Espacios_vectoriales-En Inteligencia Artificial

Espacios vectoriales
Francisco James León Trujillo
Facultad de Ingenierı́a Industrial y de Sistemas
Universidad Nacional de Ingenierı́a
Thursday 25th April, 2024
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Visión general
1. Definición y ejemplos
2. Subespacios vectoriales
3. Independencia lineal entre vectores
4. Bases y dimensión de un espacio vectorial
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Definición y ejemplos
El primer encuentro con el concepto de vector se tiene en la fı́sica. Sea O un punto fijo
del plano, entonces un vector aplicado en O es una ”flecha” que inicia en O y puede ser
descrita por el módulo, dirección y sentido u orientación.
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Estos vectores se pueden sumar, utilizando la regla del paralelogramo, y escalados
tomando una flecha de longitud un múltiplo real de la flecha inicial, cambiando el sentido
de la flecha en el caso el factor de escala sea un número negativo.
El conjunto de los vectores aplicados en un punto, con la operación de adición entre
vectores y la multiplicación de vectores por un escalar real forman un espacio vectorial, en
el sentido de la siguiente definición formal
Definición
Sea pK, `K
, ¨q un campo. Un espacio vectorial sobre K es un conjunto no vacio V con
dos operaciones
`
V
: V ˆ V Ñ V ,
pv1, v2q ÞÑ v1 `
V
v2,
‚: K ˆ V Ñ V ,
pα, vq ÞÑ α ‚ v,
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continuación de la definición
denominadas respectivamente adición entre vectores y multiplicación de un vector por un
escalar, que satisfacen las siguientes propiedades.
1. Asociatividad: v1 `
V
pv2 `
V
v3q “ pv1 `
V
v2q `
V
v3, para cada v1, v2, v3 P V .
2. Existencia del elemento neutro: existe un elemento 0V
P V tal que
v `
V
0V
“ 0V
`
V
v “ v, para cada v P V . El elemento 0V
es dicho elemento neutro.
3. Existencia del elemento opuesto: para cada v P V existe ´v P V tal que
v `
V
p´vq “ p´vq `V
v “ 0V
. El elemento ´v es dicho elemento opuesto de v.
4. Conmutatividad: v1 `V
v2 “ v2 `V
v1, para cada v1, v2 P V .
5. Distributividad de la multiplicación respecto a la adición de vectores:
α ‚ pv1 `V
v2q “ α ‚ v1 `V
α ‚ v2, para cada α P K y para cada v1, v2 P V .
6. Distributividad de la multiplicación respecto a la adición de escalares:
pα `K
βq ‚ v “ α ‚ v `V
β ‚ v, para cada α, β P K y para cada v P V .
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continuación de la definición
7. Compatibilidad del producto (o pseudo-asociatividad):
pα ¨ βq ‚ v “ α ‚ pβ ‚ vq, para cada α, β P K y para cada v P V .
8. Compatibilidad del elemento neutro multiplicativo escalar:
1 ‚ v “ v, para cada v P V , 1 P K.
Los elementos de un espacio vectorial V sobre el campo K son llamados vectores y los
elementos de K son llamados escalares.
Las primeras cuatro propiedades implican que V es un grupo conmutativo respecto a la
adición de vectores, en particular que el conjunto vacio no es un espacio vectorial.
El espacio vectorial más ”pequeño” posible es un espacio con solo el elemento neutro
V “ t0V
u denominado espacio trivial o espacio nulo.
Si K “ R o K “ C, el espacio vectorial es denominado respectivamente espacio vectorial
real o espacio vectorial complejo.
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Notar que las precedentes propiedades, en particular las últimas cuatro, involucran cuatro
operaciones distintas: las dos del espacio vectorial y las dos operaciones del campo K. En
adelante no se usaran sı́mbolos diferentes para las cuatro operaciones. Entonces, por
ejemplo, la propiedad 7 se reescribe como pαβqv “ αpβvq, y la propriedad 6 se reescribe
como pα ` βqv “ αv ` βv.
