El documento define los espacios vectoriales, describiendo sus características, operaciones y axiomas fundamentales. Se presentan ejemplos de espacios vectoriales, como el espacio de matrices y los polinomios, así como propiedades específicas del cuerpo matemático subyacente. Además, se enfatiza la relación entre los espacios vectoriales y los cuerpos, argumentando que todo cuerpo es un espacio vectorial sobre sí mismo.

1. ESPACIOS
VETORIALES
Msc Jennifer Irene Castillo

2. DEFINICIÓN
Un espacio vectorial es un conjunto no vacío E de objetos,
llamados vectores.
Diremos que E es un Espacio Vectorial (e.v.) en un cuerpo Κ
en el que se han definido dos operaciones: la suma y el
producto por un escalar (número real) sujetas a los diez
axiomas que se dan a continuación. Los axiomas deben ser
válidos para todos los vectores 𝑢, 𝑣 y 𝑤 en E y todos los
escalares 𝛼 y 𝛽 reales.
Llamamos 𝑢+𝑣 a la suma de vectores en 𝑉, y 𝛼𝑣 al producto de
un número real 𝛼 por un vector 𝑣 ∈ E.

3. CUERPO K
Un cuerpo es una entidad matemática para la
cual la adición, sustracción, multiplicación y
división están bien definidas. Los campos más
conocidos son el campo de los números
racionales, el campo de los números reales y el
campo de los números complejos.

4. La Suma es Asociativa:
∀ 𝑢, 𝑣, 𝑤 ∈ 𝐸: (𝑢+𝑣)+𝑤=𝑢+(𝑣+𝑤)
La Suma es Conmutativa:
∀ 𝑢, 𝑣 ∈ 𝐸 ∶ 𝑢+𝑣=𝑣+𝑢
La Tiene Elemento Neutro:
∀ 𝑣, ∈ 𝐸, ∃ 𝜃 𝑒𝑠 ú𝑛𝑖𝑐𝑜 ∈ 𝐸: v+ 𝜃 =𝜃 + 𝑣 =𝑣
La Suma tiene Elemento Simétrico:
∀ 𝑣, ∈ 𝐸, ∃ − 𝑣 ∈ 𝐸: v+(–v)=(–𝑣)+𝑣= 𝜃

5. El Producto es Asociativo Mixto:
∀𝛼, 𝛽 ∈ 𝒦,∀𝑢 ∈ Ε ∶ (𝛼𝛽)u= 𝛼(𝛽u)
El Producto es Distributivo respecto a la suma en K:
∀ 𝛼, 𝛽 ∈ 𝒦, ∀ 𝑣 ∈ 𝐸, ∶ (𝛼+𝛽)𝑣=𝛼𝑣+𝛽𝑣
El Producto es Distributivo respecto a la suma en E:
∀ 𝛼 ∈ 𝒦, ∀ 𝑢, 𝑣 ∈ 𝐸, ∶ 𝛼(u+v)=𝛼u+ 𝛼v
El 1 ∈ k es Elemento Neutro, PARA EL PRODUCTO EXTERNO/
PROPIEDA MODULAR:
∀ 𝑣 ∈ 𝐸, 1𝑣 = 𝑣

6. OBSERVACIONES
1.A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores
(Los Elementos de E).
2.A los elementos del cuerpo K se les llama escalares.
3.Los Vectores E seran denotados con letras minúsculas, a,b,c…,
x,y,z.
4.Los Escalares en K se denotarán con letras griegas:
𝜶, 𝜷, 𝝀, 𝜹, 𝜺, 𝝁, 𝜮.
5.Al elemento Neutro de la Suma 𝜽 se le llama vector Nulo

7. Si E es un espacio vectorial sobre K y 𝜃 es el vector nulo de E,
entonces se tienen las siguientes propiedades.
Propiedad 1- 𝜶𝜃 = 𝜃. , ∀𝜶 K
Propiedad 2- 0𝑥 = 𝜃 , ∀ 𝑥, ∈ 𝐸
Propiedad 3- −𝜶 𝒙 = 𝜶 −𝒙 = − 𝜶𝒙 .
,∀𝜶 K, ∀ 𝑥, ∈ 𝐸
Propiedad 4- 𝜶𝒙 = 𝜃 ↔ 𝜶 = 𝜃 𝑣 𝑥 = 𝜃.

