Este documento introduce las ecuaciones diferenciales, incluyendo definiciones de términos clave como ecuación diferencial ordinaria, ecuación diferencial parcial, orden, grado y linealidad. Explica cómo clasificar ecuaciones diferenciales según estos términos y proporciona ejemplos para ilustrar conceptos como soluciones de ecuaciones diferenciales.
1. El documento introduce las ecuaciones diferenciales y explica qué son, cómo se clasifican y notan. Explica que una ecuación diferencial es una ecuación que contiene derivadas de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes.
2. Se describen los tipos principales de ecuaciones diferenciales, incluyendo ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales. También explica cómo clasificar las ecuaciones diferenciales según su orden, grado y linealidad.
3. El documento proporciona ejemp
Semana 1. introduccion a las ecuaciones diferencialesnidia maldonado
1) Este documento introduce las ecuaciones diferenciales, explicando qué son, cómo se clasifican y notaciones comunes. 2) Una ecuación diferencial contiene derivadas de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes. Se clasifican por tipo, orden y linealidad. 3) Las ecuaciones diferenciales ordinarias contienen derivadas de variables dependientes de una sola variable independiente, mientras que las parciales contienen derivadas parciales de variables dependientes de dos o más variables independientes.
1) Este documento describe las ecuaciones diferenciales, incluyendo su definición, clasificación, notación y aplicaciones. 2) Se define una ecuación diferencial como una ecuación que contiene derivadas de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes. 3) Las ecuaciones diferenciales se clasifican según su tipo, orden, grado, linealidad y si son homogéneas o no.
Este documento trata sobre ecuaciones diferenciales y álgebra lineal. Explica conceptos como ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales, el orden de una ecuación diferencial, ecuaciones diferenciales lineales y no lineales, y métodos para resolver diferentes tipos de ecuaciones diferenciales como las de variable separable, las exactas y las homogéneas. También cubre temas como soluciones implícitas, familia de soluciones, y problemas de valor inicial.
Este documento presenta conceptos básicos sobre ecuaciones diferenciales. Explica que una ecuación diferencial contiene una función incógnita y sus derivadas. Clasifica las ecuaciones diferenciales en ordinarias y parciales dependiendo del número de variables independientes. Define también el orden de una ecuación diferencial y explica cómo clasificarlas como lineales o no lineales. Por último, introduce los conceptos de solución general, solución particular y solución singular de una ecuación diferencial ordinaria.
Este documento introduce las ecuaciones diferenciales. Explica que una ecuación diferencial relaciona una función desconocida y sus derivadas con variables independientes. También diferencia entre ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales, y discute conceptos como orden, linealidad, soluciones y métodos para resolver ecuaciones diferenciales.
Ecuaciones Diferenciales parte I_ EDO.pptx2015110566
El cálculo es la matemática del cambio, y las tasas de cambio se expresan por derivados. Así, una de las formas más comunes de utilizar el cálculo es establecer una ecuación que contenga una función desconocida y=f(x) y su derivada, conocida como ecuación diferencial. Resolver tales ecuaciones a menudo proporciona información sobre cómo cambian las cantidades y con frecuencia proporciona información sobre cómo y por qué ocurren los cambios.
Las técnicas para resolver ecuaciones diferenciales pueden tomar muchas formas diferentes, incluyendo solución directa, uso de gráficos o cálculos por computadora. Presentamos las ideas principales en este capítulo y las describimos con un poco más de detalle más adelante en el curso. En esta sección estudiamos qué son las ecuaciones diferenciales, cómo verificar sus soluciones, algunos métodos que se utilizan para resolverlas, y algunos ejemplos de ecuaciones comunes y útiles.
1. El documento introduce las ecuaciones diferenciales y explica qué son, cómo se clasifican y notan. Explica que una ecuación diferencial es una ecuación que contiene derivadas de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes.
2. Se describen los tipos principales de ecuaciones diferenciales, incluyendo ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales. También explica cómo clasificar las ecuaciones diferenciales según su orden, grado y linealidad.
3. El documento proporciona ejemp
Semana 1. introduccion a las ecuaciones diferencialesnidia maldonado
1) Este documento introduce las ecuaciones diferenciales, explicando qué son, cómo se clasifican y notaciones comunes. 2) Una ecuación diferencial contiene derivadas de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes. Se clasifican por tipo, orden y linealidad. 3) Las ecuaciones diferenciales ordinarias contienen derivadas de variables dependientes de una sola variable independiente, mientras que las parciales contienen derivadas parciales de variables dependientes de dos o más variables independientes.
1) Este documento describe las ecuaciones diferenciales, incluyendo su definición, clasificación, notación y aplicaciones. 2) Se define una ecuación diferencial como una ecuación que contiene derivadas de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes. 3) Las ecuaciones diferenciales se clasifican según su tipo, orden, grado, linealidad y si son homogéneas o no.
Este documento trata sobre ecuaciones diferenciales y álgebra lineal. Explica conceptos como ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales, el orden de una ecuación diferencial, ecuaciones diferenciales lineales y no lineales, y métodos para resolver diferentes tipos de ecuaciones diferenciales como las de variable separable, las exactas y las homogéneas. También cubre temas como soluciones implícitas, familia de soluciones, y problemas de valor inicial.
Este documento presenta conceptos básicos sobre ecuaciones diferenciales. Explica que una ecuación diferencial contiene una función incógnita y sus derivadas. Clasifica las ecuaciones diferenciales en ordinarias y parciales dependiendo del número de variables independientes. Define también el orden de una ecuación diferencial y explica cómo clasificarlas como lineales o no lineales. Por último, introduce los conceptos de solución general, solución particular y solución singular de una ecuación diferencial ordinaria.
Este documento introduce las ecuaciones diferenciales. Explica que una ecuación diferencial relaciona una función desconocida y sus derivadas con variables independientes. También diferencia entre ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales, y discute conceptos como orden, linealidad, soluciones y métodos para resolver ecuaciones diferenciales.