Las precedentes ocho propiedades que definen un espacio vectorial son independientes. A
partir de estas propiedades siguen las siguientes dos
1. 0v “ 0V
“ α0V
, para cada α P K y para cada v P V .
2. p´1qv “ ´v, para cada v P V .
Ejemplo
El más importante ejemplo de espacio vectorial es el espacio vectorial de las n-uplas
ordenadas de elementos de un campo K.
En el caso de K “ R se tiene el siguiente espacio vectorial
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continuación del ejemplo
Sea n un entero positivo, entonces un vector numérico con n componentes es una n-upla
ordenada de números reales, un elemento v “
¨
˚
˚
˚
˝
x1
x2
.
.
.
xn
˛
‹
‹
‹
‚
de Rn, donde Rn “ R ˆ R ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ R
looooooooomooooooooon
n veces
.
El elemento xi di v es la i-ésima componente del vector numérico v. Definimos dos
operaciones sobre Rn:
Dados v1 “
¨
˚
˚
˚
˝
x1
x2
.
.
.
xn
˛
‹
‹
‹
‚
, v2 “
¨
˚
˚
˚
˝
y1
y2
.
.
.
yn
˛
‹
‹
‹
‚
P Rn, entonces definimos la adición de vectores numéricos
como el vector
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continuación del ejercicio
v1 ` v2 :“
¨
˚
˚
˚
˝
x1 ` y1
x2 ` y2
.
.
.
xn ` yn
˛
‹
‹
‹
‚
.
Dados v “
¨
˚
˚
˚
˝
x1
x2
.
.
.
xn
˛
‹
‹
‹
‚
y α P R, entonces definimos la multiplicación de un vector por un
escalar como el vector αv :“
¨
˚
˚
˚
˝
αx1
αx2
.
.
.
αxn
˛
‹
‹
‹
‚
.
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Se puede verificar que estas operaciones satisfacen todas las ocho propiedades de los
espacios vectoriales. Entonces, el conjunto Rn con las dos operaciones descritas es un
espacio vectorial sobre el campo R.
Todo lo mencionado para el campo R es valido para cualquier campo K: El conjunto de
las n-uplas ordenadas de elementos de K o producto cartesiano Kn “ K ˆ K ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ K
looooooooomooooooooon
n veces
sobre el cual las operaciones de adición entre n-uplas y multiplicación de una n-upla por
un escalar se definen en modo análogo. Utilizando las propiedades de las operaciones del
campo K se demuestra que las precedentes operaciones sobre Kn satisfacen todos los
axiomas de los espacios vectoriales. El conjunto Kn dotado de estas operaciones es un
espacio vectorial sobre el campo K.
Por ejemplo, Qn es un espacio vectorial sobre Q, ası́ como Cn es un espacio vectorial
sobre C.
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Ejemplo
Sea Rrxs el conjunto de los polinomios en una variable a coeficientes reales. Un genérico
elemento de grado n es
ppxq “ a0 ` a1x ` a2x2
` . . . ` an´1xn´1
` anxn
,
con n P Zě0, coeficientes a0, a1, . . . , an P R y an ‰ 0. Definiendo la adición de dos
polinomios como la clásica suma entre polinomios: la suma coeficiente por coeficiente
respecto a monomios del mismo grado. Además, definimos el producto de un polinomio
por un escalar α P R como el clásico producto de un polinomio por un número real: el
producto de α con cada coeficiente del polinomio.
El conjunto Rrxs con estas dos operaciones es un espacio vectorial real. El vector nulo es
el polinomio identicamente nulo, es decir el polinomio costante igual a cero. El vector
opuesto se obtiene cambiando el signo a todos los coeficientes del polinomio.
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Ejemplo
Sea C0pRq el conjunto de las funciones f : R Ñ R continuas.
Definimos la suma de dos funciones como la clásica suma entre funciones reales:
pf ` gqpxq :“ f pxq ` gpxq, para cada f , g P C0
pRq y para cada x P R.
Definimos el producto de una función por un escalar α P R como el clásico producto de
una función por un número real:
pαf qpxq :“ αf pxq, para cada f P C0
pRq y para cada x P R.
El conjunto C0pRq con las operaciones descritas es un espacio vectorial real.