8. 𝑷. 𝑫. 𝜶𝜃 = 𝜃 , , ∀𝜶 K

9. 𝑷. 𝑫. 𝟎𝑿 = 𝜃 , ∀𝑿 E

10. −𝜶 𝒙 = 𝜶 −𝒙 = − 𝜶𝒙 . ,∀𝜶 K, ∀ 𝑥, ∈ 𝐸

11. 𝜶𝒙 = 𝜃 ↔ 𝜶 = 𝜃 𝑣 𝑥 = 𝜃.

12. EJEMPLOS DE ESPACIOS
VECTORIALES
• Sea 𝐾 campo. 𝐾𝑛={(𝑥1,𝑥2,…,𝑥𝑛):𝑥1,𝑥2,…,𝑥𝑛 ∈ 𝐾} es un 𝐾 – espacio
vectorial con la suma entrada a entrada y el producto definido
como sigue:
Sean (𝑥1,𝑥2,…,𝑥𝑛) ∈ 𝐾𝑛, 𝜆 ∈ 𝐾.
𝜆⋅(𝑥1,𝑥2,…,𝑥𝑛) = (𝜆𝑥1,𝜆𝑥2,…,𝜆𝑥𝑛)
• Sea 𝐾 campo. 𝐾∞={(𝑥1,𝑥2,…):𝑥1,𝑥2,… ∈ 𝐾} es un 𝐾 – espacio vectorial
con la suma entrada a entrada y el producto definido como
sigue:
Sean (𝑥1,𝑥2,…) ∈ 𝐾𝑛, 𝜆 ∈ 𝐾. 𝜆⋅(𝑥1,𝑥2,…) = (𝜆𝑥1,𝜆𝑥2,…).
• 𝑅𝑛 es un 𝑅 – espacio vectorial con la suma y el producto por
escalar usuales.

13. EJEMPLOS DE ESPACIOS
VECTORIALES
•<(1,1,1)>={𝜆(1,1,1):𝜆∈𝑅} es un 𝑅𝑛 – espacio vectorial.
•Sea 𝐾 campo. 𝑀 𝑚×𝑛(𝐾) (las matrices con 𝑚 renglones
y 𝑛 columnas, con entradas en 𝐾) es un 𝐾 – espacio
vectorial con las operaciones usuales de suma y
producto por escalar.
•Sea 𝐾 campo. 𝐾[𝑥] (los polinomios en 𝑥 con
coeficientes en 𝐾) es un 𝐾 – espacio vectorial con la
suma y el producto por escalar usuales.

14. EJEMPLOS DE ESPACIOS
VECTORIALES
Un cuerpo es un espacio vectorial sobre si mismo.
Si (𝓚, +,∗) es un cuerpo entonces, dándole a los
escalares un doble papel, el de escalares y
vectores, la suma cumple las 4 propiedades de
espacios vectoriales: Asociativa, Conmutativa,
Elemento Neutro, Elemento Simétrico y el
Producto en 𝓚 es Asociativo Mixto, Distributivo
respecto a la suma y cumple la Propiedad
Modular.

15. Todo cuerpo es un Espacio Vectorial sobre si mismo.
(ℝ, +,∗) es un cuerpo.
(ℝ, +,∗) es un e.v. Sobre ℝ
(ℚ, +,∗) es un cuerpo.
(ℚ, +,∗) es un e.v. Sobre ℚ
(ℂ, +,∗) es un cuerpo.
(ℂ, +,∗) es un e.v. Sobre ℂ

16. El Producto Cartesiano de n- espacios vectoriales
sobre el cuerpo 𝓚, es un espacio vectorial sobre 𝓚.
Si E1,E2,…,En son n-e.v. Sobre 𝓚 entonces E=
E1xE2x…xEn es un espacio vectorial sobre 𝓚con las
operaciones:
Suma:
∀ 𝒙, 𝒚 ∈ 𝑬, 𝒙 =(𝑥1,𝑥2,…,𝑥𝑛), y=(y1,y2,…,y𝑛)
x+y=(𝑥1,𝑥2,…,𝑥𝑛)+ (y1,y2,…,y𝑛)
= (𝑥1 +y1, 𝑥2 +y2,…, 𝑥n +y𝑛)
E1
E2 En
𝒆𝒔𝒕𝒂 𝒆𝒔 𝒍𝒂 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂 𝒅𝒆 𝒍𝒐𝒔 𝒆𝒍𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐𝒔

