Este capítulo introduce el concepto de ortogonalidad y espacios vectoriales. Define ortogonalidad como la perpendicularidad entre dos elementos y explica que es un concepto fundamental para el análisis de funciones a través de transformadas de Fourier, Laplace y z. Luego introduce los conceptos de espacios vectoriales, subespacios, bases y espacios de Hilbert, concluyendo con una definición de ortogonalidad de vectores en el espacio euclidiano.

1. Cap´ıtulo 4
Ortogonalidad y Series de Fourier
El adjetivo ortogonal proviene del griego orthos (recto) y gonia (´angulo). Este denota
entonces la perpendicularidad entre dos elementos: dos calles que se cruzan en un ´angulo
recto presentan una configuraci´on ortogonal. La ortogonalidad es un concepto funda-
mental para la comprensi´on del an´alisis de funciones por medio de las transformadas de
Fourier, Laplace y la transformada z. Este cap´ıtulo introduce el concepto en cuesti´on a
partir de un contexto usualmente m´as familiar: la ortogonalidad de vectores. Para m´as
informaci´on sobre la terminolog´ıa matem´atica puede consultarse [18, 1].
4.1 Espacios vectoriales
Tradicionalmente se utiliza en ingenier´ıa el concepto de vector como un conjunto ordenado
de n cantidades, por ejemplo [x1, x2, . . . , xn]T
. En los casos particulares de vectores bidi-
mensionales (n = 2) y tridimensionales (n = 3) se utilizan en la pr´actica representaciones
alternativas que comprenden magnitudes y ´angulos (por ejemplo, utilizando coordenadas
polares, cil´ındricas o esf´ericas). En t´erminos matem´aticos se prefiere la notaci´on carte-
siana por su generalidad: el concepto de vector es v´alido para todo entero n no negativo
(esto es n = 0, 1, . . .), donde las componentes xi se toman del conjunto de los n´umeros
reales IR o de los n´umeros complejos C.
Sea IF un cuerpo escalar, es decir, una estructura algebraica que consiste por una parte
en un conjunto de escalares y por otra parte en una colecci´on de operaciones definidas
para los elementos del conjunto: adici´on y multiplicaci´on, que satisfacen, entre otras, las
propiedades de asociatividad, conmutatividad y distributividad. Un conjunto de vectores
V se denomina espacio vectorial sobre un cuerpo IF (por ejemplo el cuerpo de los n´umeros
reales IR o el cuerpo de los n´umeros complejos C) si
131

2. 4 Ortogonalidad y Series de Fourier
• para una operaci´on de adici´on vectorial en V, denotada x + y, con x, y ∈ V; y
• para una operaci´on de multiplicaci´on escalar en V, denotada como ax, con x ∈ V y
a ∈ IF
se cumplen las siguientes propiedades con a, b ∈ IF y x, y, z ∈ V:
1. x + y ∈ V. (V es cerrado con respecto a la adici´on vectorial).
2. x + (y + z) = (x + y) + z. (Asociatividad de la adici´on vectorial en V).
3. Existe un elemento neutro 0 ∈ V, tal que para todo x ∈ V se cumple que x+0 = x.
(Existencia de un elemento identidad aditivo en V).
4. Para todo x ∈ V existe un elemento y ∈ V tal que x + y = 0. (Existencia de
inversos aditivos en V).
5. x + y = y + x. (Conmutatividad de la adici´on vectorial en V).
6. ax ∈ V. (V es cerrado con respecto a la multiplicaci´on escalar).
7. a(bx) = (ab)x. (Asociatividad de la multiplicaci´on escalar en V).
8. Si 1 representa la identidad multiplicativa del cuerpo IF entonces 1x = x. (Neutra-
lidad de uno).
9. a(x + y) = ax + ay. (Distributividad con respecto a la adici´on vectorial).
10. (a + b)x = ax + bx. (Distributividad con respecto a la adici´on en el cuerpo).
El concepto de espacio vectorial es completamente abstracto. Para determinar si un
conjunto V es un espacio vectorial deben especificarse tan solo el conjunto V, el cuerpo
escalar IF y las operaciones vectoriales de adici´on y multiplicaci´on escalar en V. Si las
diez propiedades anteriores se satisfacen, se dice entonces que V es un espacio vectorial.
4.1.1 Combinaciones lineales
Se denomina combinaci´on lineal de los vectores u1, u2, . . . , un de un espacio vectorial V a
todo vector x del tipo
x = c1u1 + c2u2 + . . . + cnun
con los coeficientes de la combinaci´on lineal c1, . . . , cn, que son escalares del cuerpo escalar
IF relacionado con el espacio vectorial V.
132 c 2005-2007 — P. Alvarado Uso exclusivo ITCR