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Subespacios vectoriales
Sea V un espacio vectorial sobre un campo K. Un genérico subconjunto W de un espacio
vectorial V no necesariamente es un espacio vectorial sobre K.
Definición
Sea V un espacio vectorial sobre el campo K y W un subconjunto de V . Sean
`: V ˆ V Ñ V y ¨: K ˆ V Ñ V las operaciones de la estructura de espacio vectorial
sobre V . Entonces, W es un subespacio vectorial de V si las precedentes operaciones
restringidas a W `: W ˆ W Ñ W y ¨: K ˆ W Ñ W satisfacen las ocho propiedades
fundamentales de la definición de espacio vectorial.
Proposición
Sea V un espacio vectorial sobre el campo K. Un subconjunto W de V es un subespacio
vectorial de V si no es vacio y si se verifican las siguientes dos condiciones:
1. para cada w1, w2 P W , entonces w1 ` w2 P W ;
2. para cada w P W y α P K, entonces αw P W .
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De la segunda condición sigue inmediatamente que 0V
P W , basta escoger α “ 0. Esto
significa que si 0V
R W , entonces W no es un subespacio vectorial de V .
Entonces, para verificar que W no sea vacio, resulta conveniente verificar si 0V
P W .
Ejemplo
Sea V “ R2 y K “ R. Quáles de los siguientes subconjuntos de R2 también es un
subespacio vectorial?
1. W1 “
"ˆ
x
y
˙
P R2, 2x ´ y “ 0
*
;
2. W2 “
"ˆ
x
y
˙
P R2, 2x ´ y “ 1
*
;
3. W3 “
"ˆ
x
y
˙
P R2, 2x ´ y2 “ 0
*
;
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4. W4 “
"ˆ
x
y
˙
P R2, x2 ` y2 “ 0
*
;
5. W5 “
"ˆ
x
y
˙
P R2, xy ě 0
*
;
6. W6 “
"ˆ
x
y
˙
P R2, x ě 0
*
.
Verificamos si los subconjuntos son un subespacio o no.
1. Se tiene que
ˆ
0
0
˙
P W1 “
"ˆ
x
y
˙
P R2, 2x ´ y “ 0
*
. Entonces W1 ‰ ∅.
Verificamos si W1 es cerrado respecto a la adición. Sean w1, w2 dos elementos
genéricos de W1. Entonces w1 “
ˆ
a1
b1
˙
, con 2a1 ´ b1 “ 0, y w2 “
ˆ
a2
b2
˙
, con
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2a2 ´ b2 “ 0. Para verificar que W1 es cerrado respecto a la suma, calculamos
w1 ` w2 y verificamos que pertenece a W1, es decir que satisface 2x ´ y “ 0.
Entonces
w1 ` w2 “
ˆ
a1
b1
˙
`
ˆ
a2
b2
˙
“
ˆ
a1 ` a2
b1 ` b2
˙
,
de donde
2pa1 ` a2q ´ pb1 ` b2q “ 2a1 ` 2a2 ´ b1 ´ b2 “
“ 2a1 ´ b1
looomooon
“0
porque w1PW1
` 2a2 ´ b2
looomooon
“0
porque w2PW1
“ 0.
Entonces W1 es cerrado respecto a la suma.
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Para verificar que también es cerrado respecto al producto de un vector por un
escalar calculamos αw1 y verificamos que pertenece a W1 para cada α P R. Entonces
αw1 “ α
ˆ
a1
b1
˙
“
ˆ
αa1
αb1
˙
,
de donde
2αa1 ´ αb1 “ αp2a1 ´ b1
looomooon
“0
porque
w1PW1
q “ α0 “ 0,
para cada α P R. Entonces W1 es cerrado respecto al producto de un vector por un
escalar. Sigue que W1 es un subespacio vectorial de R2.
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2. Se tiene que
ˆ
0
0
˙
R W2 “
"ˆ
x
y
˙
P R2, 2x ´ y “ 1
*
porque no satisface la condición
2x ´ y “ 1 de pertenencia a W2. Entonces W2 non es un subespacio vectorial de R2,
solamente es un subconjunto. No es necesario verificara las otras dos condiciones.