17. Producto Externo:
∀𝜶 ∈ 𝓚 , ∀ 𝒙 ∈ 𝑬: 𝒙 =(𝑥1,𝑥2,…,𝑥𝑛)
𝜶 x= 𝜶(𝑥1,𝑥2,…,𝑥𝑛)
=(𝜶 𝑥1, 𝜶 𝑥2,…, 𝜶 𝑥𝑛 )
Demuestre las 8 Propiedades:
+: Asociativa, Conmutativa, Elemento Neutro, Elemento
Simétrico.
*: Asociativo Mixto, El producto es distributivo respeto a
la suma en E, distributivo respeto a la suma en 𝓚. Propiedad
Modular.
E1
E2 En
𝒆𝒔𝒕𝒂 𝒆𝒔 𝒍𝒂 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂 𝒅𝒆 𝒍𝒐𝒔 𝒆𝒍𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐𝒔

18. DEMOSTRACIONES
suma

19. 𝑷. 𝑫. La Suma es Asociativa:
∀ 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐸: (x+y)+z=x+(y+z)
𝒙 =(𝑥1,𝑥2,…,𝑥𝑛), y=(y1,y2,…,y𝑛), z= z1,z2,…,z𝑛).

20. 𝑷. 𝑫. La Suma es Conmutativa:
∀ 𝑥, y ∈ 𝐸 ∶ x+y=y+x
𝒙 =(𝑥1,𝑥2,…,𝑥𝑛), y=(y1,y2,…,y𝑛), z= z1,z2,…,z𝑛).

21. 𝑷. 𝑫. La Suma tiene Elemento Neutro:
∀ 𝑥, ∈ 𝐸, ∃ 𝜃 𝑒𝑠 ú𝑛𝑖𝑐𝑜 ∈ 𝐸: x+ 𝜃 =x+ 𝜃 =x

22. 𝑷. 𝑫. La Suma tiene Elemento Simétrico :
∀ 𝑥, ∈ 𝐸, ∃ − 𝑥 ∈ 𝐸: x+(–x)=(–x)+x= 𝜃

23. DEMOSTRACIONES
producto

24. 𝑷. 𝑫. El Producto es Asociativo Mixto:
∀𝛼, 𝛽 ∈ 𝒦,∀𝑥 ∈ Ε ∶ (𝛼𝛽)A= 𝛼(𝛽A)

25. 𝑷. 𝑫. El Producto es Distributivo respecto a la suma en
k:
∀ 𝛼, 𝜋 ∈ 𝒦, ∀ 𝐴 ∈ 𝐸, (𝛼+π)A=𝛼A+𝜋A

26. 𝑷. 𝑫. El Producto es Distributivo respecto a la suma en
E:
∀ 𝛼 ∈ 𝒦, ∀ 𝐴, 𝐵 ∈ 𝐸, ∶ 𝛼(A+B)=𝛼A+ 𝛼B

27. 𝑷. 𝑫. El 1 ∈ k
Elemento Neutro, PARA EL PRODUCTO EXTERNO/
PROPIEDA MODULAR:
∀ 𝐴 ∈ 𝐸, 1𝐴 = 𝐴

28. P.D. Las 4 propiedades que hacen falta:
+: Conmutativa, Elemento Simétrico.
La Suma es Conmutativa:
∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐸 ∶ x+y=y+x
La Suma tiene Elemento Simétrico:
∀ 𝑥, ∈ 𝐸, ∃ − 𝑥 ∈ 𝐸: x+(–x)=(–x)+x= 𝜃
*: El producto es distributivo respeto a la suma en 𝓚, Propiedad
Modular.
El Producto es Distributivo respecto a la suma en K:
∀ 𝛼, 𝛽 ∈ 𝒦, ∀ 𝑥 ∈ 𝐸, ∶ (𝛼+𝛽)x=𝛼x+𝛽x
El 1 ∈ k es Elemento Neutro, PARA EL PRODUCTO EXTERNO/ PROPIEDA MODULAR:
∀ 𝑥 ∈ 𝐸, 1𝑥 = 𝑥

