Este documento presenta conceptos básicos sobre ecuaciones diferenciales. Explica que una ecuación diferencial contiene una función incógnita y sus derivadas. Clasifica las ecuaciones diferenciales en ordinarias y parciales dependiendo del número de variables independientes. Define también el orden de una ecuación diferencial y explica cómo clasificarlas como lineales o no lineales. Por último, introduce los conceptos de solución general, solución particular y solución singular de una ecuación diferencial ordinaria.

2. Facultad de Ingeniería y
Arquitectura
Carrera de Ingeniería Civil
Ecuaciones Diferenciales

3. SEMANA Nº1
CONTENIDOS: NOCIONES PRELIMINARES
Contenido de la clase virtual
❑ Definición de una Ecuación Diferencial.
❑ Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales.
❑ Solución de una Ecuación Diferencial.
❑ Tipos de soluciones de una Ecuación Diferencial.
Objetivos
Reconocer los conceptos principales de las Ecuaciones
Diferenciales.

4. Ecuación Diferencial
Definición. (Ecuación Diferencial)
Una ecuación diferencial es una ecuación en la cual aparece una función
incógnita, de una o más variables, y sus respectivas derivadas (ordinarias o
parciales).
Ejemplos:
Variable
independiente
Variable
dependiente
Variables
independientes
Variable
dependiente

5. SONDEO 1
En las siguientes ecuaciones diferenciales indique
la variable dependiente (vd) y la variable
independiente (vi).
2
2 3 2 5
2
2 3
) 3
a
d x
t t x x
d t
= − +
2 2
2 2
)
b
u u
x t
 
=
 
Solución:
:
)
:
v d
v i
a
x
t



:
: ;
)
v d
v i
b
u
x t




6. Clasificación de las Ecuaciones
Diferenciales
Ecuación diferencial parcial (EDP):
Las ecuaciones diferenciales que contienen derivadas
parciales con respecto a dos o más variables independientes
se llaman ecuaciones diferenciales parciales.
Ecuación diferencial ordinaria (EDO):
Las ecuaciones diferenciales que contienen derivadas de una
o más variables dependientes con respecto a una sola
variable independiente se llaman ecuaciones diferenciales
ordinarias.

7. 2 2
2 2
)
0
0
)
)
xx yy
u u
y x
x y
u u
E
i
ii
u
ii C
i
x
P
u
D
u
y
 
+ =
 
+ =
 
− =
 
Ejemplos:
2
2
3
)
)
0
)
6 8 1
2 5
y
d y dy
y x
dx dx
dy
e senx
d
E
x
y
i
ii
y
iii
O
y y
D
− + = +
=
  
− + − =
Clasificación de las Ecuaciones
Diferenciales

8. El orden de una ecuación diferencial (EDO o EDP),
es el de la derivada de mayor orden en la ecuación.
Ejemplos:
0
) 4
dy
y
dx
i + = de primerorden (orden 1)
edo
( )
3 3
1
) 2
i y x y x x
i y y
 
+ − − = de segundo orden(orden 2)
edo
4
3 2
3 2
3 2
2 12
)
d y d y dy
x x x
dx d
iii
x dx
 
+ − =
 
 
de tercerorden (orden 3)
edo
Exponente
Orden de
derivada
Clasificación de las Ecuaciones
Diferenciales

9. Ejemplos:
) x y u
i u u
= + de primer orden (orden 1)
edp
2
2
0
)
u u
C
x
ii
t
 
− =
 
de segundo orden (orden 2)
edp
2 3
3
3 0
)
y
iii
u u u
x y x
  
− + =
   
de tercer orden (orden 3)
edp
Clasificación de las Ecuaciones
Diferenciales

10. SONDEO 2
Indique el orden de la siguiente ecuación
diferencial.
( )
5
2 5 0
''' '' '
y y y
− + =
Solución:
orden 3

11. Una ecuación diferencial ordinaria de orden n
se dice que es lineal, si se puede expresar en la forma:
( )
( )
, , ,..., 0
n
F x y y y
 =
1
1 1 0
1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n n
n n
n n
d y d y dy
x x x x y g x
dx dx dx
a a a a
−
− −
+ + + + =
Clasificación de las Ecuaciones
Diferenciales

12. Observación:
Una edo de orden n es lineal si se cumplen las siguientes
condiciones:
Clasificación de las Ecuaciones
Diferenciales

13. (i) La variable dependiente , así como sus derivadas
tienen exponente igual a uno.
( )
n
y y y
 
, , ,
y
(ii) Cada función coeficiente
sólo depende de (variable independiente), o es una
función constante.
0 1
( ), ( ), , ( ), g( )
n
x x x x
a a a
x
Clasificación de las Ecuaciones
Diferenciales

14. Ejemplos: EDO Lineales
(1 ) 2 7 cos
1) 3
x y xy y x
 
− − + =
4
3
4
2) 6 x
d y dy
x y e
dx dx
− + =
2
3 ( ) (cos )
) senx y x y
 
− =
edo lineal
edo lineal
edo lineal
Clasificación de las Ecuaciones
Diferenciales

15. Ejemplos: EDO no Lineales
e
1 (1
) 2
) x
y y
y  − =
−
3
2
3
0
2)
d y dy
dx dx
y
+ + =
9
3) y
y y sen
 + =
edo no lineal
edo no lineal
edo no lineal
Clasificación de las Ecuaciones
Diferenciales

16. Solución de una Ecuación Diferencial
Definición. (Solución de una EDO)
Cualquier función , definida en un intervalo I y que tiene al
menos n derivadas continuas en I, las cuales cuando se
reemplazan en una edo de orden n reducen la ecuación
diferencial a una identidad, se dice que es una solución de la edo
en el intervalo I.