3. 4.1 Espacios vectoriales
Un conjunto de vectores U = {u1, u2, . . . , un} ⊂ V se dice ser un conjunto ligado o lineal-
mente dependiente si al menos uno de ellos es una combinaci´on lineal de los dem´as. Se
denomina conjunto libre o linealmente independiente cuando los ´unicos escalares c1, . . . , cn
para los que se cumple c1u1 + c2u2 + . . . + cnun = 0 son c1 = . . . = cn = 0. Se cumple
adem´as que
• un conjunto con un solo vector es libre si dicho vector no es nulo,
• el vector neutro 0 no forma parte de ning´un sistema libre,
• todo subconjunto de un sistema libre es tambi´en libre,
• el n´umero m´aximo de vectores de un sistema libre es igual al n´umero de componentes
que tienen dichos vectores.
Un espacio se dice engendrado por el conjunto de vectores U = {u1, u2, . . . , un} ⊂ V si
contiene todas las combinaciones lineales de los vectores de U, al que se denomina entonces
conjunto generador del espacio. A cada elemento del conjunto U se le denomina en este
contexto vector generador. Este espacio no var´ıa si
• se multiplica cualquier vector generador por un escalar no nulo,
• se suma un generador con otro,
• si se suprimen los generadores que son una combinaci´on lineal de los dem´as.
4.1.2 Subespacios y bases
Cualquier subconjunto W del espacio vectorial V que es cerrado ante las operaciones
vectoriales aditivas y de multiplicaci´on escalar se denomina subespacio de V. Se puede
apreciar que un subespacio de V es a su vez un espacio vectorial sobre el mismo cuerpo IF
del espacio vectorial original. Ejemplos de subespacios del espacio vectorial tridimensional
IR3
son por ejemplo todos los planos que pasan por el origen [0, 0, 0]T
, si se utilizan las
definiciones convencionales de adici´on y multiplicaci´on.
Los subespacios tienen las siguientes propiedades:
• Todo espacio vectorial V tiene dos subespacios: el mismo V y {0}.
• La intersecci´on W1 ∩W2 de dos subespacios vectoriales W1 y W2 del mismo espacio
vectorial V es a su vez un subespacio vectorial.
c 2005-2007 — P. Alvarado Uso exclusivo ITCR 133