29. EJEMPLO DE FUNCIONES
Sea 𝐾 campo. 𝑉={𝑓|𝑓:𝐾⟶𝐾} es un 𝐾 – espacio vectorial con las
operaciones +𝑉 y ⋅𝑉 definidas como sigue:
Sean 𝑓,𝑔 ∈ 𝑉, 𝜆 ∈𝐾.
𝑓+𝑉𝑔:𝐾⟶𝐾
(𝑓+𝑉𝑔)(𝑥)=𝑓(𝑥)+𝐾𝑔(𝑥), para todo 𝑥∈𝐾 donde +𝐾 es la suma en 𝐾.
Sean 𝑓 ∈ 𝑉, 𝜆 ∈𝐾.
𝜆⋅𝑉𝑓:𝐾⟶𝐾
(𝜆⋅𝑉𝑓)(𝑥)=𝜆⋅𝐾𝑓(𝑥), para todo 𝑥∈𝐾
donde ⋅𝐾 es el producto en 𝐾.

30. DEMOSTRACIONES
suma

31. 𝑷. 𝑫. La Suma es Asociativa:

33. 𝑷. 𝑫. La Suma es Conmutativa:

34. 𝑷. 𝑫. La Suma tiene Neutro:
𝑷. 𝑫. La Suma tiene Elemento Neutro:

35. 𝑷. 𝑫. La
Suma
tiene
Inverso
Aditivo:

36. DEMOSTRACIONES
producto

37. 𝑷. 𝑫. NEUTRO MULTIPLICATIVO:

38. 𝑷. 𝑫. El
Producto
es
Distributivo
respecto a
la suma en
V:

39. 𝑷. 𝑫. El Producto es Asociativo RESPECTO A LA SUMA EN
K:

40. ESPACIO
VECTORIAL
DE MATRICES.

41. El Conjunto de las Matrices de orden mxn lo denotaremos:
ℳ!"# Κ .
ℳ!"# Κ 𝑝𝑟𝑜𝑣𝑖𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑂𝑝𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠.
Suma:
Suma:
∀ 𝑨, 𝑩 ∈ ℳ!"# Κ , A=(aij), B=(bij)
A+B= (aij )+ (bij)
= (aij + bij)
Producto Externo
∀ 𝜶 ∈ 𝑲, ∀ 𝑨 ∈ ℳ!"# Κ ,A=(aij),
𝜶 𝐀= 𝜶 (aij)
=(𝜶 aij)

42. LOS 10 AXIOMAS DE LOS ESPACIOS
VECTORIALES
vu + v ∈ V.
vu + v = v + u.
v(u + v) + w = u + (v + w)
vExiste un vector nulo 0V ∈ V tal que v + 0V = v.
vPara cada v en V, existe un opuesto (–v) ∈ V tal que v + (-v) = 0. V
vαv ∈ V.
vα (u + v) = αu + αv.
v(α + β) v = αv + βv.
vα (βv) = (αβ) v
v1v = v

43. TAREA

44. 1. El espacioVectorial de las Aplicaciones con valores en un
espacio vetorial.
Sea 𝓧 ≠ 𝝓 y se E e.v. Sobre K
El Conjunto de todas las aplicaciones de 𝓧 en E denotado E𝓧
𝑬𝓧
= 𝑭: 𝓧 → 𝑬/ 𝒇 𝒆𝒔 𝒂𝒑𝒍𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏 con las operaciones
Suma:
∀ 𝒇, 𝒈 ∈ 𝑬𝓧
, ∀ 𝓧 ∈ 𝓧
(f+g)(x)=f(x)+g(x).
Producto Externo
∀ 𝜶 ∈ 𝑲, ∀ 𝒇 ∈ 𝑬𝓧
, ∀ 𝓧 ∈ 𝓧
(𝜶 .f)(x)= 𝜶 .f(x)
P
R
Á
C
T
I
C
A

45. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Castillo, J. (2010).Apuntes de Álgebra Lineal 1.
Álgebra y Geometría Analítica. Recuperado de:
https://aga.frba.utn.edu.ar/espacios-y-
subespacios-vectoriales/