El documento introduce los conceptos de espacio vectorial y vector. Explica que un espacio vectorial es un conjunto de vectores que cumplen propiedades como la suma y multiplicación por escalares. También define qué es un vector y cómo se representa, con longitud y dirección.

1. ESPACIOS VECTORIALES
Definimos R2 como el conjunto de vectores
con . Es evidente que se puede pensar
que cualquier punto en el plano es un vector de
R2 (definición algebraica de vector), y viceversa.
Sin embargo, para muchas aplicaciones físicas
(incluyendo las nociones de fuerza, velocidad,
aceleración y momento) es importante pensar en
un vector no como un punto sino como una
entidad que tiene “longitud” y “dirección”.

2. Tanto en Física como en Ingeniería
un vector se caracteriza por dos
magnitudes (longitud y dirección) y
se representa por un segmento
recto dirigido. Un vector en el
plano puede ubicarse en diferentes
lugares. Sin embargo, con
independencia de dónde esté
situado, si la longitud y dirección
no varían se trata del mismo
vector.
El conjunto de los vectores libres del plano ( ) es sólo
un ejemplo entre los muchos ejemplos de objetos
matemáticos que pueden sumarse entre sí y multiplicarse
por números reales, y que además satisfacen unas mismas
propiedades. Este ejemplo de los vectores libres del plano (o
el de los vectores libres del espacio) es importante porque
su representación geométrica ayuda a entender la definición
general de vector.

3. ESPACIO VECTORIAL
 Se utilizará la palabra “escalar” para
designar una magnitud.
 Si los escalares utilizados pertenecen a
números reales , entonces es un espacio
vectorial real; y si los escalares pertenecen
a los números complejos , entonces es un
espacio vectorial complejo.
 Al hablar de un vector se refiere a un
elemento de un espacio vectorial
determinado.
 Un espacio vectorial es una colección de
vectores.

4.  Un espacio vectorial es aquel conjunto de
vectores que cumple las propiedades o
axiomas de la suma de vectores y la
multiplicación por un escalar .
 Un espacio vectorial es un espacio no
vacío.
 Un espacio vectorial cumple con cuatro
partes que son:
• un conjunto de vectores,
• un conjunto de escalares,
• y dos operaciones.

5.  La suma de vectores, o simplemente suma, es una
regla o función que asocia a dos vectores, digamos u
y v un tercer vector, a este se le representará como u
⊕ v.
 La multiplicación es una regla que asocia a un escalar
y a un vector, digamos c y u un segundo vector
representado por c ⊙ u.
 Diremos que el conjunto V se llama espacio vectorial
si cumple todos y cada uno de los siguientes
axiomas:
• axioma de cerradura bajo la suma:
La suma de dos elementos del conjunto debe dar como
resultado también un elemento del conjunto.
• axioma de la conmutatividad de la suma:
El orden de los sumandos no altera el resultado de la
suma.

6. • axioma de la asociatividad de la suma:
En una suma de vectores, no importa el orden cómo asocien la
sumas entre dos; el resultado
será siempre el mismo.
• axioma de la existencia del elemento neutro:
Existe en el conjunto un elemento distinguido que sumado con
cualquier elemento da el mismo
segundo elemento.
• axioma de la existencia de inversos aditivos:
Cada elemento del conjunto posee un inverso aditivo; un elemento
del conjunto que sumado
con el da el neutro aditivo.
• axioma de cerradura bajo la multiplicación por escalares:
El resultado del producto entre cualquier escalar por cualquier
elemento del conjunto debe dar como resultado también un
elemento del conjunto.
• propiedad distributiva del producto (por escalares) sobre la suma
(de vectores):
En un producto de un escalar por una suma de vectores, da lo mismo
realizar la suma de los vectores y el resultado multiplicarlo por el
vector que individualmente multiplicar cada vector por el escalar
y después sumar los resultados.

7.  Suponga que V = R2 y que se define la operacion: (x, y) ⊕ (z, w)
= (5 x + z, 2 w + 2 y) Si a = (−2, −3), b = (−1, 3), c = (−1, −1)
Calcule:
1. a ⊕ b = (5 · (x = −2) + (z = −1),
2 · (w = 3) + 2 · (y = −3)) = (−11, 0) 2. b ⊕ a = (5
· (−1) + (−2), 2 · (−3) + 2 · (−1)) = (−7, 0) 3
3. (a ⊕ b) ⊕ c = (−11, −0) ⊕ (−1, −1) = (5 · (−11)
+ (−1), 2 · (−1) + 2 · (0)) = (−56, −2)
4. a ⊕ (b ⊕ c) = (−2, −3) ⊕ (−6, 4) = (−16, 2)

8.  Suponga que V = R2 y que se definen las
operaciones:
 (x, y) ⊕ (z, w) = (2 x, 3 w + y) Y
 t ⊙ (x, y) = (2 t x, 3 t y) Si
 a = (1, 0), c1 = 1, c2 = −4
Calcule:
1. (c1 + c2) ⊙ a = −3 ⊙ (1, 0) = (2(−3)(1),
3(−3)(0)) = (−6, 0).
2. (c1 ⊙ a) ⊕ (c2 ⊙ a) = (2, 0) ⊕ (−8, 0) = (4, 0).
3. (c1 · c2) ⊙ a = −4 ⊙ (1, 0) = (−8, 0) 4. c1 ⊙ (c2
⊙ a) = 1 ⊙ (−8, 0) = (−16, 0).

9.  Indique cual opción enuncia la propiedad
distributiva de la suma de escalares sobre el
producto.
1.- (c + k) ⊙ x = (c ⊙ x) ⊕ (k ⊙ x) ← Respuesta
2.- x ⊕ 0 = 0 ⊕ x = x
3.- x ⊕ y = y ⊕ x ← Conmutatividad 4.- c ⊙ x es
vector ← Cerradura
5.- x ⊕ (−x) = (−x) ⊕ x = 0
6.- x ⊕ y es vector ← Cerradura