Ecuaciones Diferenciales parte I_ EDO.pptx2015110566
El cálculo es la matemática del cambio, y las tasas de cambio se expresan por derivados. Así, una de las formas más comunes de utilizar el cálculo es establecer una ecuación que contenga una función desconocida y=f(x) y su derivada, conocida como ecuación diferencial. Resolver tales ecuaciones a menudo proporciona información sobre cómo cambian las cantidades y con frecuencia proporciona información sobre cómo y por qué ocurren los cambios.
Las técnicas para resolver ecuaciones diferenciales pueden tomar muchas formas diferentes, incluyendo solución directa, uso de gráficos o cálculos por computadora. Presentamos las ideas principales en este capítulo y las describimos con un poco más de detalle más adelante en el curso. En esta sección estudiamos qué son las ecuaciones diferenciales, cómo verificar sus soluciones, algunos métodos que se utilizan para resolverlas, y algunos ejemplos de ecuaciones comunes y útiles.
Este documento presenta una sesión sobre ecuaciones diferenciales ordinarias. Explica cómo clasificar ecuaciones diferenciales según su tipo, orden, grado y linealidad. También cubre conceptos como la solución general, solución particular y problemas de valor inicial. Finalmente, propone algunos ejercicios para que el estudiante identifique estas propiedades en diferentes ecuaciones diferenciales.
Este documento introduce conceptos básicos sobre ecuaciones diferenciales ordinarias, incluyendo su definición, interpretación geométrica, clasificación y métodos para resolver diferentes tipos como ecuaciones de variables separadas, homogéneas, exactas y lineales. Explica que una ecuación diferencial relaciona una función con sus derivadas y es común en física, ingeniería, química y biología para modelar procesos de cambio.
Fundamentos de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias ccesa007Demetrio Ccesa Rayme
Este documento trata sobre ecuaciones diferenciales ordinarias. Explica conceptos como orden, linealidad y clasificación de ecuaciones diferenciales. También presenta métodos analíticos para resolver ecuaciones diferenciales como separación de variables, variables homogéneas y lineales. Finalmente, introduce conceptos como campo vectorial y método de isoclinas.
1. El documento trata sobre ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. Explica conceptos como la solución general, solución particular y problema de Cauchy. 2. Incluye ejemplos de soluciones analíticas a ecuaciones diferenciales de primer orden y un resumen de métodos como el campo de direcciones. 3. El objetivo es presentar los fundamentos teóricos para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden.
Material didáctico introductorio a las Ecuaciones Diferenciales, como parte del contenido programático de Matemática II del Programa Nacional de Formación de Ingeniería, preparado por MsC Mgs Ing. Ines Sanchez de la Universidad Politécnica Territorial de Maracaibo. El contenido hace referencia a las definiciones, caracterización y terminología básica sobre tipología de una ecuación diferencial según el orden, grado y linealidad.
Este documento presenta una introducción a las ecuaciones diferenciales. Explica que mientras las situaciones estáticas se pueden describir con ecuaciones algebraicas, las situaciones dinámicas requieren ecuaciones diferenciales. Define conceptos clave como el orden y grado de una ecuación diferencial, y describe métodos para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden, incluyendo métodos para ecuaciones de variables separables, homogéneas y de diferencial exacto.
Unidad ii guia de introduccion a las ecuciones diferencialesJulio Barreto Garcia
El documento describe el origen y desarrollo histórico de las ecuaciones diferenciales desde los siglos XVII y XVIII, cuando Isaac Newton y Gottfried Leibniz sentaron las bases del cálculo y formularon las primeras ecuaciones diferenciales. Posteriormente, matemáticos como los Bernoulli, Euler, Lagrange y Laplace hicieron importantes contribuciones al campo, resolviendo nuevos tipos de ecuaciones y desarrollando métodos de solución. Finalmente, el documento presenta una clasificación y definiciones básicas sobre ecuaciones difer
Este documento introduce las ecuaciones diferenciales. Explica que una ecuación diferencial contiene derivadas de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes. También clasifica las ecuaciones diferenciales como ordinarias o parciales dependiendo de si contienen derivadas de una o más variables respecto a una o más variables independientes. Además, clasifica las ecuaciones diferenciales por orden, grado y linealidad.
Este documento presenta un curso propedéutico sobre ecuaciones diferenciales para una maestría en ingeniería eléctrica. Explica conceptos básicos como el orden de una ecuación diferencial, clasificaciones como lineal vs no lineal, y métodos de solución analítica como separación de variables. También introduce conceptos como campo vectorial, isoclinas y solución general. El objetivo es preparar a los estudiantes con los fundamentos necesarios para comprender ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones en ingeniería.
Este documento describe las consideraciones básicas de las ecuaciones diferenciales de primer orden. Define una ecuación diferencial y explica que relaciona una función desconocida, las variables independientes y sus derivadas. Explica que las ecuaciones diferenciales se clasifican según su tipo, orden y linealidad. Luego, describe métodos para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden, incluyendo ecuaciones separables y diferenciables exactas.
Este documento presenta una introducción a las ecuaciones diferenciales ordinarias. Define qué son las ecuaciones diferenciales ordinarias y da ejemplos de diferentes tipos como lineales, no lineales, homogéneas y no homogéneas. Explica conceptos como el orden y grado de una ecuación diferencial. También introduce métodos para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden como variables separables y lineales.
Este documento presenta una introducción a las ecuaciones diferenciales, definiendo qué son, sus órdenes y grados. Explica métodos para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden, variables separadas, homogéneas y exactas, ilustrando cada uno con ejemplos. Concluye resaltando la importancia de las ecuaciones diferenciales y la bibliografía consultada.
Este documento trata sobre ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO). Explica que una EDO relaciona una función y sus derivadas, y que su solución es una función en lugar de un número. Clasifica las EDO como lineales u no lineales, y de orden según la derivada más alta. También cubre métodos para resolver EDO como variables separables y de primer orden lineal.