17. 2 1
2
,
2 0.
Ejemplo : Mostrar que es una soluci n de la ecuaci n
diferencial
ó ó
y x x
y x y
−
−
= −
 − =
Solución:
derivando se tiene:



reemplazando en la edo:
( ) ( )
3 2 2 1
2 2 2 0
y y
x x x x
− −

−

− − − =
2 3
2x−
−
( ) 2
− 3
2x−
+ 0
=
0 0
= identidad
2 1
luego es una .
ó
soluci n de la edo
y x x−
= −
Solución de una Ecuación Diferencial
2
2
y x x−
 = +
3
2 2
y x−
 = −

18. 2
,
2 .
Ejemplo : Mostrar que es una soluci n de la ecuaci n
e
ó ó
dif rencial
x x
y Ae Be
y y y
−
= +
 
− =
Solución:
derivando se tiene:



reemplazando en la edo:
( ) ( ) ( )
2 2 2
4 2 2
x x
y
x x x
y
x
Ae Be Ae Be Ae Be
 
− − −
+ − − + = +
( )
2 2
2 2 2
x x x x
Ae Be Ae Be
− −
+ = +
( ) ( )
2 2
2 2
x x x x
Ae Be Ae Be
− −
+ = + identidad
2
luego es una soluci n de la edo.
ó
x x
y Ae Be
−
= +
Solución de una Ecuación Diferencial
2
2
x x
y Ae Be
−
 = − +
2
4
x x
y Ae Be
−
 = +

19. Solución explícita de una edo:
Es una solución en la cual la variable dependiente se expresa solo en
términos de la variable independiente.
2
2
3cos
2
Ejemplo:
La funci n es una soluci n expl ci
ó ó í ta
de la edo
y senx x x
y y x
= + +
 + = +
Solución de una Ecuación Diferencial

20. Solución implícita de una edo:
Si la función solución esta dada de forma implícita, mediante una
relación.
( ) .
0
1 1 0
Ejemplo:
Mostrar que es una soluci n impl cita
de la ed
ó í
o
xy
xy xy
x y e
dy
xe ye
dx
+ + =
+ + + =
Solución de una Ecuación Diferencial

21. Solución: (1)
0
No se puede despejar en
xy
y x y e
+ + =
(1) :
Derivando implicitamente la relación
( ) ( )
0
xy
dy dy
x y e
dx dx
+ + =
( )
1 0
xy
dy dy
e
dx dx
+ + =
( )
1 0
xy
dy dy
e xy
dx dx
+ + = 1 0
xy
dy dy
e y x
dx dx
→ + + + =
 
 
 
( )
1 1 0
xy xy
dy
xe ye
dx
→ + + + =
de esta manera se obtiene la edo, y se verifica que es una solucion dada
en forma implicita.
Solución de una Ecuación Diferencial
edo

22. Tipos de Soluciones de una EDO:
❑ Solución General: Representa una familia de funciones que
satisfacen la edo, esta representación de la familia
necesariamente incluye una o varias constantes.
❑ Solución Particular: Es una solución que se obtiene a partir
de la solución general, asignando valores a las constantes de
dicha solución general.
❑ Solución Singular: Son soluciones que no se obtienen de la
solución general.
Solución de una Ecuación Diferencial

23. Ejemplo : 4 0
Edo: y y
 − =
4
Soluci n general:
ó x
y C e
=
4
2 2
Soluci n particular:
ó x
C y e
= → =
Solución de una Ecuación Diferencial

24. Ejemplo : 1/2
0
Edo:
dy
x y
dx
− =
2
2
1
4
Soluci n general:
ó y x C
 
= +
 
 
4
2
2
1
0
16
1
1 1
4
Soluci n part
ó icular: C y x
C y x
= → =
 
= → = +
 
 
0
Soluci n singular:
ó y =
Solución de una Ecuación Diferencial

25. Ejemplo : ( )
2
Edo: y y x y
 
= +
2
Soluci n general:
ó y Cx C
= +
Soluci nes particulares :
ó
1
1 y
C x
→
= = +
2 4
2 y
C x
→ =
= +
3 9
3 y
C x
→ =
= +
1
2 4
1
2
1
C y x
→ −
− +
= =
2
4
Soluci n singular:
ó
x
y = −
Solución de una Ecuación Diferencial