El documento describe los conceptos básicos de un espacio vectorial, incluyendo vectores libres, suma y multiplicación de vectores, y propiedades como conmutatividad y asociatividad. Explica que un espacio vectorial es un conjunto con operaciones de suma y multiplicación por escalares que cumplen ciertas propiedades.

1. Espacio Vectorial
Espacio Vectorial R3
En algebra abstracta, un espacio vectorial es una estructura creada a partir de un conjunto
no vacio, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y
una operación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y
otro conjunto, con estructura de cuerpo ), con 8 propiedades fundamentales.
1.1 Ubicación de puntos en el espacio R3
Puntos en el espacio R2
El punto P(3,2) esta ubicado en el plano de coordenadas (x,y).
R2 es el conjunto formado por todos los pares ordenados (x,y) de números reales:
Por x= 3 se traza una paralela al eje y.
Por y= 2 se traza una paralela al eje x.
Estas dos paralelas se cortan en el punto P de coordenadas (3,2).
Puntos en el espacio R3
El punto P(2,3,4) esta ubicado en un sistema de coordenadas en el espacio.
Para hacer la representación de dicho punto procedemos asi:
Por x= 2 se traza una paralela al eje y.
Por y= 3 se traza una paralela al eje x.
Estas dos paralelas se cortan en el punto Q. Este punto es la proyección de P sobre el plano
XY.
Levantamos desde Q, y a 4 unidades, una paralela al eje Z.

2. En general decimos: para representar puntos en el espacio es utilizado un sistema de 3 ejes
coordenados que poseen un origen común. Cada uno de ellos es perpendicular a los otros
dos.
1.2 Vectores Libres
Dados los puntos A y B, en el espacio, se llama vector geométrico AB al segmento
orientado cuyo origen es A y extremo B. El punto inicial A y el punto final B pueden estar
ubicados en cualquier parte del espacio tridimensional.
Observación: Los vectores los denotaremos con letra negrilla. AB se lee vector de origen A
y extremo B.
El modulo o magnitud de un vector no es más que su longitud.
La dirección de un vector está representada por la dirección de la recta que lo contiene.
El sentido de un vector está dado por la orientación que se le dé a la recta que lo contiene,
orientación que vendrá dada por la punta de la flecha.
Si CD es otro vector geométrico, paralelo al anterior, del mismo modulo y sentido, decimos
que AB y CD son equivalentes o equipolentes AB=CD, es decir, que AB es equivalente a
CD es idéntico a afirmar que sus componentes coinciden.
AB=CD
(X2 – X1 , Y2 – Y1 , Z2 – Z1) = (X4 – X3 , Y4 – Y3 , Z4 - Z3)
Al conjunto constituido por todos los vectores geométricos equivalentes los llamaremos
vectores libres.
Un vector libre es una única terna de números V3 = (X1 , X2 , X3), pero con infinitos
representantes geométricos. Cualquiera de ellos puede identificarse con el vector V3.
De todos los representantes de V3, tomaremos aquel cuyo origen coincide con el origen de
coordenadas, el cual llamaremos representante canónico.

3. 1.3 Biyecciòn entre el conjunto V3 de los vectores libres y R3
Recordemos que una función es biyectiva si se cumple la condición de ser inyectiva y
sobreyectiva simultáneamente.
Si establecemos una correspondencia entre el espacio R3 y el conjunto de los vectores libres
V3 encontramos las siguientes características:
La correspondencia f de R3 en V3 es una función, ya que para cada terna de R3 es posible
asociarle un único vector libre
f (X1 , Y1 , Z1) = vector libre
Como a dos ternas distintas de números reales (X1 , Y1 , Z1) y (X2 , Y2 , Z2) le
corresponden vectores libres diferentes, decimos que la función es inyectiva.
Todo vector libre es imagen de, al menos una terna de números reales. Esta condición nos
indica que la función es sobreyectiva.
Estas tres características cumplidas nos permiten decir que la función definida f :
R3
V3, es biyectiva.
Concluimos, que existe una biyeccion entre el conjunto V3de los vectores libres y R3 de los
números reales.