Este documento trata sobre ecuaciones diferenciales. Brevemente explica que una ecuación diferencial involucra derivadas de variables dependientes con respecto a variables independientes. Luego, clasifica las ecuaciones diferenciales según su tipo, orden y linealidad, y proporciona ejemplos de cómo se usan para modelar fenómenos físicos. Finalmente, introduce algunos métodos para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden, como variables separables y lineales.
Este documento introduce las ecuaciones diferenciales (ED), definiéndolas como igualdades que contienen derivadas de funciones desconocidas. Explica que las ED se clasifican por tipo, orden, y linealidad. Finalmente, describe que una solución de una ED ordinaria es una función cuya sustitución en la ecuación hace que esta sea verdadera. El documento incluye ejemplos y ejercicios para practicar la clasificación y solución de ED.
Conceptos BáSicos de ecuaciones diferencialesPaola
Este documento introduce conceptos básicos sobre ecuaciones diferenciales. Explica que una ecuación diferencial contiene derivadas de una o más variables independientes. Define el orden de una ecuación diferencial como la derivada de más alto orden que aparece. Distingue entre ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales dependiendo de si la función desconocida depende de una o varias variables. También clasifica las ecuaciones diferenciales como lineales o no lineales.
1) El documento describe varios métodos para identificar el tipo de una ecuación diferencial ordinaria de primer orden cuando no se especifica. 2) Sugiere analizar si la ecuación es homogénea, exacta, lineal o de variables separables antes de intentar otros métodos. 3) Proporciona ejemplos resueltos que ilustran cómo aplicar estos análisis para identificar el tipo de ecuación diferencial y encontrar su solución.
Este documento presenta un resumen de conceptos básicos sobre ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. Explica diferentes tipos de ecuaciones diferenciales como ecuaciones de variables separadas, homogéneas, exactas y lineales. También introduce conceptos como el factor integrante y trayectorias ortogonales. El documento servirá como guía para el curso sobre métodos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias.
El documento presenta una introducción general a las unidades de ingeniería ambiental sobre ecuaciones diferenciales. Cubre ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales de primer y segundo orden, así como métodos para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden como variables separables y factores integrantes.
Este documento introduce el concepto de ecuaciones diferenciales, que permiten modelar fenómenos naturales y de la sociedad. Explica cómo las ecuaciones diferenciales involucran derivadas de funciones y presenta ejemplos como el movimiento de un péndulo o la carga en un capacitor. Finalmente, cubre temas como la clasificación, orden, grado y métodos de solución de ecuaciones diferenciales.
Este documento presenta una sesión sobre ecuaciones diferenciales ordinarias. Explica cómo clasificar ecuaciones diferenciales según su tipo, orden, grado y linealidad. También cubre conceptos como la solución general, solución particular y problemas de valor inicial. Finalmente, propone algunos ejercicios para que el estudiante identifique estas propiedades en diferentes ecuaciones diferenciales.
Este documento introduce conceptos básicos sobre ecuaciones diferenciales ordinarias, incluyendo su definición, interpretación geométrica, clasificación y métodos para resolver diferentes tipos como ecuaciones de variables separadas, homogéneas, exactas y lineales. Explica que una ecuación diferencial relaciona una función con sus derivadas y es común en física, ingeniería, química y biología para modelar procesos de cambio.
Fundamentos de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias ccesa007Demetrio Ccesa Rayme
Este documento trata sobre ecuaciones diferenciales ordinarias. Explica conceptos como orden, linealidad y clasificación de ecuaciones diferenciales. También presenta métodos analíticos para resolver ecuaciones diferenciales como separación de variables, variables homogéneas y lineales. Finalmente, introduce conceptos como campo vectorial y método de isoclinas.
1. El documento trata sobre ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. Explica conceptos como la solución general, solución particular y problema de Cauchy. 2. Incluye ejemplos de soluciones analíticas a ecuaciones diferenciales de primer orden y un resumen de métodos como el campo de direcciones. 3. El objetivo es presentar los fundamentos teóricos para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden.
Material didáctico introductorio a las Ecuaciones Diferenciales, como parte del contenido programático de Matemática II del Programa Nacional de Formación de Ingeniería, preparado por MsC Mgs Ing. Ines Sanchez de la Universidad Politécnica Territorial de Maracaibo. El contenido hace referencia a las definiciones, caracterización y terminología básica sobre tipología de una ecuación diferencial según el orden, grado y linealidad.
Este documento presenta una introducción a las ecuaciones diferenciales. Explica que mientras las situaciones estáticas se pueden describir con ecuaciones algebraicas, las situaciones dinámicas requieren ecuaciones diferenciales. Define conceptos clave como el orden y grado de una ecuación diferencial, y describe métodos para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden, incluyendo métodos para ecuaciones de variables separables, homogéneas y de diferencial exacto.
Unidad ii guia de introduccion a las ecuciones diferencialesJulio Barreto Garcia
El documento describe el origen y desarrollo histórico de las ecuaciones diferenciales desde los siglos XVII y XVIII, cuando Isaac Newton y Gottfried Leibniz sentaron las bases del cálculo y formularon las primeras ecuaciones diferenciales. Posteriormente, matemáticos como los Bernoulli, Euler, Lagrange y Laplace hicieron importantes contribuciones al campo, resolviendo nuevos tipos de ecuaciones y desarrollando métodos de solución. Finalmente, el documento presenta una clasificación y definiciones básicas sobre ecuaciones difer
Este documento introduce las ecuaciones diferenciales. Explica que una ecuación diferencial contiene derivadas de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes. También clasifica las ecuaciones diferenciales como ordinarias o parciales dependiendo de si contienen derivadas de una o más variables respecto a una o más variables independientes. Además, clasifica las ecuaciones diferenciales por orden, grado y linealidad.
Este documento presenta un curso propedéutico sobre ecuaciones diferenciales para una maestría en ingeniería eléctrica. Explica conceptos básicos como el orden de una ecuación diferencial, clasificaciones como lineal vs no lineal, y métodos de solución analítica como separación de variables. También introduce conceptos como campo vectorial, isoclinas y solución general. El objetivo es preparar a los estudiantes con los fundamentos necesarios para comprender ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones en ingeniería.
