Este documento introduce los conceptos básicos de los espacios vectoriales, incluyendo sus propiedades internas y externas, subespacios vectoriales, combinaciones lineales, dependencia e independencia lineal, espacios nulos y rangos de una matriz. Define un espacio vectorial y proporciona ejemplos para ilustrar estos conceptos clave.

2. INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO "SANTIAGO MARIÑO“
ESTADO. ANZOÁTEGUI
BARCELONA
Participante:
MONCAYO, LEONARDO
C.I: 27.949.514
Octubre, 2017

3. En esta sección se introducen los conceptos básicos
referentes a los espacio vectoriales. Definiremos
cuándo se especifica un espacio vectorial y sus
propiedades dadas internas y externamente. Por
consiguientes los subespacios vectoriales son
subconjuntos de los vectores, además se evidenciara
la conceptualización de combinaciones lineales,
dependencia e independencia lineal. Así mismo se
desglosara lo que son los espacios nulos y rangos de
una matriz.

4. En álgebra abstracta, un espacio vectorial es una estructura algebraica
creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada
suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa
(llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y otro
conjunto, con estructura de cuerpo ), con 8 propiedades fundamentales.
A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los
elementos del cuerpo, escalares.

5. 1) Propiedades de la suma de vectores:
Sean u ,v ,w vectores en V
1) La suma u + v = z es otro vector en V
2) u + v = v + u , es decir, la suma es conmutativa
3) (u + v) + w = u + (v + w) , es decir, la suma es asociativa
4) Existe un vector cero en V, tal que u+0 =0+u=u
5) Para todo vector u existe un vector -u, tal que u+(-u)=0 , y
se denomina el inverso aditivo

6. 2) Propiedades de la multiplicación por un escalar :
Sean y vectores en V, c y d constantes (escalares)
1) El vector cu es un vector en V
2) c (u + v) = cu + cv
3) (c + d) u = cu + du. Los incisos 2 y 3 representan la propiedad
distributiva.
4) c ( du ) = ( cd ) u
5) Para todo vector u, 1u=u , tal que u + (-u) = 0, y se denomina el
inverso aditio

7. Ejemplo 1
Como la suma y la multiplicación por un escalar de todos los vectores con dos
componentes satisfacen las 10 propiedades anteriores, decimos que R con estas
propiedades es un espacio vectorial.
El lector puede probar lo anterior con cualesquiera vectores u, v ,w , y constantes
c y d.
Dado que lo mismo se puede decir para vectores con tres, cuatro o n
componentes, entonces R , R y R, con las propiedades correspondientes, son
espacios vectoriales.

8. Ejemplo 2
El conjunto de puntos en R que están en la recta y=3x, ¿es un espacio vectorial?
Este conjunto de vectores lo podemos escribir de la forma V = ( 3x ). Sea u = ( x 3x )
y v=( x 3x ) , el lector puede ahora comprobar si se cumplen las 10 propiedades
arriba mencionadas, y responder si es o no un espacio vectorial.
Desde luego que si es un espacio vectorial.

9. Ejemplo 3.
Considere el conjunto M de las matrices 2x2 de y las operaciones
convencionales de suma de matrices y producto de una matriz por un escalar.
Verifica que se cumplen las 10 propiedades para que M sea espacio vectorial.

10. En álgebra lineal, un subespacio vectorial es el
subconjunto de un espacio vectorial, que satisface por
sí mismo la definición de espacio vectorial con las
mismas operaciones que V.

11. En matemática, particularmente en álgebra lineal,
una combinación lineal es una expresión
matemática que consiste en la suma entre pares de
elementos, de determinados conjuntos,
multiplicados entre sí.

12. En particular, la combinación lineal de un sistema de vectores se trata de un vector
de la forma
V= K V + K V .......K V = K V
i=1
con los Ki elementos de un cuerpo. La definición, provista de esta manera, da lugar
a otras definiciones y herramientas importantes, como son los conceptos de
independencia lineal y base de un espacio vectorial.

13. Varios vectores libres del plano se dice que son linealmente
dependientes si hay una combinación lineal de ellos que es igual
al vector cero, sin que sean cero todos los coeficientes de la
combinación lineal.

14. La independencia lineal puesta en palabras: Un conjunto de
vectores (diferentes de cero) de un espacio vectorial V es
linealmente dependiente si y sólo si, algún vector del conjunto es
una combinación lineal de los demás.

15. Se llama base de un espacio (o subespacio)
vectorial a un sistema generador de dicho espacio o
subespacio, que sea a la vez linealmente
independiente

16. La dimensión de un espacio vectorial (también llamada
dimensión de Hamel de un espacio vectorial, para
distinguirla de la dimensión de Hilbert en el caso de los
espacios de Hilbert) es el número de vectores que
forman una base [de Hamel] del espacio vectorial.

17. Un espacio nulo (NA) es uno o un conjunto de vectores que
anula la matriz, es decir, los vectores solución de la matriz.
Para que se entienda mejor, haga de cuenta la solución de las
variables de una ecuación sencilla, pero en este caso por
tratarse de matrices y espacios vectoriales, se hablara de
vectores.

18. El rango de una matriz es el número máximo de columnas (filas
respectivamente) que son linealmente independientes. El rango fila
y el rango columna siempre son iguales: este número es llamado
simplemente rango de A (prueba más abajo). Comúnmente se
expresa como rg(A).

19. Los espacios vectoriales de acuerdo a lo
anteriormente explicado se concluye que son
elementos vectoriales y en este puede
realizarse dos operaciones: la multiplicación
por escalares y la adición, así también como
es la combinación lineal y su dependencia e
independencia

20. https://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorial
https://es.wikipedia.org/wiki/Dependencia_e_independencia_lineal
https://es.wikipedia.org/wiki/Dimensi%C3%B3n_de_un_espacio_vectoria
l
https://tutorias.co/espacio-nulo-nulidad-imagen-y-base-matriz-3x4/

21. GRACIAS
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