Este documento describe los valores y vectores propios de una matriz cuadrada A. Define valores y vectores propios, y explica cómo calcularlos. También cubre la diagonalización de matrices, incluyendo que una matriz es diagonalizable si tiene un conjunto de vectores propios linealmente independientes, y que puede escribirse como A = SDS-1.

1. Valores y Vectores Propios
En todo lo que sigue A es una matriz cuadrada.
1. Propiedades b´sicas.
a
´
Definicion:
• El escalar λ es valor propio de A si existe v = 0 tal que Av = λv .
• El vector v es vector propio de A asociado a λ si Av = λv .
Teorema: (m´todo para calcular valores y vectores propios para matrices concretas)
e
• El escalar λ es valor propio de A si y s´lo si det(A − λI) = 0 .
o
• El vector v es vector propio de A asociado a λ si (A − λI)v = 0 .
Demostraci´n (s´lo la parte 2):
o o
Av = λv ⇐⇒ Av − λv = 0 ⇐⇒ (A − λI)v = 0.
Obs´rvese que Av = λv ⇐⇒ Av − λv = 0 ⇐⇒ (A − λ)v = 0 es incorrecto. ¿Por qu´?
e e
Ejemplo: Calcular los valores y vectores propios para la matriz
4 −5
A= .
2 −3
Solucion: Primero se calculan los valores propios:
´
4−λ −5 λ = −1,
det(A − λI) = = (4 − λ)(−3 − λ) + 10 = λ2 − λ − 2 ⇒
2 −3 − λ λ = 2.
Con lo cual obtenemos dos valores propios: λ1 = −1, λ2 = 2.
Buscamos ahora los correspondientes vectores propios:
• Para λ = −1:
5 −5 x 0 1
[A − (−1)I)]v = 0 → = → x = y → m´ltiplos de
u .
2 −2 y 0 1
El sistema obtenido tiene una infinidad de soluciones.
• Para λ = 2 (Ejercicio). Debe salir m´ltiplos de [5, 2]t . Nuevamente el sistema obtenido
u
tiene una infinidad de soluciones.
Observaciones:
• Se puede demostrar que det(A − λI) es un polinomio cuyo grado coincide con el tama˜o
n
ıstico. Como mucho tiene n ra´
de la matriz A; sea n. Se llama polinomio caracter´ ıces
distintas.
1

2. • Como puede verse del ejemplo anterior, a un valor propio le corresponden una infinidad
de vectores propios. En otras palabras: si λ es valor propio, el sistema (A − λI)v = 0
tiene siempre infinitas soluciones.
En Matlab:
A=[4 -5;2 -3];
eig(A)
[V, D]=eig(A);
1 1
Ejercicio: Puede haber valores y vectores propios complejos: .
−1 1
 
1 1 0
Ejercicio: Puede haber menos valores propios “de lo normal”:  1 1 0 .
0 0 0
Ejercicio: ¿C´mo “calcular” los valores propios de una matriz triangular?
o
Ejercicio:
• Relaci´n entre los valores propios de A y αA para un escalar α no nulo.
o
• Relaci´n entre los valores propios de A y A2 .
o
• Si A2 = 0, h´llense los posibles valores propios de A.
a
• Si A2 = A, h´llense los posibles valores propios de A.
a
Observacion: Supongamos que A es una matriz real. Si A tiene un valor propio complejo
´
λ, entonces existe v = 0 tal que Av = λv. De aqu´ se deduce que Av = λv, o de forma
ı
equivalente Av = λv y como A es real, entonces Av = λv.
¿Qu´ importancia pr´ctica tiene esta ultima igualdad? (No olvidemos que si A es real, su
e a ´
polinomio caracter´ıstico es real, y por tanto sus ra´
ıces complejas est´n “emparejadas”: si µ
a
es una ra´ compleja, entonces µ es otra ra´
ız ız.
2. Diagonalizaci´n.
o
Definicion: Una matriz A de orden n es diagonalizable si existen v1 , . . . , vn vectores
´
propios linealmente independientes.
Factorizacion espectral: Supongamos que A es diagonalizable y sean v1 , . . . , vn
´
vectores propios linealmente independientes asociados a λ1 , . . . , λn respectivamente (observe
que Avi = λi vi ). Formamos
 
λ1 · · · 0
 
| |
D =  . . . . .  (diagonal)
 . . 
S =  v1 . . . vn  matriz n × n, . .
| | 0 · · · λn
2

3. Ahora se tiene (matrices por bloques)
AS = A v1 . . . vn = Av1 . . . Avn = λ 1 v1 . . . λ n vn
y  
λ1 · · · 0
 . .. . =
SD = v1 . . . vn  .. . . 
. λ 1 v1 . . . λ n vn .
0 ··· λn
Luego AS = SD. Se puede probar que S es siempre invertible, luego
A = SDS −1
 
1 1 0
Ejemplo: A =  1 1 0 .
0 0 0
Ejercicio: Si A es diagonalizable, entonces det(A) = producto de los valores propios.
2 1
Desgraciadamente, no todas las matrices son diagonalizables: Ejemplo, A = .
0 2
Multiplicidad algebraica y geom´trica. Ejemplos.
e
Teoremas:
• Una matriz A es diagonalizable si y s´lo si m.a.(λ) = m.g.(λ) para todo valor propio λ.
o
• m.g.(λ) ≤ m.a.(λ) para todo valor propio λ.
Ejercicio:
• Si m.a.(λ) = 1, entonces m.g.(λ) = 1.
• Si todos los valores propios de A tienen multiplicidad algebraica simple, entonces A es
diagonalizable.
Ejemplo: ¿Para qu´ valores de a y b la matriz A = ∗ ∗ ∗ es diagonalizable?
e
3. Diagonalizaci´n de matrices sim´tricas.
o e
Una matriz sim´trica de orden n tiene valores propios reales y n vectores propios ortog-
e
onales que siempre se pueden convertir en ortonormales (se pueden demostrar estas afirma-
ciones).
Se puede probar que si las columnas de S son ortonormales, entonces S −1 = S t (una
matriz que cumple esta propiedad se llama matriz ortogonal). Por tanto:
A = SDS t
 
1 1 0
1 2
Ejemplos: A = , B =  1 1 0 .
2 1
0 0 0
3