Este documento describe las consideraciones básicas de las ecuaciones diferenciales de primer orden. Define una ecuación diferencial y explica que relaciona una función desconocida, las variables independientes y sus derivadas. Explica que las ecuaciones diferenciales se clasifican según su tipo, orden y linealidad. Luego, describe métodos para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden, incluyendo ecuaciones separables y diferenciables exactas.
Este documento presenta una introducción a las ecuaciones diferenciales ordinarias. Define qué son las ecuaciones diferenciales ordinarias y da ejemplos de diferentes tipos como lineales, no lineales, homogéneas y no homogéneas. Explica conceptos como el orden y grado de una ecuación diferencial. También introduce métodos para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden como variables separables y lineales.
Este documento presenta una introducción a las ecuaciones diferenciales, definiendo qué son, sus órdenes y grados. Explica métodos para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden, variables separadas, homogéneas y exactas, ilustrando cada uno con ejemplos. Concluye resaltando la importancia de las ecuaciones diferenciales y la bibliografía consultada.
Este documento trata sobre ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO). Explica que una EDO relaciona una función y sus derivadas, y que su solución es una función en lugar de un número. Clasifica las EDO como lineales u no lineales, y de orden según la derivada más alta. También cubre métodos para resolver EDO como variables separables y de primer orden lineal.
Este documento trata sobre ecuaciones diferenciales. Brevemente explica que una ecuación diferencial involucra derivadas de variables dependientes con respecto a variables independientes. Luego, clasifica las ecuaciones diferenciales según su tipo, orden y linealidad, y proporciona ejemplos de cómo se usan para modelar fenómenos físicos. Finalmente, introduce algunos métodos para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden, como variables separables y lineales.
Este documento introduce las ecuaciones diferenciales (ED), definiéndolas como igualdades que contienen derivadas de funciones desconocidas. Explica que las ED se clasifican por tipo, orden, y linealidad. Finalmente, describe que una solución de una ED ordinaria es una función cuya sustitución en la ecuación hace que esta sea verdadera. El documento incluye ejemplos y ejercicios para practicar la clasificación y solución de ED.
Conceptos BáSicos de ecuaciones diferencialesPaola
Este documento introduce conceptos básicos sobre ecuaciones diferenciales. Explica que una ecuación diferencial contiene derivadas de una o más variables independientes. Define el orden de una ecuación diferencial como la derivada de más alto orden que aparece. Distingue entre ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales dependiendo de si la función desconocida depende de una o varias variables. También clasifica las ecuaciones diferenciales como lineales o no lineales.
1) El documento describe varios métodos para identificar el tipo de una ecuación diferencial ordinaria de primer orden cuando no se especifica. 2) Sugiere analizar si la ecuación es homogénea, exacta, lineal o de variables separables antes de intentar otros métodos. 3) Proporciona ejemplos resueltos que ilustran cómo aplicar estos análisis para identificar el tipo de ecuación diferencial y encontrar su solución.
Este documento presenta un resumen de conceptos básicos sobre ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. Explica diferentes tipos de ecuaciones diferenciales como ecuaciones de variables separadas, homogéneas, exactas y lineales. También introduce conceptos como el factor integrante y trayectorias ortogonales. El documento servirá como guía para el curso sobre métodos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias.
El documento presenta una introducción general a las unidades de ingeniería ambiental sobre ecuaciones diferenciales. Cubre ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales de primer y segundo orden, así como métodos para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden como variables separables y factores integrantes.
Este documento introduce el concepto de ecuaciones diferenciales, que permiten modelar fenómenos naturales y de la sociedad. Explica cómo las ecuaciones diferenciales involucran derivadas de funciones y presenta ejemplos como el movimiento de un péndulo o la carga en un capacitor. Finalmente, cubre temas como la clasificación, orden, grado y métodos de solución de ecuaciones diferenciales.
Similar a Ecuaciones diferenciales_Presentacion.pptx (20)
La energía radiante es una forma de energía que
se transmite en forma de ondas
electromagnéticas esta energía se propaga a
través del vacío y de ciertos medios materiales y
es fundamental en una variedad naturales y
tecnológicos
Los puentes son estructuras esenciales en la infraestructura de transporte, permitiendo la conexión entre diferentes
puntos geográficos y facilitando el flujo de bienes y personas.
2. 2
¿Qué es una ecuación diferencial?
2
1
.
0
)
( x
e
x
y
2
1
.
0
2
.
0 x
e
x
dx
dy
y
x
dx
dy
2
.
0
Imaginemos que nos dan directamente esta ecuación.
Intentaremos contestar preguntas del tipo: ¿Qué función
representa y(x)? ¿Cómo se resuelve semejante ecuación?
Ejemplo de
ecuación
diferencial
Función diferenciable en
(-, ). Su derivada es:
3. 3
¿Qué es una ecuación diferencial (ED)?
Es una ecuación que contiene las derivadas de una
o más variables dependientes, con respecto a una
o más variables independientes.
Las EDs se clasifican por tipo, orden y linealidad.
y
x
dx
dy
2
.
0
variable dependiente
variable independiente
4. 4
Ecuación diferencial ordinaria (EDO):
Una ecuación que contiene sólo derivadas ordinarias
de una o más variables dependientes de una sola
variable independiente.
Ejemplo de EDO:
Una EDO puede contener más de una variable
dependiente:
Clasificación por tipo:
5 e
y
dx
dy x
y
x
dt
dy
dt
dx
2
6. 6
Notación de Leibniz: dy/dx, d2y/ dx2,...
Notación con primas: y', y'', y'''… y(n),...
Notación de Newton:
Notación de subíndice: ux , uy , uxx , uyy , uxy , …
En la notación de Leibniz localizamos rápidamente cuál
es la variable dependiente y la independiente:
Notaciones
...