4. 1.4 Longitud o norma de un vector
La norma o modulo de un vector es la medida de la longitud de cualquiera de sus
representantes.
Si A = (X1 , Y1 , Z1), la expresión que define la norma o el modulo viene dado por la
expresión:
1.5 Suma de vectores. Definición
Sean A= (X1, Y1,Z1) y B= (X2, Y2,Z2) dos vectores. La suma de estos vectores queda
definida de la siguiente manera:
A+B= (X1, Y1,Z1) + (X2, Y2,Z2) = = (X1 + X2, Y1+ Y2, Z1+ Z2)

5. Propiedades de la suma de vectores
Si a, b y c son vectores en R3 se verifican las siguientes propiedades:
La suma de dos vectores en R3 es otro vector.
A+B= (X1, Y1,Z1) + (X2, Y2,Z2) = (X1 + X2, Y1+ Y2, Z1+ Z2)
Propiedad asociativa: (A+B) + C = A+(B+C)
Propiedad conmutativa: A+B= B+A
Existencia del elemento neutro: para cada A existe (0) tal que 0+A= A
Existencia del elemento opuesto: para cada A existe (-A), tal que: A+ (-A) = 0
Vectores Opuestos
Los vectores A = (X1, Y1,Z1) y –A (-X1, -Y1-,Z1), se dice que son opuestos, ya que los
valores de los componentes de A y de –A son opuestos.
Se debe verificar que:
A+ (-A)= 0
En efecto:
(X1, Y1,Z1) + (-X1, -Y1-,Z1) = (X1 – X1, Y1 – Y1, Z1 – Z1) = (0,0,0)
Esta definición nos permite estudiar la resta de dos vectores como un caso particular de la
suma, diciendo que:
La diferencia de dos vectores AyB no es mas que la suma de A con el opuesto de B.
A-B= A+(-B)
1.6 Producto de un numero real por un vector:
Sea A = ( X,Y,Z) un vector en R3 y α un numero real. El producto de un numero real α por,
el vector A es otro vector definido así:
α A= α (X,Y,Z) = (α X, α Y, α Z)
EJEMPLO:
Dado el vector A= (-2, 1, 3) y α = calcular el producto α . A
α . A = 3 (-2, 1, 3)= (-6, 3, 9)
α . A = (-6, 3, 9)

6. Propiedades de la multiplicación de un escalar por un vector
Si A y B son vectores y α es un escalar, se verifica que:
Ley externa: si α Ɛ R3 , se realiza un producto α . A que pertenece a R3. es el produco de un
numero real que no esta en R3 y un vector que esta en R3. Esta ultima es la razón por la cual
la operación es llamada ley externa
Propiedad distributiva del producto de un escalar respecto a la suma de vectores:
α (A+B) = α . A + α . B
Propiedad distributiva del producto de un vector con respecto a la adicion de escalares:
(α + β) A = α . A + β . A
Propiedad asociativa respecto al producto de números reales:
Α . (β . A) = (α . β) . A
Elemento neutro: para todo A Ɛ R3 existe Ɛ R, tal que 1 . A= A
1.7 Definicion de espacio vectorial
Hemos estudiado el conjunto B de todos los vectores libres del espacio, definiendo, en ese
entonces, dos operaciones:
Una de ellas interna, llamadas suma de vectores con sus respectivas propiedades.
Otra, el producto de un escalar por un vector, llamada externa. Este también dotada de sus
respectivas propiedades.
Con estas condiciones se dice que B es un espacio vectorial.
Definición

7. 1.8 Producto escalar de dos vectores
Definición
1.9 Vectores perpendiculares u ortogonales

8. 1.10 Los vectores unitarios
1.11 Producto vectorial de dos vectores
Definición algebraica del producto vectorial
Definición geométrica del producto vectorial

9. 1.12 Propiedades del producto vectorial
1.13 Aplicaciones del producto vectorial
- Area de un paralelograma

10. - Volumen de un paralelepípedo