3. Se tiene que
ˆ
0
0
˙
P W3 “
"ˆ
x
y
˙
P R2, 2x ´ y2 “ 0
*
porque satisface la condición
2x ´ y2 “ 0 de pertenencia a W3. Entonces W3 ‰ ∅. Sean w1, w2 dos elementos
genéricos de W3. Entonces w1 “
ˆ
a1
b1
˙
, con 2a1 ´ b2
1 “ 0, y w2 “
ˆ
a2
b2
˙
, con
2a2 ´ b2
2 “ 0. Verificamos si w1 ` w2 “
ˆ
a1 ` a2
b1 ` b2
˙
pertenece a W3, es decir que
satisface 2x ´ y2 “ 0:
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2pa1 ` a2q ´ pb1 ` b2q2
“ 2a1 ` 2a2 ´ b2
1 ´ 2b1b2 ´ b2
2 “
“ 2a1 ´ b2
1
looomooon
“0
porque w1PW3
` 2a2 ´ b2
2
looomooon
“0
porque w2PW3
´2b1b2 “ ´2b1b2.
Entonces w1 ` w2 P W3 si y solo si b1 “ 0 o b2 “ 0. Entonces W3 no es cerrado
respecto a la suma, es decir no es un subespacio vectorial de R2, solo un subconjunto.
4. Notar que W4 “
"ˆ
x
y
˙
P R2, x2 ` y2 “ 0
*
coincide con
"ˆ
0
0
˙*
, es decir W4 es el
subespacio trivial de R2.
5. El conjunto W5 “
"ˆ
x
y
˙
P R2, xy ě 0
*
geométricamente es la unión del primer y
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del tercer cuadrante del plano cartesiano, incluyendo los ejes coordenados, entonces
contiene el origen y W5 ‰ ∅, pero no es un subespacio vectorial de R2 porque, por
ejemplo, no es cerrado respecto a la adición de sus elementos.
6. El conjunto W6 “
"ˆ
x
y
˙
P R2, x ě 0
*
geométricamente es la unión del primer y del
cuarto cuadrante del plano cartesiano, eje coordenado y y semieje no negativo de las
x incluidos. Entonces contiene el origem y W6 ‰ ∅, pero no es un subespacio
vectorial de R2 porque, por ejemplo, no es cerrado respecto a la multiplicación de un
escalar negativo por uno se sus elementos.
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Ejemplo
Sea AX “ 0 un sistema lineal homogéneo de m equaciones y n incognitas y sea S el
conjunto de las soluciones. Entonces X es la matriz columna n ˆ 1 de las incognitas
x1, . . . , xn y 0 es la matriz columna nula m ˆ 1. Además, S es un subconjunto de Rn. En
este caso, S es un subespacio vectoriale de Rn. En efecto, la solución trivial nula es
solución del sistema homogéneo, entonces S ‰ ∅. Sean X1 y X2 dos elementos genéricos
de S, es decir cumplen AX1 “ 0 y AX2 “ 0, entonces la suma respectiva aún es una
solución del sistema: ApX1 ` X2q “ AX1 ` AX2 “ 0 ` 0 “ 0, y S es cerrado respecto a la
suma. Cada múltiplo real de una solución aún es una solución del sistema:
ApαX1q “ αAX1 “ α0 “ 0, y S también es cerrado respecto al producto de un vector por
un escalar y, por consiguiente, es un subespacio vectorial de Rn.
El subconjunto W1 de R2 del ejemplo precedente es un caso particular.
Notar que el conjunto de las soluciones de un sistema lineal no homogéneo no es un
subespacio vectorial, por ejemplo no contiene la solució trivial 0Rn . Se vea el caso de W2.
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Ejemplo
Los subconjuntos UnpRq, de las matrices reales triangulares superiores, LnpRq, de las
matrices reales triangulares inferiores, DnpRq, de las matrices reales diagonales, SnpRq, de
las matrices reales simétricas y AnpRq, de las matrices reales antisimétricas, son
subespacios vectoriales del espacio vectorial real de las matrices cuadradas reales MnpRq
de orden n.