,
,
,
...
..
.
x
x
x
5 e
y
dx
dy x
8. 8
Nota: A veces escribiremos las EDOs en forma diferencial
0
)
,
(
)
,
(
dy
y
x
N
dx
y
x
M
Por ejemplo, supongamos que y es la variable dependiente
y x la independiente en la EDO en forma diferencial:
0
'
4
'
0
4
)
(
xy
x
y
dx
dy
y
xdy
dx
x
y
9. 9
Forma general de orden n de una EDO:
Forma normal de orden n de una EDO:
Por ejemplo, las formas general y normal de la EDO
son respectivamente:
0
)
,
,
'
,
,
(
variables
2
)
(
n
n
y
y
y
x
F
)
,
,
'
,
,
(
variables
1
)
1
(
n
n
n
n
y
y
y
x
f
dx
y
d
f(x, y)
x
(x – y)/
y’
x
y)/
y’ - (x –
)
F(x, y, y’
4
0
4
x,
y
xy’
4
10. 10
Grado
El grado de una ecuación diferencial es el grado
algebraico de su derivada de mayor orden. Es decir,
el grado de una ecuación diferencial es la potencia a la
que esta elevada la derivada que nos da el orden de la
ecuación diferencial.
Ejemplo:
La siguiente ecuación
diferencial:
es de primer grado, dado que la segunda derivada, que
nos da el orden de la EDO, está elevada a uno.
x
e
y
dx
dy
dx
y
d
4
5
3
2
2
11. 11
Ejercicios
Determinar el grado de las siguientes ecuaciones:
a)
b)
7
3
5 2
5
2
2
2
4
4
x
dx
dy
dx
y
d
dx
y
d
3
2
2
2
6
2
2
7
dx
y
d
x
dx
dy
x
dx
y
d
NOTA: cuando alguna derivada esté dentro de un radical o en polinomio,
que a su vez esté elevado a una potencia fraccionaria, tendremos que
eliminar dicho radical para determinar el grado de la ecuación diferencial.
1
7 2
x
dx
dy
3
2
2
dx
dy
x
dx
y
d
12. 12
Ejercicios
Determinar el orden y grado de las siguientes ecuaciones
diferenciales:
a) b)
c)
d)
y
dx
dy
x
dx
y
d
5
3
3
3
5
3
3
3
3
3
8
18
dx
y
d
x
dx
y
d
dx
dy
dx
dy
x
dx
y
d
8
5
3
3
5
3
3
2
2
3
dx
y
d
x
dx
y
d
13. 13
Clasificación según la linealidad:
Se dice que una EDO de orden n es lineal si F
(en la forma general) es lineal en y, y’, y”, …, y(n).
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( 0
1
1
1
1 x
g
y
x
a
dx
dy
x
a
dx
y
d
x
a
dx
y
d
x
a n
n
n
n
n
n
0
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( 0
1
1
1
1
x
g
y
x
a
dx
dy
x
a
dx
y
d
x
a
dx
y
d
x
a n
n
n
n
n
n
O bien:
)
(
)
(
)
(
)
( 0
1
2
2
2 x
g
y
x
a
dx
dy
x
a
dx
y
d
x
a
)
(
)
(
)
( 0
1 x
g
y
x
a
dx
dy
x
a
Dos casos importantes
para nosotros serán
las EDOs lineales de
primer y segundo
orden.
14. 14
Lineal homogénea:
El término independiente g(x) es nulo.
Lineal con coeficientes constantes:
Los coeficientes a0(x),...,an(x) son constantes.
Lineal con coeficientes variables:
Enfatiza el hecho de que al menos uno de los
coeficientes a0(x),...,an(x) NO es constante.
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( 0
1
1
1
1 x
g
y
x
a
dx
dy
x
a
dx
y
d
x
a
dx
y
d
x
a n
n
n
n
n
n
15. 15
x
e
y
y
y
2
'
)
1
(
0
siny
2
2
dx
y
d
0
2
4
4
y
dx
y
d
Si no es lineal, es no lineal :-)
Ejemplos de EDOs no lineales:
El coeficiente depende de y.
Función no lineal de y.
En una EDO lineal de orden n:
1) y, y’, y”, …, y(n) son de primer grado.
2) Coeficientes a0, a1, …, dependen solo de la
variable independiente x.
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( 0
1
1
1
1 x
g
y
x
a
dx
dy
x
a
dx
y
d
x
a
dx
y
d
x
a n
n
n
n
n
n
16. 16
Ejemplos: ¿Lineales o no lineales?
1)
2)
3)
4)
5)
6)
)
(
1
)
(
1
)
(
t
V
RC
t
v
RC
dt
t
dv
s
)
( T
T
K
dt
dT
a
0
mgsen
kl
ml
y
y
x
x
dx
dy 2
2
1
)
sin(
' 2
2
3
x
y
x
y
x
y
0
y
'
y
)
y
1
(
'
'
y 2
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( 0
1
1
1
1 x
g
y
x
a
dx
dy
x
a
dx
y
d
x
a
dx
y
d
x
a n
n
n
n
n
n
17. 17
Comprobar que la función indicada es la solución de
la EDO dada en el intervalo (-, ):
(a) dy/dx = xy1/2. Solución: y = x4/16.
Solución: Existe la derivada dy/dx = x3/4 para todo x de (-, ).
(a) Lado izquierdo :
Lado derecho:
4
16
4
3
3
x
x
dx
dy
4
4
16
3
2
2
/
1
4
2
/
1 x
x
x
x
x
xy
Ejemplo: comprobación de una solución.
Y la igualdad se cumple para todo x de (-, ).
18. 18
Solución:
(b) Derivando la solución dos veces:
y' = xex + ex
y'' = xex + 2ex :
Nótese que y(x) = 0 también es solución tanto de este
ejemplo como del anterior en el intervalo (-, ).
