Este documento presenta conceptos básicos sobre espacios vectoriales reales con producto interno. Define formalmente un producto interno y sus propiedades. Proporciona ejemplos de productos internos en Rn, Mm×n(R), y el espacio de funciones continuas C[a,b]. Finalmente, enuncia un teorema sobre propiedades de los productos internos en cualquier espacio vectorial.

1. UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA
“ ANTONIO JOSE DE SUCRE ”
VICE - RECTORADO BARQUISIMETO
DEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALES Y BÁSICOS
SECCIÓN DE MATEMÁTICA
Capı́tulo IV: Espacios Reales con Producto Interno.
Proceso de Gram-Schmidt
Unidad 3 (clase 1)
Prof.Giovanny Lozada
Lic. Jorge Campos PI 1 / 8

2. Contenido de la Clase
1 Espacios Reales con Producto Interno
Definición
Ejemplos
Teorema
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3. Espacios Reales con Producto Interno Definición
Definición 4.1: Producto Interno
Sea V un espacio vectorial real. Un producto interno sobre V, es una
función que asocia, a cada par de vectores u, v ∈ V, un único número
real denotado por hu , vi, u · v o uv satisfaciendo las siguientes
propiedades. Para cualesquiera u, v, w ∈ V y cada α ∈ R.
1 hu , vi = hv , ui.
2 hu + v , wi = hu , wi + hv , wi.
3 hαu , vi = α hu , vi.
4 hv , vi ≥ 0 y además hv , vi = 0 si y sólo si v = OV.
Un espacio vectorial real, en el cual se define un producto interno, es
llamado espacio (vectorial real) con producto interno (EPI). Otros
nombres con los que se conoce a los productos internos son
producto interior, producto escalar y producto punto.
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4. Espacios Reales con Producto Interno Ejemplos
Ejemplo 4.1:
Las siguientes funciones son productos internos sobre Rn
1 hu , vi =
n
X
i=1
uivi donde u = (u1, u2, . . . , un) y v = (v1, v2, . . . , vn).
Este producto interno es llamado producto interno euclidiano,
usual o estándar de Rn, salvo que se indique lo contrario, este es
el producto interno que usualmente consideraremos sobre Rn.
2 hu , vi =
n
X
i=1
piuivi donde p1, p2, . . . , pn ∈ R+ son números fijos, u
y v son como antes. Este producto interno es lo que se denomina
producto interno euclidiano ponderado, si p1 = · · · = pn = 1,
este producto interno coincide con el producto interno euclidiano.
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5. Espacios Reales con Producto Interno Ejemplos
Ejemplo 4.2:
En Mm×n(R) la siguiente función define un producto interno
(¡pru’ebelo!), el cual se conoce como producto interno euclidiano,
usual o estándar, al igual que en el caso de Rn, salvo que se indique
otra cosa, este es el producto interno que consideraremos sobre
Mm×n(R).
hA , Bi = tr
ABT
=
m
X
i=1
n
X
j=1
aijbij
donde A = (aij)m×n y B = (bij)m×n
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6. Espacios Reales con Producto Interno Ejemplos
Ejemplo 4.3:
En el espacio de las funciones reales continuas en el intervalo [ a , b ],
C [ a , b ], la función
hf , gi =
Z b
a
f(x)g(x)dx
es un producto interno (mientras no se diga lo contrario, éste es el
producto interno usual en C [ a , b ]),
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7. Espacios Reales con Producto Interno Ejemplos
Ejemplo 4.4:
1 Como Pn[x] es un subespacio de C [ a , b ], entonces el producto
interno definido en el ejemplo anterior, es un producto interno
sobre Pn[x]. Éste producto es el producto interno usual en Pn[x]
cuando a = −1 y b = 1.
2 hp , qi =
n
X
i=0
p(i)q(i). En Efecto, sean p, q, r ∈ Pn[x] y α ∈ R.
Entonces
hp , qi =
n
X
i=0
p(i)q(i) =
n
X
i=0
q(i)p(i) = hq , pi .
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8. Espacios Reales con Producto Interno Teorema
Teorema 4.1:
Sea V un espacio con producto interno h , i. Entonces
1 hu , v + wi = hu , vi + hu , wi para cualesquiera u, v, w ∈ V.
2 hu , αvi = α hu , vi para cualesquiera u, v ∈ V y α ∈ R.
3 hu − v , wi = hu , wi − hv , wi para cualesquiera u, v, w ∈ V.
4 hu , v − wi = hu , vi − hu , wi para cualesquiera u, v, w ∈ V.
5 hv , OVi = 0 = hOV , vi para todo v ∈ V.
6 Si hu , vi = 0 para cada v ∈ V, entonces u = OV.
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