4. 4 Ortogonalidad y Series de Fourier
• La uni´on W1 ∪ W2 de dos subespacios vectoriales W1 y W2 del mismo espacio
vectorial V no necesariamente es un subespacio vectorial.
El espacio vectorial V se denomina finito si existe un sistema de vectores U = {u1, u2, . . . ,
un} ⊂ V que es conjunto generador del espacio vectorial. Si los vectores generadores ui
son linealmente independientes entonces se dice que U es una base de V. Todo espacio
vectorial finito V = {0} posee al menos una base. Si existen varias bases, todas contienen
el mismo n´umero de vectores generadores. Este n´umero de vectores es la dimensi´on
del espacio vectorial. A la base del espacio vectorial IFn
conformada por los vectores
u1 = [1, 0, . . . , 0]T
, u2 = [0, 1, . . . , 0]T
, . . ., un = [0, 0, . . . , 1]T
se le denomina base can´onica
del espacio vectorial finito IFn
.
4.2 Espacios de Hilbert
Si a la estructura de espacio vectorial se le agrega el concepto de producto interno aparecen
entonces los llamados espacios con producto interno o espacios pre-Hilbert. El concepto
de producto interno (a veces denominado producto escalar1
) permite introducir conceptos
geom´etricos como ´angulos y longitudes vectoriales. Por el momento conviene definir al
producto interno como una funci´on ·, · : V×V → IF que satisface los siguientes axiomas:
• ∀x ∈ V, x, x ≥ 0. (No negatividad).
• ∀x ∈ V, x, x = 0 si y solo si x = 0. (No degenerabilidad).
• ∀x, y ∈ V, x, y = y, x . (Simetr´ıa conjugada).
• ∀a ∈ IF, ∀x, y ∈ V, x, ay = a x, y ;
∀x, y, z ∈ V, x, y + z = x, y + x, z . (Sesquilinearidad).
N´otese que si el cuerpo IF corresponde a los n´umeros reales IR entonces la simetr´ıa con-
jugada corresponde a la simetr´ıa simple del producto interno, esto es x, y = y, x .
Combinando la sesquilinearidad con la simetr´ıa conjugada se obtiene adem´as que
∀a ∈ IF, ∀x, y ∈ V, ax, y = a x, y
∀x, y, z ∈ V, x + y, z = x, z + y, z
1
N´otese que en este contexto el concepto de producto escalar es diferente a la multiplicaci´on escalar
utilizada en la definici´on de espacio vectorial. Para evitar confusiones se preferir´a aqu´ı el uso del t´ermino
producto interno sobre producto escalar.
134 c 2005-2007 — P. Alvarado Uso exclusivo ITCR

5. 4.2 Espacios de Hilbert
Utilizando el producto interno puede definirse la norma de un vector x como
x = x, x (4.1)
Esta norma est´a correctamente definida si se considera el axioma de no negatividad en la
definici´on del producto interno. Usualmente se interpreta esta norma como la longitud
del vector x.
En estos espacios se dice que dos vectores x y y diferentes de 0 son ortogonales si su
producto interno x, y es 0. Adem´as, el ´angulo entre los dos vectores se define indirec-
tamente por medio de la ecuaci´on
cos ∠(x, y) =
x, y
x y
. (4.2)
con lo que se deduce entonces que la magnitud del ´angulo entre dos vectores ortogonales
es de π/2, puesto que el coseno del ´angulo entre ellos es cero.
Si U = {u1, u2, . . . , un} ⊂ V es una base de V y cualesquiera dos vectores ui y uk (i = k)
son ortogonales entre s´ı, se dice que U es una base ortogonal de V. Si adem´as se cumple
que la norma de todos los vectores generadores ui es uno, entonces a U se le denomina
una base ortonormal.
Ejemplo 4.1 Si U es una base ortogonal de V, ¿c´omo se pueden calcular los coeficientes
para representar un vector x ∈ V en dicha base? Si U es una base ortogonal de V se
cumple para todo vector x ∈ V
x =
n
i=1
ciui (4.3)
Realizando el producto escalar a ambos lados con un vector generador espec´ıfico uk,
utilizando las propiedades del producto interno descritas anteriormente, y haciendo uso
de la ortogonalidad de los vectores generadores ui se obtiene
uk, x = uk,
n
i=1
ciui =
n
i=1
uk, ciui =
n
i=1
ci uk, ui = ck uk, uk
= ck uk
2
con lo que se deriva f´acilmente
ck =
uk, x
uk
2
(4.4)
4.1
c 2005-2007 — P. Alvarado Uso exclusivo ITCR 135