Se conoce como solución trivial.
x
xe
y
y
y
y
;
0
2
0
)
(
2
)
2
(
2
x
x
x
x
x
xe
e
xe
e
xe
y
y
y
Ídem, para (b)
19. 19
Solución de una EDO
Cualquier función , definida en un intervalo I y con
al menos n derivadas continuas en I, que al
sustituirse en una ecuación diferencial ordinaria de
n-ésimo orden reduce la ecuación a una identidad, se
considera solución de la ecuación en el intervalo.
Siempre hemos de considerar una solución junto a su intervalo I de
definición, también llamado intervalo de existencia, de validez o
dominio de definición.
Al proceso de obtención de las soluciones de una EDO se le
denomina integración de la ecuación.
En otras palabras, posee al menos n derivadas y cumple:
I
x
x
x
x
x
F n
0
))
(
,
),
(
'
),
(
,
( )
(
20. 20
Una EDO puede tener:
Infinitas soluciones:
Una única solución:
Ninguna solución:
t
Ce
x
y
x
y
y sin
)
(
;
cos
'
0
)
(
;
0
)
'
( 2
2
x
y
y
y
0
)
'
( 2
2
x
y
21. 21
Ejemplo
Comprobar que la y = x2 + C no es solución de la ecuación
diferencial:
x
dx
dy
x
dx
dy
2
Sustituyendo el valor de la derivada encontrada en la
ecuación diferencial tenemos:
Por lo tanto y = x2 + C no es solución de la ecuación
diferencial
1
2
2
x
x
x
dx
dy
Solución
Derivando y = x2 + C tenemos
22. 22
Ejercicios Determine si cada ecuación es solución o no de
la ecuación diferencial dada:
y
x
dx
dy
x
Cx
x
y
2
2
;
0
25
);
5
cos(
)
5
( 2
2
y
dx
y
d
x
B
x
Asen
y
0
8
4
; 2
3
2
y
dx
dy
xy
dx
dy
C
x
C
y
2
4
1
2
'
'
; y
x
xy
y
Cx
C
y
senx
y
senx
dx
dy
seny
C
y
e x
cos
;
cos
1
cos
3
2
2
2
5
160
6
;
3
8 x
dx
y
d
C
x
x
y
23. 23
Ejemplo: Hagámoslo a la inversa.
Encuentre la ED cuya solución general es y = x2 + C.
Solución
Observemos que sólo aparece una constante de integración,
de manera que derivamos una sola vez la solución general
y = x2 + C. Así
Como en esta derivada no aparecen constantes de
integración, quiere decir que esta es la ED de la solución
general propuesta.
x
dx
dy
2
24. 24
Ejemplo
Encuentre la ED cuya solución general es y = C x2.
Cx
dx
dy
2
x
x
y
dx
dy
2
2
2
x
y
C
Por lo tanto:
es la ED de la solución general, puesto que ya no
aparecen constantes de integración.
x
y
dx
dy 2
Solución
Observemos que sólo aparece una constante de
integración, de manera que derivamos una sola vez la
solución general y = C x2. Así
Despejamos C de la solución general y se sustituye el valor
encontrado en la ED.
25. 25
Ejercicios Encuentra la ED de cada una de las siguientes
soluciones generales:
x
x
e
C
e
C
y
2
1
)
3
tan( C
x
y
2
2
2
2
1 C
y
C
x
26. 26
(a) y = 1/x considerada como una función, tiene
dominio de definición (-, 0) U (0, ).
Es discontinua y no diferenciable en x = 0.
(b) y = 1/x es también solución de xy’ + y = 0. Se
entiende que es solución en algún intervalo I en el
que es diferenciable y cumple la EDO. Por ejemplo,
en (0, ).
La gráfica de una solución de una
EDO se llama curva solución.
Como es una función
diferenciable, es continua en su
intervalo de definición I. Puede,
entonces, haber diferencias entre la
gráfica de la función y la solución.
Veamos un ejemplo:
Función vs solución
27. 27
Solución explícita de una EDO:
La variable dependiente está expresada solamente en
términos de variables independientes y constantes.
Por ejemplo, la solución de xy' + y = 0 en (0, ) es
y = (x) = 1/x.
Solución implícita de una EDO
Una relación G(x,y) = 0 es una solución implícita de una
EDO en un intervalo I, siempre que exista al menos una
función y = (x) que satisface tanto la relación como la
ED en I.
Veamos un ejemplo
28. 28
x2 + y2 = 25 es una solución implícita de dy/dx = − x/y en el intervalo
-5 < x < 5; puesto que al derivar de forma implícita respecto a x:
dx2/dx + dy2/dx = (d/dx)(25), 2x + 2y(dy/dx) = 0;
obtenemos la EDO: dy/dx = -x/y.
Despejando y de la solución implícita podemos encontrar dos
soluciones explícitas:
Ejemplo: Comprobación de una solución implícita.
29. 29
Familia de soluciones o solución general:
Al resolver una EDO de primer orden F(x, y, y') = 0, en
general, se obtiene una solución que contiene una
constante arbitraria o parámetro c. Una solución así,
G(x, y, c) = 0 representa en realidad a un conjunto de
soluciones, llamado familia uniparamétrica de
soluciones.
Cuando se resuelve una ED de orden n, se busca una
familia n-paramétrica de soluciones
G(x, y, c1, c2, …, cn) = 0.
Observemos que el número de constantes arbitrarias en la solución general está
determinado por el orden de la EDO.
30. 30
Solución particular: es una solución libre de
parámetros arbitrarios.
Por ejemplo : y = cx – x cos x es la solución general
de xy’ – y = x2 sin x en (-, ); una familia
uniparamétrica de soluciones.
Tomando c = 0, tenemos: y = x cos x, una solución
particular.
31. 31
Ejemplo: Sin explicitarlo, hemos visto que las variables
independientes y dependientes pueden usar símbolos
distintos a x e y. Por ejemplo:
x = c1cos(4t)
x = c2 sen(4t)
con c1 y c2 constantes o parámetros arbitrarios, son
ambas soluciones de la EDO:
x + 16x = 0.
