Este documento presenta una guía sobre métodos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias. Introduce conceptos básicos como definiciones de ecuaciones diferenciales, soluciones, intervalos de solución y problemas de valor inicial. Explica el Método de Euler y el Método de Euler Mejorado para aproximar numéricamente las soluciones. Finalmente, incluye actividades de resolución de ecuaciones diferenciales y una bibliografía de referencia.

1. UNIVERSIDAD DE SUCRE Programa Ingeniería Civil Guía de Clases: Métodos Numéricos
Métodos Numéricos para la solución de Ecuaciones diferenciales Ordinarias, EDO
Preliminares: conceptos básicos de EDO.
Definición 1. Ecuación diferencial: Una ecuación que contiene derivadas de una o más variables
respecto a una o más variables independientes, se dice que es una ED. Ejemplos:
Y’’ + Y’ – 2X = eX Ecuación diferencial Ordinaria de orden 2
Dxf(x,y) + Dyf(x,y) = 1 Ecuación diferencial parcial de orden 1
A las ecuaciones diferenciales que contienen derivadas ordinarias, de x, las denominaremos,
ecuaciones diferenciales ordinarias, EDO.
Simbólicamente podemos expresar una ecuación diferencial ordinaria de n-ésimo orden con una
variable independiente por la fórmula general:
F( x, y, y’, y’’,…….,yn) = 0
Definición 2. Solución de una EDO: cualquier función Ф, definida en un intervalo I y que tiene al
menos n derivadas continuas en I, las cuales cuando se sustituyen en una ecuación diferencial
ordinaria de n-ésimo orden reducen la ecuación a una identidad, se dice que es una solución de la
ecuación en el intervalo.
Simbólicamente F(x, Ф(x),Ф’(x), ……….,Фn(x)) = 0
Definición 3. Intervalo de solución: El intervalo I de definición de una EDO, es aquel en donde la
solución Ф y sus n-derivadas son continuas.
Definición 4. La grafica de una solución Ф de una EDO se llama curva solución.
Definición 5. Familia de Soluciones: cuando resolvemos una EDO de orden n, F(x, y, y’,y’’, …yn) =0,
buscamos una familia de soluciones n-paramétrica G(x, y ,C1, C2, ….., Cn) = 0 Esto significa que una
EDO puede tener un número infinito de soluciones.
Definición 6. Problema de Valor inicial, PVI, de una EDO de primer Orden
Consiste en resolver una EDO de la forma Y’=f(x,y); tal que Y(Xo)=Yo.
El problema de valor inicial Y’=f(x,y); Y(Xo)=Yo, se dice que está bien planteado en un dominio D
del plano XY si y solamente si para cada (Xo,Yo)ϵD, hay una y solamente una función Y(X) que pasa
por (Xo,Yo) y satisface Y’=f(X,Y), en D.

2. Teorema de Existencia y Unicidad de soluciones de un PVI
Los aspectos relacionados con existencia, unicidad y estabilidad no son considerados en
esta guía, lo cual debe consultarse en libros de EDO1 y Análisis Numérico2. Aquí
analizaremos problemas EDO, que satisfacen: continuidad, diferenciabilidad y condición
de Lipschitz, que se requieren para la existencia y unicidad de soluciones; además las
EDO, no serán del tipo Stiff.
ACTIVIDAD 1. Resuelva la EDO Y’ = Y, en I=[-1,1]
a. Analíticamente, b. Graficar las soluciones particulares C2= -1, 0 ,1
a. Analítica: ln(Y) =X + C1 , y = eX+C1
= eX eC1 ; función solución Y = C2 eX , I = [-1,1]
b. Grafica de soluciones: y1= -ex; y2=0ex; y3= 1ex
x=-1:0.01:1; y1=-1*exp(x); plot(x,y1);y2=0*exp(x);plot(x,y2,"r");y3=1*exp(x); plot(x,y3)
ACTIVIDAD 1. Resuelva el PVI: Y’ = Y; Y(0)=1; sobre I=[-1,1]
a. Analíticamente: y =ex
b. Utilizando comando ode en Scilab:
En el Editor
function Dy=func158(x, y); Dy = y; endfunction
x0 =-1 ;y0 = exp(-1); x = -1:0.1:1; yt = ode(y0, x0, x, func158); plot(x,yt,".")

3. Graficas de la solución analítica y numérica, aproximada con ode:
METODOS NUMERICOS PARA LAS EDO
No todos los problemas de valor inicial pueden resolverse explícitamente; con frecuencia es
imposible hallar una fórmula que represente la solución y(t). En consecuencia, es necesario
disponer de métodos que aproximen la solución de problemas que surgen de la ciencia y la
ingeniería.
1. METODO DE EULER
Método de Euler: Resuelve de modo aproximado el PVI: y’ =f(x,y); y(x0) = y0 , mediante la
formula de iteración:
Yn+1 = Yn + h*f(Xn ,Yn), Xn = X0 +n*h; n: 0,1,2……..,n; nϵZ+

4. SCRIPT METODO DE EULER
// METODO DE EULER para la ecuación diferencial; y’ = f(x,y);y(x0) = y0
// en intervalo [x0, xf]
// n = número de subintervalos
// Y, X serán vectores fila de n+1 elementos
// Y contendrá las aproximaciones de y(x0) y(x0+h) y(x0+2h) ... y(xf)
// con h = (xf-x0)/n
// X contendrá los valores x0,x0+h, x0+2h, ...,xf
function [Y, X]=EulerH(x0, y0, xf, n)
h = (xf-x0)/n
X = zeros(1,n+1)
Y = X
X(1) = x0; Y(1) = y0
xi = x0; yi = y0
for i=1:n
yi = yi + h*(yi) // Iteración de Euler
xi = xi+h
Y(i+1) = yi
X(i+1) = xi
end
plot(X,Y,"o") // grafica de la Solución numérica
x=x0:h:xf; y=exp(x);plot(x,y) // Grafica de la solución Exácta.
endfunction
X 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
Y 1.00 1.10 1.21 1.33 1.46 1.61 1.77 1.95 2.14 2.36 2.59

5. ACTIVIDADES:

6. 2. METODO DE EULER MEJORADO
Yn+1 = Yn + (h/2)(f(Xn , Yn) + f(Xn+1 , Y*n+1) ;
Y*n+1 = Yn +hf(Xn , Yn) n:0 , 1, 2,…….N; NϵZ+
BIBLIOGRAFIA
Métodos Numéricos con Matlab. John H. Mathews , Kurtis D. Fink. Edición 3ra. 2000.
Editorial Printece Hall.

7. Métodos Numéricos para Ingenieros. Steven Shapra, Raymond Canale. Edición 5ta.
2002, Editorial Mc. Graw Hill.
http://personal.us.es/echevarria/documentos/ApuntesScilab.pdf