6. 4 Ortogonalidad y Series de Fourier
Una secuencia de Cauchy es una secuencia cuyos t´erminos se acercan arbitrariamente
entre s´ı en tanto la secuencia progresa. Un espacio con producto interno se denomina
espacio de Hilbert si es completo con respecto a la norma definida a trav´es del producto
interno, lo que quiere decir que cualquier secuencia de Cauchy de elementos en el espacio
vectorial converge a un elemento en el mismo espacio, en el sentido de que la norma de
las diferencias entre los elementos de la secuencia tiende a cero. Los espacios de Hilbert
se utilizan en la generalizaci´on del concepto de ciertas transformaciones lineales como la
transformada de Fourier, y son de crucial importancia en la formulaci´on matem´atica de
la mec´anica cu´antica.
4.3 Ortogonalidad de vectores
Para un n´umero entero positivo n, el espacio euclideano de n dimensiones se define como
el espacio de Hilbert de n-dimensiones sobre IR en el que adem´as se define la funci´on de
distancia d2 para dos puntos x = [x1, . . . , xn]T
y y = [y1, . . . , yn]T
como
d2(x, y) =
n
i=1
(xi − yi)2
El espacio euclidiano representa la generalizaci´on de los espacios matem´aticos en dos y
tres dimensiones conocidos y estudiados ya en la antig¨uedad por Euclides2
. A la funci´on
de distancia d2, basada en el teorema de Pit´agoras, se le conoce como m´etrica euclidiana.
En el espacio euclidiano se utiliza como producto interno el producto punto, definido como
x, y = x · y =
n
i=1
xiyi . (4.5)
Con esto se puede definir la norma euclidiana x de un vector x como
x = x, x =
√
x · x =
n
i=1
|xi|2 .
Se puede deducir f´acilmente que la m´etrica euclidiana puede reescribirse en t´erminos de
la norma:
d2(x, y) = x − y (4.6)
Cualquier base para un espacio euclidiano de n dimensiones contiene entonces exactamente
n vectores ortogonales entre s´ı.
2
Euclides fue un matem´atico griego del s. III a. C., quien escribi´o Elementos, que es la base de la
geometr´ıa plana actual.
136 c 2005-2007 — P. Alvarado Uso exclusivo ITCR

7. 4.3 Ortogonalidad de vectores
Ejemplo 4.2 Dado un vector x = [cos(α), sen(α)]T
en un espacio euclidiano bidimensio-
nal, encuentre otro vector de magnitud 1 ortogonal y demuestre que su producto interno
es cero.
Un vector ortogonal a x = [cos(α), sen(α)]T
forma un ´angulo de 90◦
con ´el. La figura 4.1
muestra una soluci´on gr´afica: el vector x⊥ = [− sen(α), cos(α)]T
es perpendicular a x.
− sen(α)
sen(α)
cos(α)
cos(α)
α
x =
cos(α)
sen(α)
Figura 4.1: Construcci´on geom´etrica para obtener un vector ortogonal.
La misma conclusi´on puede obtenerse utilizando identidades trigonom´etricas en la ex-
presi´on [cos(α + π
2
), sen(α + π
2
)]T
.
El producto x, x⊥ se calcula entonces como
x, x⊥ = [cos(α), sen(α)]
− sen(α)
cos(α)
= − cos(α) sen(α) + cos(α) sen(α) = 0
4.2
La figura 4.2 muestra la representaci´on tradicional de un vector x en un espacio euclidiano
bidimensional. Para la figura en el lado izquierdo se ha utilizado la base ortonormal
can´onica U = {u1, u2}, con los coeficientes escalares a1 y a2. El lado derecho muestra
el vector con otra base ortonormal U = {u1, u2}. Se puede apreciar que los coeficientes
a1 y a2 de x con la nueva base U son diferentes a los obtenidos con U. Sin embargo,
si se establece claramente una base, las componentes calculadas pueden utilizarse para
representar a cualquier vector x de forma ´unica e inequ´ıvoca.
De esta forma, es posible representar los mismos vectores a trav´es de los coeficientes
generados para una base determinada, como lo muestra la figura 4.3 para las dos bases
en la figura 4.2.
Esta forma de representaci´on vectorial facilita el manejo de vectores con m´as de tres
dimensiones, que son dif´ıciles o incluso imposibles de imaginar en un espacio geom´etrico.
c 2005-2007 — P. Alvarado Uso exclusivo ITCR 137

