Este documento describe la evolución de los sistemas de numeración, desde los antiguos sistemas basados en potencias de 10 hasta los sistemas posicionales como el decimal y el binario. Explica que el sistema binario utiliza solo los dígitos 0 y 1 y provee ejemplos de cómo representar números decimales en binario y realizar operaciones como suma y resta en este sistema.

1. Sistemas de numeración
En la antigüedad los sistemas de numeración en general se construían
alrededor de las potencias de 10. Por ejemplo el sistema de
numeración utilizado por Arquímedes era:
A 1 J 10 S 100
B 2 K 20 T 200
C 3 L 30 U 300
D 4 M 40 V 400
E 5 N 50 W 500
F 6 O 60
G 7 P 70
H 8 Q 80
I 9 R 90

2. Sistemas de numeración
Así entonces el número 134 era expresado como SLD , utilizando
obviamente letras griegas y no latinas como la tabla que estamos
utilizando
Estos sistemas eran muy útiles a la hora de expresar cifras cuando se
trabajaba con elementos físicos para contar unidades como por
ejemplo un ábaco
Pero estos sistemas tenían la gran desventaja de poder expresar
operaciones como las que podemos estar acostumbrados/as a
realizar nosotros/as utilizando lápiz y papel.

3. Sistemas de numeración
Para la resolución del problema recién mencionado , surgieron los
sistemas de numeración posicionales.
Estos fueron popularizados en Europa alrededor del año 1200 por
Leonardo de Pisa, conocido como Fibonacci
Se piensa que Fibonacci basó sus trabajos en los trabajos escritos en
árabe por al-Khwârizmi (nombre que da origen a la palabra
algoritmo) , realizados alrededor del año 820.
El sistema decimal al que estamos acostumbrados y los que veremos
en este curso, son sistemas de numeración posicionales

4. Sistema Binario
Conocer el sistema binario es importante porque la arítmetica de los
computadores está basado en él
El sistema binario utiliza sólo dos dígitos el 0 y el 1
Todos los números binarios se expresan como una combinación de
éstos dos dígitos Ej: 010 , 1111000011
Obviamente podríamos expresar un número binario sin utilizar los
dígitos de la numeración arábiga, utilizando cualquier referencia de
sólo dos estados. Por ejemplo : 101 ó xyx ó | - |

5. Sistema Binario
Podemos entonces hacer una tabla que nos permita ver la relación de
los primeros 16 números decimales con sus pares binarios:
0=0
1=1
2 = 10
3 = 11
4 = 100
5 = 101
6 = 110
7 = 111
8 = 1000
9 = 1001
10 = 1010
11 = 1011
12 = 1100
13 = 1101
14 = 1110
15 = 1111

6. Sistema Binario
Suma :
por ser un sistema posicional , tendremos acarreo tal como lo tenemos
en nuestro sistema decimal:
0+0→0
0+1→1
1+0→1
1 + 1 → 0, acarreo 1 (ya que 1 + 1 = 0 + 1 × 10 en binario)
esto es lo mismo que sucede cuando sumamos en el sistema decimal
5 + 5 → 0, acarreo 1 (ya que 5 + 5 = 0 + 1 × 10)
7 + 9 → 6, acarreo 1 (ya que 7 + 9 = 6 + 1 × 10)

7. Sistema Binario
Resta :
como sabemos restar es sumar el opuesto de un número al otro, por lo
tanto tenemos que plantearnos cómo vamos a representar los
números negativos en el sistema binario
Nosotros vamos a ver la llamada representación del complemento a
dos . Este sistema tiene la ventaja de permitir que la circuitería
aritmética sea más simple y además que el 0 tenga una
representación única.

8. Sistema Binario
Ejemplos :
trabajando con números de 8 bits
bit
signo
0 1 1 1 1 1 1 1 = 127
0 1 1 1 1 1 1 0 = 126
0 0 0 0 0 0 1 0 = 2
0 0 0 0 0 0 0 1 = 1
0 0 0 0 0 0 0 0 = 0
1 1 1 1 1 1 1 1 = −1
1 1 1 1 1 1 1 0 = −2
1 0 0 0 0 0 0 1 = −127
1 0 0 0 0 0 0 0 = −128

9. Sistema Binario
Cómo hacemos la conversión ?
El método que vamos a usar es :
dado el valor absoluto de un número que queremos expresar como
negativo, lo escribimos en binario con tantos bits como sea
necesario para que el más significativo sea 0. Por ejemplo si
queremos expresar el -17 . Tomamos el valor absoluto que es 17 y
lo escribimos en binario:
10001
pero de manera que el más MSB sea 0 , entonces :
010001

10. Sistema Binario
Luego cambiamos los 1's por 0's y los 0's por 1's
010001 -> 101110
esa sería la representación del complemento a la base -1 del número
en cuestión. A ese resultado le sumamos 1 :
101110 + 1 = 101111
el resultado obtenido es la representación en complemento a 2 del 17
que estábamos buscando

11. Sistema Binario
Si queremos hacer una verificación del resultado, podemos hacer lo
siguiente :
101111 = -1x25+0x24+1x23+1x22+1x21+1x20 = -17