Ejemplo
Sea Rrxs el espacio vectorial real de los polinomios a coeficientes reales en la incognita x.
El subconjunto de los polinomios de grado n P Zą0, indicado con Rrxs“n, no es un
subespacio vectorial: el polinomio nulo no tiene grado n y no pertenece a este conjunto.
Además, este conjunto no es cerrado respecto a la adición de polinomios, porque la suma
de dos polinomios de grado n puede ser un polinomio de grado menor de n.
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En cambio, el subconjunto de los polinomios de grado menor de n P Zą0, indicado con
Rrxsăn, es un subespacio vectorial de Rrxs: contiene el polinomio nulo, que tiene grado
´8, es cerrado respecto a la suma de dos polinomios, y es cerrado respecto al producto
de un polinomio por un escalar α.
Sea V un espacio vectorial sobre el campo K y sean U y W dos subespacios de V .
La intersección U X W es un subespacio de V :
El vector nulo 0V
pertenece sea a U que a W , entonces 0V
P U X W y U X W ‰ ∅.
Si v1, v2 P U X W , entonces v1, v2 P U y v1, v2 P W . Dado que U y W son subespacios,
sigue que v1 ` v2 P U y v1 ` v2 P W , es decir v1 ` v2 P U X W . Entonces U X W es
cerrado respecto a la suma de vectores.
Análogamente, si v P U X W , entonces αv P U y αv P W para cada α P R, es decir
αv P U X W . Entonces U X W es cerrado respecto al producto de un vector por un
escalar. Por lo tanto U X W es un subespacio vectorial de V .
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Además, la intersección U X W también es un subespacio vectorial sea de U que de W .
En cambio, en general U Y W no es un subespacio vectorial, como lo muestra el siguiente
Ejemplo
Sea V “ R2 y K “ R. Sean U “
"ˆ
x
y
˙
P R2, x “ 0
*
y W “
"ˆ
x
y
˙
P R2, y “ 0
*
. Los
conjuntos U y W son subespacios vectoriales porque son conjuntos de soluciones de
sistemas lineales homogéneos y, en particular, son los dos ejes coordenados del plano
cartesiano. Entonces, la unión U Y W es la unión de los ejes cartesianos. Escogiendo
u “
ˆ
1
0
˙
y w “
ˆ
0
1
˙
, tenemos u ` w “
ˆ
1
1
˙
R U Y W , que muestra que la unión de
subespacios no es, en general, cerrada respecto a la suma de vectores.
Un subespacio vectorial de V que contenga U y W como subespacios es la suma de
subespacios vectoriales.
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Definición
Sea V un espacio vectorial sobre el campo K y sean U y W dos subespacios de V . Se
define la suma de dos subespacios U y W el conjunto
U ` W :“ tu ` w, con u P U, w P W u.
Proposición
El conjunto suma de dos subespacios de V es un subespacio vectorial de V .
Definición
Sea V un espacio vectorial sobre el campo K y sean U y W dos subespacios de V . Si
U X W “ t0V
u, entonces la suma U ` W se dice suma directa y se indica con U ‘ W .
Los subespacios U y W son llamados suplementarios si U X W “ t0V
u y U ` W “ V .
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Ejemplo
Sean V “ R3 y K “ R. Consideramos los siguientes subespacios vectoriales:
W1 “
$
&
%
¨
˝
x
y
z
˛
‚P R3,
"
x “ 0
y “ 0
,
.
-
, W2 “
$
&
%
¨
˝
x
y
z
˛
‚P R3,
"
y “ 0
z “ 0
,
.
-
,
W3 “
$
&
%
¨
˝
x
y
z
˛
‚P R3, z “ 0
,
.
-
y W4 “
$
&
%
¨
˝
x
y
z
˛
‚P R3, y “ 0
,
.
-
.
Geométricamente el subespacio W1 es el eje coordenado z, el subespacio W2 es el eje
coordenado x, el subespacio W3 es el plano que contiene los ejes x e y y el subespacio
W4 es el plano que contiene los ejes x y z.