8. 4 Ortogonalidad y Series de Fourier
u1
u2
u′
1
u′
2
a1
a2
a′
1
a′
2
xx
Figura 4.2: Representaci´on de un vector euclidiano bidimensional x utilizando dos bases orto-
normales diferentes.
ai a′
i
a1 a2 a′
1 a′
2
Figura 4.3: Representaci´on alternativa del vector euclidiano en la figura 4.2 para las bases
ortonormales utilizadas all´ı.
4.4 Ortogonalidad de funciones
La representaci´on de un vector x a trav´es de sus componentes para una determinada base
U puede interpretarse como una funci´on x : {1, 2, . . . , n} → IF que asigna a cada vector
generador ui con ´ındice i ∈ {1, 2, . . . , n} su coeficiente correspondiente con un valor en
el cuerpo IF, es decir, x(i) es una funci´on que permite obtener el valor de los coeficientes
para cada componente de la base utilizada. Extendiendo esta idea es incluso posible
representar vectores con un n´umero infinito de dimensiones, utilizando funciones de la
forma x : Z → IF. Para un espacio euclidiano el producto interno puede definirse como
x, y =
n2
i=n1
x(i)y(i) (4.7)
138 c 2005-2007 — P. Alvarado Uso exclusivo ITCR

9. 4.5 Series de Fourier
donde n1 y n2 puede ser infinitas (n1 ≤ n2), expresi´on que generaliza al producto punto
definido anteriormente en (4.5).
A partir de esta representaci´on resulta una consecuencia natural eliminar la restricci´on
de los ´ındices de ser n´umeros enteros, y generalizar el concepto de vectores a funciones.
El espacio vectorial se transforma entonces en un espacio funcional, donde todas los
conceptos introducidos anteriormente siguen siendo v´alidos si las propiedades b´asicas se
mantienen.
Por ejemplo, el producto interno de dos funciones definidas en un intervalo (a, b) se gene-
raliza entonces transformando la sumatoria (4.7) en la siguiente integral
x(t), y(t) =
b
a
x(t)y(t) dt (4.8)
con lo que se concluye que dos funciones son ortogonales en el intervalo (a, b) si (4.8) es
cero.
La norma de la funci´on se define utilizando la ecuaci´on (4.8), de igual forma que se hizo
para los vectores con la ecuaci´on (4.1):
x(t) = x(t), x(t) =
b
a
|x(t)|2 dt (4.9)
Con estas definiciones se puede incluso tomar el concepto de ´angulo entre vectores (ecuaci´on
(4.2)) y generalizarlo como ´angulo entre funciones:
cos (∠(x(t), y(t))) =
x(t), y(t)
x(t) y(t)
con lo que se puede afirmar que el ´angulo entre dos funciones ortogonales es π/2.
4.5 Series de Fourier
4.5.1 Series generalizadas de Fourier
Un conjunto (posiblemente) infinito de funciones ortogonales puede entonces servir de
base para un espacio funcional, de la misma manera que vectores ortogonales sirven
de base para espacios vectoriales. Sea U un conjunto de funciones ortogonales U =
{un1 (t), . . . , u0(t), u1(t), . . . , un2 (t)}. Este conjunto puede entonces utilizarse como con-
junto generador de un espacio funcional para toda funci´on
xm(t) =
n2
i=n1
ciui(t) (4.10)
c 2005-2007 — P. Alvarado Uso exclusivo ITCR 139

