Este documento define los conceptos de espacio vectorial y producto interno. Un espacio vectorial es un conjunto de vectores con operaciones de suma y multiplicación por escalares que cumplen ciertas propiedades. Un producto interno es una función que asigna un escalar al producto de dos vectores y cumple propiedades como linealidad y positividad. Se proveen ejemplos como el producto interno canónico en Rn y Cn y se analizan propiedades de productos internos en ejercicios.

1. ESPACIO VECTORIAL
CON PRODUCTO
INTERNO Y SUS
PROPIEDADES
DIEGO JULIO JIMÉNEZ
JOAQUIN MARTÍNEZ RÚIZ
3ER Semestre

2. Que es espacio vectoral?
Un espacio vectorial real V es un conjunto de objetos,
denominados vectores, junto con dos operaciones binarias
llamadas suma y multiplicación por un escalar y que satisfacen los diez
axiomas enumerados a continuación.

3. Un espacio vectorial es una terna (V, +, ·), donde V es un conjunto no vac´ıo y
+, · son dos operaciones del tipo + : V × V → R, · : R × V → V a las que
llamaremos ’suma de vectores’ y ’producto por escalares respectivamente y con
las siguientes propiedades: denotando +(u, v) = u + v y ·(λ, v) = λv,
1. u + (v + w)=(u + v) + w, ∀u, v, w ∈ V (asociativa).
2. u + v = v + u, ∀u, v ∈ V (conmutativa).

4. 3. Existe e ∈ V tal que e + v = v + e = v, ∀v ∈ V (elemento neutro).
4. Para cada v ∈ V existe w tal que v + w = w + v = e (elemento
opuesto).
5. λ(µv)=(λµ)v, ∀v ∈ V , ∀λ, µ ∈ R (seudo-asociativa).
6. λ(u+v) = λu+λv y (λ+µ)v = λv +µv, ∀u, v ∈ V y ∀λ, µ ∈ R (distributiva).
7. 1v = v,∀v ∈ V (unimodular).
De forma abreviada, diremos que V es un espacio vectorial. A los
elementos de V lo llamamos vectores y a los de R, escalares.

5. Producto interno
Sea V un espacio vectorial sobre R (respectivamente C). Un producto interno sobre V es
una función Φ : V × V → R (respectivamente C) que cumple:
• Para cada α ∈ R (respectivamente C), y v, w, z ∈ V
• Φ(v + w, z) = Φ(v, z) + Φ(w, z)
• Φ(α.v, z) = α. Φ(v, z)
• Φ(v, w) = Φ(w, v) ∀ v, w ∈ V .
(Notar que esta condición implica que para cada v ∈ V , Φ(v, v) = Φ(v, v), es decir que
Φ(v, v) ∈ R.)
• Φ(v, v) > 0 si v 6= 0.
• Notación. Si Φ es un producto interno, escribiremos Φ(v, w) = hv, wi.

6. OBSERVACIONES

8. Ejemplo
Se puede comprobar que las funciones Φ definidas a continuaci´on son productos
internos sobre los espacios vectoriales correspondientes: •
• Producto interno canónico en R n:
Φ((x1, . . . , xn),(y1, . . . , yn)) = x1y1 + · · · + xnyn.
• Producto interno canónico en C n:
Φ((x1, . . . , xn),(y1, . . . , yn)) = x1y1 + · · · + xnyn.

9. Dada B ∈ C m×n, denotamos por B∗ ∈ C n×m a la matriz transpuesta
conjugada de B, es decir, a la matriz definida por (B∗ )ij = Bji. Se define Φ : C
m×n × C m×n → C como
Φ(A, B) = tr(A.B∗ ).
Si a < b ∈ R y C[a, b] = {f : [a, b] → R / f continua}, se define Φ : C[a, b]×C[a, b]
→ R como
Φ(f, g) = 𝑎
𝑏
f(x)g(x)dx.
Dado un espacio vectorial V es posible definir distintos productos internos sobre
V . En el ejemplo siguiente veremos una familia de productos internos en R 2 .

10. Ejercicio 1
Sea V= (3, 2, 0) U= (-1, -2, 8) W= (0, 5, -9) ƐIR³ con el producto interno
usual , calcular;
<v, w> b) <v, u> c) <w,w> d) <v, u+w>
a) < (3, 2, 0), (0, 5, -9) > = 0+10+0 = 10
b) < (3, 2, 0), (-1, -2, 8) > = 3+(-4)+0 = -7
c) < (0, 5, -9), (0, 5, -9) > = 0+25+81= 106
d) U+W= (-1, -2, 8) + (0, 5, -9) = (-1, 3, -1)
< (3, 2, 0), (-1, 3, -1) > = -3+6+0 = 3

11. Ejercicio 2
Sea V=(v₁, v₂), W=(w₁, w₂) ƐIR² decidir si la función <v,w>= 8V₁ W₁ 3v₂
w₂ define un producto interno.
1<v,v> = 8vv- 3v₁ v₂ = 8𝑣1
2
− 3𝑣2
2
Contraejemplo
V= (0, 1)
<v,v> =(8 ,0, 0) – (3, 1, 1)= 0 – 3= -3 < 0
La primera propiedad no cumple, por lo tanto la función o es producto
interno.