Este documento explica cómo calcular los eigenvectores de una matriz. Primero se propone la forma general de un eigenvector y luego se multiplica la matriz por el eigenvector para obtener ecuaciones cuya solución proporciona los componentes del eigenvector. Se incluyen dos ejemplos para ilustrar el proceso de cálculo de eigenvectores para matrices 2x2 y 3x3. Finalmente se proponen dos ejercicios para practicar el cálculo de eigenvectores.

1.
CALCULO DE LOS EIGENVECTORES
Una vez calculado los eigenvalores procedemos a calcular los eigenvectores. Se plantea un
eigenvector de la siguiente forma (en el caso de una matriz de 2x2):
Donde los valores a encontrar son los valores y . El eigenvector cumple la siguiente condición:
la cual nos da la siguiente ecuación matricial:
0
esta ecuación tiene las restricciones que cumplen los valores y .
EJEMPLO 1
Encontrar los eigenvectores de la matriz:
1 4
3 5
En la sección anterior se encontró que los eigenvalores son 1 y 7. Cada uno de estos
eigenvalores tiene un conjunto de eigenvectores correspondientes. Como se trata de una matriz
2x2, el eigenvector propuesto tiene que tener dimensiones 2x1:
Para el primer eigenvalor :
1 4
1
3 5
Multiplicando:
4
3 5
De esta forma:
4 0 2 4 0
, .
3 5 0 3 6 0
y nos da las siguientes ecuaciones:
2 4 0
3 6 0
Dr. Juan M. Camacho jmcamacho@itescam.edu.mx

2.
que nos da: 2 . para ambas ecuaciones. Entonces el eigenvector está formado de la
siguiente forma:
2 2
.
1
En forma general el valor de puede ser cualquier valor real. Así entonces un eigenvector
correspondiente a 1 es:
2
.
1
Para el segundo eigenvalor :
1 4
7
3 5
Multiplicando:
4 7
3 5 7
De esta forma:
4 7 0 6 4 0
, .
3 5 7 0 3 2 0
y nos da las siguientes ecuaciones:
6 4 0
3 2 0
que nos da: . para ambas ecuaciones. Entonces el eigenvector está formado de la
siguiente forma:
2 2
3 3 .
1
En forma general el valor de puede ser cualquier valor real. Así entonces un eigenvector
correspondiente a 7 es:
2/3
.
1
Otro vector que pertenece a la familia es cuando 3.
2
.
3
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3.
Cualquiera de estos dos eigenvectores son los correspondientes a 7.
EJEMPLO 2
Encontrar los eigenvectores de la matriz:
1 2 1
1 0 1
4 4 5
En la sección anterior se encontró que los eigenvalores son 1, 2 y 3. Cada uno de
estos eigenvalores tiene un conjunto de eigenvectores correspondientes. Como se trata de una
matriz 3x3, el eigenvector propuesto tiene que tener dimensiones 3x1:
Para el primer eigenvalor :
1 2 1
1 0 1 1
4 4 5
Multiplicando:
2
4 4 5
De esta forma:
2 0
0
4 4 5 0
2 0
0
4 4 4 0
y nos da las siguientes ecuaciones:
2 0
0
4 4 4 0
De las cuales la segunda y la tercera son equivalentes. La primera nos da: 2 . sustituyendo
en la segunda ecuación, tenemos:
2 0
Entonces:
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4.
Entonces el eigenvector está formado de la siguiente forma:
1
1
2 2
En forma general el valor de puede ser cualquier valor real. Así entonces un eigenvector
correspondiente a 1 es:
1
1
2
Para el segundo eigenvalor :
1 2 1
1 0 1 2
4 4 5
Multiplicando:
2 2
2
4 4 5 2
De esta forma:
2 2 0
2 0
4 4 5 2 0
2 0
2 0
4 4 3 0
y nos da las siguientes ecuaciones:
2 0
2 0
4 4 3 0
De las cuales la primera y la segunda son equivalentes. Multiplicando la primera por cuatro y
sumándola con la tercera nos da:
4 8 4 0
4 4 3 0
4 0
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5.
Así:
4
Sustituyendo en la segunda ecuación, tenemos:
2 2 4 2 0
Entonces:
2
Entonces el eigenvector está formado de la siguiente forma:
2 2
1
4 4
En forma general el valor de puede ser cualquier valor real. Así entonces un eigenvector
correspondiente a 2 es:
2
1
4
Para el tercer eigenvalor :
1 2 1
1 0 1 3
4 4 5
Multiplicando:
2 3
3
4 4 5 3
De esta forma:
2 3 0
3 0
4 4 5 3 0
2 2 0
3 0
4 4 2 0
y nos da las siguientes ecuaciones:
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6.
2 2 0
3 0
4 4 2 0
De las cuales la primera y la tercera son equivalentes. Multiplicando la segunda por 4 y
sumándola con la tercera nos da:
4 12 4 0
4 4 3 0
8 2 0
Así:
4
Sustituyendo en la segunda ecuación, tenemos:
3 3 4 0
Entonces:
Entonces el eigenvector está formado de la siguiente forma:
1
1
4 4
En forma general el valor de puede ser cualquier valor real. Así entonces un eigenvector
correspondiente a 3 es:
1
1
4
EJERCICIO 1.
En la sección anterior se encontró que los eigenvalores de la siguiente matriz
8 2 2
3 3 1
24 8 6
son 2 y 1. Encuentre los eigenvectores correspondientes.
R. Los eigenvectores correspondientes a 2 son:
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7.
1 1 2
0 y 3 , el correspondiente a 1 es 1
3 0 8
EJERCICIO 2.
En la sección anterior se encontró que los eigenvalores de la siguiente matriz
2 2
1 5
son 3 y 4. Encuentre los eigenvectores correspondientes.
2
R. El eigenvector correspondientes a 3 es . El eigenvector correspondiente a 4 es
1
1
.
1
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