10. 4 Ortogonalidad y Series de Fourier
donde ci representa los coeficientes escalares de la combinaci´on lineal de las funciones
generadoras ui(t). Para encontrar estos coeficientes se procede de la misma forma que
para los vectores. A partir de la representaci´on de la funci´on x(t) ≈ xm(t) como serie
(ver ecuaci´on (4.10)), se evalua el producto interno por una funci´on generadora particular
uk(t) para obtener
uk(t), x(t) ≈ uk(t),
n2
i=n1
ciui(t)
=
n2
i=n1
uk(t), ciui(t)
=
n2
i=n1
ci uk(t), ui(t)
= ck uk(t), uk(t) = ck uk(t) 2
con lo que se deriva
ck =
uk(t), x(t)
uk(t) 2
. (4.11)
Una conclusi´on importante de (4.11) es que si se utiliza una base ortogonal para la aproxi-
maci´on de una funci´on, el valor ´optimo para los coeficientes depende tan solo de la funci´on
generadora correspondiente al coeficiente a calcular y de la funci´on que se desea aproxi-
mar. Estos coeficientes no dependen ni del n´umero de funciones en la base funcional, ni
de la forma u otra caracter´ıstica de otras funciones generadoras.
Si la base funcional {uk(t)}, k ∈ Z es completa, es decir, si la aproximaci´on de la funci´on
x(t) con la serie infinita converge a la funci´on:
x(t) =
∞
k=−∞
ckuk(t)
con las funciones generadoras uk(t) ortogonales y los coeficientes ck calculados con (4.11),
entonces a la expansi´on en serie se le denomina serie generalizada de Fourier..
4.5.2 Series de Fourier
Un caso especial de funciones ortogonales frecuentemente utilizadas es el conjunto gene-
rador
uk(t) = ejΩ0kt
= ej2πF0kt
, k ∈ Z
140 c 2005-2007 — P. Alvarado Uso exclusivo ITCR

11. 4.5 Series de Fourier
Estas funciones tienen como periodo com´un Tp = 1/F0 (comparar con la secci´on 1.2.3).
Evaluando el producto interno definido en un periodo
ui(t), uk(t) =
t0+Tp
t0
ui(t)uk(t) dt
=
t0+Tp
t0
ejΩ0itejΩ0kt
dt =
t0+Tp
t0
e−jΩ0it
ejΩ0kt
dt
=
t0+Tp
t0
ejΩ0(k−i)t
dt (4.12)
Para el caso k = i se obtiene
ui(t), ui(t) =
t0+Tp
t0
ejΩ00x
dt =
t0+Tp
t0
1 dt = Tp (4.13)
y para k = i
ui(t), uk(t) =
ejΩ0(k−i)t
jΩ0(k − i)
t0+Tp
t0
=
ejΩ0(k−i)t0
ejΩ0(k−i)Tp
− 1
jΩ0(k − i)
. (4.14)
Considerando finalmente que Ω0Tp = 2π se obtiene
ui(t), uk(t) =
ejΩ0(k−i)t0
ej2π(k−i)
− 1
jΩ0(k − i)
= 0
con lo que queda demostrada la ortogonalidad de las funciones uk(t) = ejΩ0kt
.
De esta forma es posible aproximar cualquier funci´on peri´odica x(t) = x(t + Tp) con la
serie
x(t) =
n2
k=n1
ckejΩ0kt
(4.15)
donde n1 → −∞ y n2 → ∞, conocida como la serie de Fourier.
Si x(t) es una funci´on real, puesto que za = za con z ∈ C y a ∈ IR, y x + y = x + y,
entonces se cumple que
c−k =
u−k(t), x(t)
u−k(t) 2
=
e−jΩ0kt
, x(t)
e−jΩ0kt 2
=
t+Tp
t
ejΩ0kt
x(t) dt
e−jΩ0kt 2
= ck
Adem´as, utilizando el hecho de que x+x = 2 Re{x} se puede reescribir (4.15), asumiendo
c 2005-2007 — P. Alvarado Uso exclusivo ITCR 141

