenta ejemplos resueltos de sistemas de ecuaciones no lineales utilizando diferentes métodos como sustitución, reducción y una mezcla de ambos. Se muestran 6 ejemplos resueltos paso a paso, encontrando las soluciones a sistemas que incluyen ecuaciones cuadráticas, bicuadráticas y de otros grados.
How DevOps is Transforming IT, and What it Can Do for AcademiaNicole Forsgren
Today's business climate is challenging companies to innovate and respond to the market, and forcing them to do so with much greater pressure than ever before. DevOps provides organizations with the ability to respond to this challenge, helping them to innovate and create at velocity and bring value to their business through software, because there really aren't any major companies that aren't software companies.
But the *real* message here is that DevOps is more than just technology. We have been beating our drum for years that DevOps is revolutionary because it goes so far beyond just the technology (tools) -- it is also the practices and the culture. All three of these are required for DevOps to truly effect transformational change. Technology professionals also realized they had to reach out to peers in other silos and collaborate with them in all three areas in order to truly succeed -- and that if the changes were done courageously, with empathy, embracing the new diversity of thought and methodology, things would be amazing. And they ARE.
Academia is facing similar challenges to innovate in the face of new challenges. As a fellow academic (or very recent academic! I still feel like a member of the tribe), I felt these pressures. Perhaps we can look to DevOps methodologies for inspiration and ideas to innovate at velocity. It will take more than just tools, it will take novel practices and collaboration with peers we haven't traditionally worked with.
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Las Tic’s (tecnologías de la información y comunicación) no son una variación del proceso de enseñanza y aprendizaje; sino, una serie de herramientas que el docente debe utilizar al elaborar las estrategias metodológicas.
1. SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
En estos ejercicios se utiliza el método de sustitución. Intenta hacerlos por tu cuenta antes
de comprobar las soluciones en los que están resueltos
1. *
y = −x2
+ 4x + 1
x + y = 5
2. **
xy = 4
x2
+ y2
= 17
3. *
x − 3y = −5
xy − 2x − y = 1
4. *
x · y = 15
x
y
= 5
3
5. **
(x + y) · (x − y) = 7
3x − 4y = 0
6. *
x − y + 3 = 0
x2
+ y2
= 5
Soluciones
1.
y = −x2
+ 4x + 1
x + y = 5
Como la y está ya despejada en la primera ecuación, sustituyo en la segunda
x − x2
+ 4x + 1 = 5
Llevo todos los términos a la izquierda (y multiplico por −1) para obtener la ecuación
de segundo grado
x2
− 5x + 4 = 0
cuyas soluciones son x0 = 1 y x1 = 4. Como y = 5−x (segunda ecuación) las soluciones
del sistema son
(1, 4) y (4, 1)
2.
xy = 4
x2
+ y2
= 17
Empezamos despejando una incógnita en la primera ecuación. Elijo esta porque las in-
cógnitas no están elevadas al cuadrado y será mucho más sencillo. Así x = 4
y
. Sustituimos
ahora en la segunda ecuación para obtener
4
y
2
+ y2
= 17
Operamos el cuadrado y multiplicamos toda la ecuación por y2
16
y2
+ y2
= 17 ⇒ 16 + y4
= 17y2
Obtenemos así una ecuación bicuadrada y4
− 17y2
+ 16 = 0 que se resuelve haciendo el
cambio de variable t = y2
para obtener t2
− 17t + 16 = 0 cuyas soluciones son t0 = 1
y t1 = 16 deshaciendo el cambio tendremos que y0 = 1 e y1 = 4. Como x = 4
y
, las
soluciones de nuestro sistema son
(4, 1) y (1, 4)1
1
Que las soluciones coincidan con las del sistema anterior es pura coincidencia
2. En estos ejercicios se utiliza el método una mezcla entre el método de reducción y el de
sustitución. Intenta hacerlos por tu cuenta antes de comprobar las soluciones en los que están
resueltos
1. **
x2
+ y2
= 18
x2
+ y2
− 4x − 4y + 6 = 0
2. **
x2
+ y2
− 4x − 2y = 20
x2
+ y2
− 12x + 2y = −12
3. **
x2
+ y2
− 8x − 4y = 44
x2
+ y2
− 6x + 10y = 16
Soluciones
1. **
x2
+ y2
= 18
x2
+ y2
− 4x − 4y + 6 = 0
Restamos la primera ecuación menos la segunda. Ten en cuenta que al restar un negativo
se convierte en positivo. Si lo prefieres puedes multiplicar la segunda por −1 y sumar
después. En cualquier caso, se obtendrá
4x + 4y − 6 = 18
El -6 pasa a la derecha 4x + 4y = 24 y MUY IMPORTANTE, simplificamos dividiendo
todo entre 4 para obtner x + y = 6 donde despejamos una incógnita y = 6 − x para
sustituir en una de las ecuaciones originales (elijo la primer porque es mucho más sencilla
x2
+ (6 − x)2
= 18
Se hacen las cuentas y se resuelve la ecuación resultante ¡¡sin olvidarse simplificar!!
x2
+ 36 − 12x + x2
= 18 ⇒ 2x2
− 12x + 18 = 0 ⇒ x2
− 6x + 9 = 0
La ecuación es particularmente sencilla porque el polinomio se factoriza como (x − 3)3
y la solución será por tanto x = 3 con lo que y = 3. Así, la única solución del sistema
es (3, 3).
3. En estos ejercicios se realiza el método de reducción. Intenta hacerlos por tu cuenta antes
de comprobar las soluciones en los que están resueltos.
1. **
3x2
− 5y2
= 7
2x2
− 11y2
= −3
2. *
x2
+ y2
− 5x − 5y + 10 = 0
x2
− y2
− 5x + 5y + 2 = 0
3. *
4x2
− y2
= 0
4x2
+ 3y2
= 64
Soluciones
1.
3x2
− 5y2
= 7
2x2
− 11y2
= −3
Multiplico la primera ecuación por 2 y la segunda por −3
6x2
− 10y2
= 14
−6x2
+ 33y2
= 9
Sumo para obtener 23y2
= 23 con lo que y2
= 1 y así y = ±1 (no te olvides de la
solución negativa). Sustituyo ahora en las ecuaciones para obtener el valor de x
3x2
− 5(±1)2
= 7 ⇒ 3x2
− 5 = 7 ⇒ 3x2
= 12 ⇒ x2
= 4 ⇒ x = ±2
Así, las soluciones del sistema (ten en cuenta que en este caso valen todas las combina-
ciones) son
(2, 1), (2, −1), (−2, 1) y (−2, −1)