Los espacios suma W1 ` W2 y W1 ` W3 son en suma directa.
Los espacios suma W2 ` W3 y W3 ` W4 no son en suma directa.
Los subespacios W1 y W2 no son suplementarios: W1 ‘ W2 Ĺ R3.
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Los subespacios W1 y W3 son suplementarios, W1 ‘ W3 “ R3: cada punto del espacio
¨
˝
x
y
z
˛
‚se puede obtener como la suma de un punto
¨
˝
x
y
0
˛
‚P W3 y de un punto
¨
˝
0
0
z
˛
‚P W1.
Proposición
Sea V un espacio vectorial sobre el campo K y sean U y W subespacios vectoriales de V .
1. Si U ` W “ V , entonces para cada v P V existen u P U y w P W tales que
u ` w “ v.
2. Si U ‘ W “ V , entonces la precedente descomposición es única.
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Ejemplo
En el espacio vectorial M2pRq consideramos los subespacios vectoriales
U “ D2pRq “
"ˆ
a 0
0 b
˙
, a, b P R
*
y W “
"ˆ
c d
0 c
˙
, c, d P R
*
.
Notar que W también es un subespacio de U2pRq. Entonces sigue que
U X W “
"ˆ
s 0
0 s
˙
, s P R
*
es el subespacio de las matrices escalares de orden 2, y
U ` W “
"ˆ
f g
0 h
˙
, f , g, h P R
*
es el subespacio U2pRq.
Además, U y W no son en suma directa y U ` W “ U2pRq Ĺ M2pRq.
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Independencia lineal entre vectores
Definición
Sea V un espacio vectorial sobre un campo K. Se consideren m vectores v1, . . . , vm P V
e igual número de escalares α1, . . . , αm P K. La combinación lineal de vectores v1, . . . , vm
con coeficientes los escalares α1, . . . , αm es el vector
v “ α1v1 ` . . . ` αmvm.
Se define el conjunto LK tv1, . . . , vmu de todas las combinaciones lineales de los vectores
v1, . . . , vm con coeficientes en K:
LK tv1, . . . , vmu “ tα1v1 ` . . . ` αmvm, para cada α1, . . . , αm P Ku.
Se verifica que el subconjunto LK tv1, . . . , vmu de V es un subespacio vectorial de V ,
también indicado como LinK tv1, . . . , vmu o spanK tv1, . . . , vmu, y es el más pequeño
subespacio vectorial de V que contiene a los vectores v1, . . . , vm que lo generan.
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Ejemplo
Sean V “ R3, K “ R, y los vectores v1 “
¨
˝
3
2
0
˛
‚, v2 “
¨
˝
´4
2
1
˛
‚, v3 “
¨
˝
1
´1
1
˛
‚, v4 “
¨
˝
0
´2
2
˛
‚,
entonces
v “ 2v1 ` 0v2 ` p´3qv3 ` 1v4 “
“ 2
¨
˝
3
2
0
˛
‚` 0
¨
˝
´4
2
1
˛
‚` p´3q
¨
˝
1
´1
1
˛
‚` 1
¨
˝
0
´2
2
˛
‚“
“
¨
˝
6
4
0
˛
‚`
¨
˝
0
0
0
˛
‚`
¨
˝
´3
3
´3
˛
‚`
¨
˝
0
´2
2
˛
‚“
¨
˝
3
5
´1
˛
‚P Ltv1, v2, v3, v4u
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Ejemplo
Sean V “ M2,3pRq, K “ R, y las matrices
A1 “
ˆ
3 1 ´2
0 2 1
˙
, A2 “
ˆ
0 3 ´3
7 ´2 ´1
˙
, A3 “
ˆ
2 2 0
2 0 ´6
˙
, entonces
A “ 4A1 ` p´1qA3 `
1
2
A4 “
“ 4
ˆ
3 1 ´2
0 2 1
˙
` p´1q
ˆ
0 3 ´3
7 ´2 ´1
˙
`
1
2
ˆ
2 2 0
2 0 ´6
˙
“
“
ˆ
12 4 ´8
0 8 4
˙
`
ˆ
0 ´3 3
´7 2 1
˙
`
ˆ
1 1 0
1 0 ´3
˙
“
“
ˆ
13 2 ´5
´6 10 2
˙
P Ltv1, v2, v3u.