12. 4 Ortogonalidad y Series de Fourier
que ck = |ck|ejθk como
x(t) =
∞
k=−∞
ckejΩ0kt
=
−1
k=−∞
ckejΩ0kt
+ c0 +
∞
k=1
ckejΩ0kt
=
∞
k=1
c−ke−jΩ0kt
+ c0 +
∞
k=1
ckejΩ0kt
= c0 +
∞
k=1
ckejΩ0kt + ckejΩ0kt
= c0 +
∞
k=1
2 Re{ckejΩ0kt
} = c0 +
∞
k=1
2|ck| Re{ej(Ω0kt+θk)
}
= c0 +
∞
k=1
2|ck| cos (Ω0kt + θk) (4.16)
Existe una tercera representaci´on de la serie de Fourier para funciones reales x(t), que se
obtiene de (4.16) utilizando la identidad trigonom´etrica cos(α+β)=cos α cos β−sen α sen β:
x(t) = a0 +
∞
k=1
(ak cos Ω0kt + bk sen Ω0kt)
con a0 = c0, ak = 2|ck| cos θk y bk = −2|ck| sen θk
En principio, la descomposici´on de una funci´on real x(t) en una serie de Fourier brindar´a
un conjunto de coeficientes ck (o alternativamente ak y bk) que indican qu´e tan fuerte es
la componente k de frecuencia angular kΩ0 en la funci´on original. Esto es, la serie de
Fourier es un primer paso para realizar un an´alisis en el dominio de la frecuencia, que ser´a
el tema del siguiente cap´ıtulo.
Las llamadas condiciones de Dirichlet para la funci´on x(t) garantizan la convergencia de
la serie de Fourier en todo punto de x(t) exceptuando en sus discontinuidades, donde la
serie converge al valor medio de la discontinuidad. Estas condiciones son:
1. La funci´on x(t) tiene un n´umero finito de discontinuidades en cualquier periodo.
2. La funci´on x(t) contiene un n´umero finito de m´aximos y m´ınimos en cualquier
periodo.
3. La funci´on x(t) es absolutamente integrable en cualquier periodo, esto es:
t+Tp
x=t
|x(t)| dt < ∞ (4.17)
Sin embargo, estas condiciones son suficientes, mas no siempre necesarias; es decir, existen
funciones con representaci´ones v´alidas en series de Fourier que no satisfacen las condiciones
de Dirichlet.
142 c 2005-2007 — P. Alvarado Uso exclusivo ITCR

13. 4.6 Problemas
4.6 Problemas
Problema 4.1. Encuentre tres vectores ortonormales en el espacio euclidiano tridimen-
sional y compruebe que el producto punto entre cualquier par de vectores es cero.
Problema 4.2. Sean ui(t) funciones de variable y valor complejos, ortogonales en el
intervalo [x1, x2]. Si la representaci´on rectangular de dichas funciones se expresa como
ui(t) = ri(t) + jqi(t) demuestre que se cumple
x2
x1
ri(t)rk(t) dt = −
x2
x1
qi(t)qk(t) dt
x2
x1
ri(t)qk(t) dt =
x2
x1
qi(t)rk(t) dt
para todo i = k.
Problema 4.3. Utilizando la funci´on de error
E(c0, c1, . . . , cn) = x(t) − xn(t) 2
=
x2
x1
|x(t) − xn(t)|2
dt
demuestre que para funciones y coeficientes complejos los coeficientes definidos en (4.11)
minimizan la funci´on de error. (Sugerencia: Exprese ci en coordenadas rectangulares
como ci = ai + jbi, y utilice los resultados del problema 4.2.)
c 2005-2007 — P. Alvarado Uso exclusivo ITCR 143

14. 4 Ortogonalidad y Series de Fourier
144 c 2005-2007 — P. Alvarado Uso exclusivo ITCR