Podemos comprobar fácilmente que la suma
x = c1cos 4t + c2 sin 4t
es también una solución.
32. 32
Podemos comprobar que la familia uniparamétrica y = cx4
es una solución de xy – 4y = 0 en (-, ).
La función definida a trozos:
es una solución particular donde elegimos c = −1 para x < 0
y c = 1 para x 0.
0
,
0
,
4
4
x
x
x
x
y
Ejemplo: solución definida por partes.
33. 33
Solución singular: Una solución que no puede
obtenerse al especificar los valores de los
parámetros de la familia de soluciones.
Por ejemplo: y = (x2/4 + c)2 es la familia de
soluciones de dy/dx = xy1/2 , sin embargo
y(x) = 0 también es una solución de la ED anterior.
No podemos encontrar ningún valor de c en la
familia de soluciones y = (x2/4 + c)2 que nos
proporcione la solución y = 0, así que llamamos a
y = 0, solución singular.
34. 34
Sistema de EDOs: dos o más ecuaciones con
las derivadas de dos o más funciones
desconocidas de una sola variable
independiente.
Ejemplo de sistema de dos ecuaciones
diferenciales de primer orden:
dx/dt = f(t, x, y)
dy/dt = g(t, x, y)
35. 35
Problemas de valores iniciales (PVI)
Encontrar la solución y(x) de una ED que además
satisfaga condiciones adicionales
en y(x) y en sus derivadas.
Ejemplo: en un intervalo I que contiene a xo
Resolver
con condiciones
A esto se le llama problema de valor inicial.
Y a las condiciones se las llama: condiciones iniciales.
)
,
,
'
,
,
( )
1
(
n
n
n
y
y
y
x
f
dx
y
d
1
0
)
1
(
1
0
0
0 )
(
,
,
)
(
'
,
)
(
n
n
y
x
y
y
x
y
y
x
y
36. 36
Resolver:
sujeta a:
Resolver:
sujeta a:
0
0 )
(
:
)
,
(
:
y
x
y
to
subject
y
x
f
dx
dy
solve
1
0
0
0
2
2
)
(
'
,
)
(
:
)
'
,
,
(
:
y
x
y
y
x
y
to
subject
y
y
x
f
dx
y
d
solve
PVIs de primer y segundo orden:
son problemas de valor inicial
de primer y segundo orden,
respectivamente. Fácilmente
interpretables de manera
geométrica, como vemos en
las figuras.
37. 37
Ejemplo:
Sabemos que y = cex es una familia
uniparamétrica de soluciones de la
EDO:
y’ = y en (-, ).
Si y(0) = 3, entonces
3 = ce0 = c. Así y = 3ex es una
solución de este problema de valor
inicial.
Si queremos una solución que pase
por (1, -2), entonces la condición es:
y(1) = -2. De modo que -2 = ce,
c = -2e-1. Y tenemos y = -(2/e)ex.
y = 3ex
y = -(2/e)ex
38. 38
Ejemplo: vimos que x = c1cos(4t) + c2sen(4t) era una
solución de x + 16x = 0.
Hallar una solución del siguiente PVI:
x + 16x = 0, x( /2) = −2, x( /2) = 1.
Solución:
Sustituimos: x( /2) = − 2 en
x = c1cos(4t) + c2sen(4t),
y obtenemos c1 = −2.
De la misma manera, a partir de x( / 2) = 1 obtenemos c2 =
¼. La solución pedida es:
x = −2 cos 4t + ¼ sen 4t
39. 39
Ejemplo: la solución de y’ + 2xy2 = 0 es y = 1/(x2 + c).
Si imponemos y(0) = -1, obtenemos c = -1.
Considérense las siguientes distinciones:
1) Como función, el dominio de y = 1/(x2 - 1)
es el conjunto de todos los números reales
excepto -1 y 1.
2) Como una solución: los intervalos de definición
mayores posibles son (-, 1),
(-1, 1) y (1, ).
3) Como un problema de valor inicial, con
y(0) = -1. El intervalo de definición mayor es (-1, 1).
40. 40
Existencia y unicidad:
¿Existe siempre una solución para un problema de
valor inicial (PVI)? Y si existe una solución, ¿es única?
Ejemplo: Ya que y = x4/16 e y = 0 satisfacen la ED
dy/dx = xy1/2 , y también el valor inicial y(0) = 0, esta ED
tiene al menos dos soluciones:
41. 41
Teorema de existencia de una solución única
Sea R la región rectangular en
el plano xy definida por
a x b, c y d que
contiene el punto (xo, yo) en su
interior. Si f(x, y) y f/y son
continuas en R, entonces
existe algún intervalo Io:
xo- h < x < xo + h, h > 0,
contenido en a x b y una
función única y(x) definida en
Io que es una solución del PVI .
Las condiciones del teorema son suficientes, pero no necesarias...
)
,
(
' y
x
f
y
42. 42
muestra que son continuas en el
semiplano superior y > 0.
Basándonos en el teorema de
existencia de una solución única,
concluimos que para cada punto
(xo, yo), con yo > 0, existe un
intervalo centrado en xo en el que
esta ED tiene una solución única.
2
/
1
2
/
1
2
y
)
,
(
y
x
y
f
xy
y
x
f
Vimos que dy/dx = xy1/2 , tenía como soluciones a
y = x4/16 e y = 0. La inspección de las funciones:
43. 43
Intervalo de existencia y unicidad
Suponiendo que y(x) es una solución de un PVI, los
siguientes conjuntos pueden no ser los mismos:
o el dominio de y(x),
o el intervalo de definición de y(x) como solución,
o el intervalo Io de existencia y unicidad.
44. 44
Empezaremos nuestro estudio de EDOs de primer orden
analizando una EDO cualitativamente.
(a) Pendientes: Debido a que la solución y(x) de
dy/dx = f(x,y) es necesariamente una función
diferenciable en I, también es continua. Así, la derivada
dy/dx= f(x,y) proporciona las pendientes de las rectas
tangentes a las curvas solución en los puntos (x,y).
(b) Elementos lineales: Suponemos que
dy/dx = f(x, y(x)). El valor f(x, y) representa la
pendiente de una recta, o un segmento de recta
que llamaremos elemento lineal.
Curvas solución "sin una solución"
dy/dx = 0.2 xy = f(x, y)
45. 45
Si para la EDO dy/dx = f(x, y) se evalúa f en una
red o malla de puntos rectangular en el plano xy,
y se dibuja un elemento lineal en cada nodo (x, y)
de la malla con pendiente f(x, y), obtenemos el
campo de direcciones o campo de pendientes.
Campo de direcciones
46. 46
Ejemplo: El campo de direcciones de
dy/dx = 0.2 xy está representado en la figura (a).
Compárese con la figura (b) donde se han
representado unas curvas de la familia de soluciones.
47. 47
Ejemplo: Use un campo de direcciones para dibujar
una curva solución aproximada para dy/dx = sen y,
con y(0) = −3/2.
Solución:
Apelando a la continuidad de f(x, y) =
sen y y f/y = cos y, el teorema de
existencia y unicidad garantiza la
existencia de una única curva solución
que pasa por algún punto
especificado en el plano. Ahora
dividimos la región que contiene a (-
3/2, 0) en una malla rectangular.
Calculamos el elemento lineal de cada
nodo para obtener la siguiente figura:
48. 48
EDs de primer orden autónomas
dy/dx = f(y)
Una EDO en la que la variable independiente no
aparece de manera explícita es autónoma.
Nota: Recordemos que si dy/dx > 0 para todo x de I, entonces y(x) es
creciente en I. Y si dy/dx < 0 para todo x de I, entonces y(x) es
decreciente en I.
49. 49
Los ceros de f en la EDO autónoma dy/dx = f(y) son
puntos especialmente importantes.
Si f(c) = 0, c es un punto crítico, punto de equilibrio
o punto estacionario.
Si sustituimos y(x) = c en dy/dx = f(y), obtenemos 0 =
0, de modo que si c es un punto crítico, entonces y(x)
= c es una solución de dy/dx = f(y).
Una solución y(x) = c constante, se llama solución de
equilibrio. Los equilibrios son las únicas soluciones
constantes de dy/dx = f(y).
Puntos críticos
50. 50
Ejemplo: La siguiente ED, dP/dt = P (a – bP)
donde a y b son constantes positivas, es autónoma.
De f(P) = P (a – bP) = 0, obtenemos las
soluciones de equilibrio: P(t) = 0 y P(t) = a/b.
Colocamos los puntos críticos en una recta
vertical (recta fase), que la divide en tres
intervalos.
Las flechas en la figura indican el signo
algebraico de f(P) = P (a – bP) en ese intervalo.
Si el signo es positivo o negativo, entonces P es
creciente o decreciente en este intervalo.
51. 51
Curvas solución
Si garantizamos la existencia y unicidad de la EDO
autónoma dy/dx = f(y), (f y f son continuas en un
intervalo I), por cada punto (x0, y0) en R, pasa una
sola curva solución.
52. 52
Supongamos que la EDO autónoma presenta dos puntos
críticos, c1, y c2, tales que c1 < c2. Las gráficas de las soluciones
de equilibrio y(x) = c1, y(x) = c2 son rectas horizontales y dividen
R en tres regiones, a los que podemos llamar R1, R2 y R3 como
en la figura.
53. 53
(3) Como dy/dx = f(y(x)) es o positiva o
negativa en Ri, cualquier solución y(x)
es monótona en Ri.
(4) Si y(x) está acotada superiormente
por c1, (y(x) < c1), la gráfica de y(x) se
aproximará a la solución de equilibrio
y(x) = c1 cuando x o x -. Si
está acotada c1 < y(x) < c2, se
aproximará a y(x) = c1 e y(x) = c2.
cuando x o x -. Y por último,
si está acotada inferiormente,
c2 < y(x) , se aproximará a y(x) = c2
cuando x o x -. .
(1) Si (x0, y0) está en Ri, i = 1, 2, 3, una solución y(x) que pasa por (x0, y0),
permanecerá en la misma subregión.
(2) Por continuidad de f , f(y) es mayor o menor que cero y no puede
cambiar de signo en una subregión.
54. 54
P = 0 y P = a/b son dos
puntos críticos, por tanto
tenemos tres intervalos
para P:
R1 : (-, 0)
R2 : (0, a/b)
R3 : (a/b, )
Sea P(0) = P0. Cuando una
solución pasa por P0,
tenemos tres tipos de
curvas solución
dependiendo del
intervalo al que pertenece
P0.
En el ejemplo dP/dt = P (a – bP):
55. 55
La ED dy/dx = (y – 1)2 tiene un único punto crítico y = 1.
Desde la gráfica, llegamos a la conclusión de que una
solución y(x) es creciente en
- < y < 1 y 1 < y < , donde - < x < .
56. 56
(a) Cuando ambas flechas apuntan a c, y(x) se aproximará a c. Este
tipo de punto crítico se denomina asintóticamente estable. El
punto c se denomina atractor.
(b) Cuando ambas flechas no apuntan a c, y(x) se alejará de c. Este
tipo de punto crítico se denomina inestable. El punto c se
denomina repulsor o repulsivo.
Atractores y repulsores: hay tres tipos de comportamiento que
y(x) puede exhibir en las cercanías de un punto crítico c.
(c) y (d) Cuando y0 a un lado de c es atraído por c y repelido por el otro lado.
Este tipo de puntos críticos se denomina semiestables.
57. 57
EDO autónomas y campos de direcciones
La figura muestra el
campo de direcciones de
dy/dx = 2y – 2.
Podemos observar que los
elementos lineales que
pasan por los puntos de
cualquier recta horizontal
mantienen la pendiente.
Recordemos que una EDO autónoma es de la forma
dy/dx = f(y), y las pendientes sólo dependen de y.