31 / 67

Ejemplo
Sean V “ Rrxs, K “ R, y los polinomios
p1pxq “ 3x2 ` 4x ´ 5, p2pxq “ x ` 6, p3pxq “ 2x2 ´ x ` 2, entonces
ppxq “ 2p1pxq ` p´3qp2pxq ` 1p3pxq “
“ 2p3x2
` 4x ´ 5q ` p´3qpx ` 6q ` 1p2x2
´ x ` 2q “
“ p6x2
` 8x ´ 10q ` p´3x ´ 18q ` p2x2
´ x ` 2q “
“ 8x2
` 4x ´ 26 P Ltp1pxq, p2pxq, p3pxqu.
Definición
Sea V un espacio vectorial sobre el campo K. Consideramos los vectores v1, . . . , vm P V .
Estos vectores v1, . . . , vm son llamados linealmente independientes si no existe ninguna
combinación lineal, a parte de aquella trivial (con todos los coeficientes nulos) que da el
vectore nulo. En otro caso, los vectores v1, . . . , vm son llamados linealmente dependientes.
32 / 67

Ejemplo
Sea V “ R3 y K “ R. Los vectores v1 “
¨
˝
1
0
1
˛
‚, v2 “
¨
˝
0
1
0
˛
‚son linealmente
independientes: poniendo
α1v1 ` α2v2 “ α1
¨
˝
1
0
1
˛
‚` α2
¨
˝
0
1
0
˛
‚“
¨
˝
α1
0
α1
˛
‚`
¨
˝
0
α2
0
˛
‚“
¨
˝
α1
α2
α1
˛
‚“
¨
˝
0
0
0
˛
‚,
la igualdad vale si y solo si α1 “ α2 “ 0.
En cambio los vectores v1, v2, v3 “
¨
˝
2
1
2
˛
‚son linealmente dependientes: por ejemplo,
escogiendo α1 “ 2, α2 “ 1, α3 “ ´1, se tiene
33 / 67

α1v1 ` α2v2 ` α3v3 “ 2
¨
˝
1
0
1
˛
‚` 1
¨
˝
0
1
0
˛
‚` p´1q
¨
˝
2
1
2
˛
‚“
¨
˝
2
0
2
˛
‚`
¨
˝
0
1
0
˛
‚`
¨
˝
´2
´1
´2
˛
‚“
¨
˝
0
0
0
˛
‚.
En general, determinar si un conjunto de vectores esta constituito por vectores
linealmente independientes equivale a determinar si un sistema lineal homogéneo tiene
una única solución o no.
Ejemplo
Sean V “ R3 y K “ R. Para verificar si los siguientes vectores v1 “
¨
˝
1
´2
´1
˛
‚, v2 “
¨
˝
3
1
3
˛
‚
son linealmente independientes aplicamos la definición de independencia lineal: Poniendo
34 / 67

α1v1 ` α2v2 “α1
¨
˝
1
´2
´1
˛
‚` α2
¨
˝
3
1
3
˛
‚
“
¨
˝
α1
´2α1
´α1
˛
‚`
¨
˝
3α2
α2
3α2
˛
‚
“
¨
˝
α1 ` 3α2
´2α1 ` α2
´α1 ` 3α2
˛
‚“
¨
˝
0
0
0
˛
‚,
donde la última igualdad vectorial equivale al siguiente sistema lineal homogéneo
$
&
%
α1 ` 3α2 “ 0
´2α1 ` α2 “ 0
´α1 ` 3α2 “ 0.
con la única solución trivial
"
α1 “ 0
α2 “ 0
. Entonces, sigue que los vectores dados son
linealmente independientes.
35 / 67

Análogamente, para verificar si los vectores v1, v2, v3 “
¨
˝
3
8
9
˛
‚son linealmente
independientes aplicamos la definición de independencia lineal
α1v1 ` α2v2 ` α3v3 “
¨
˝
α1
´2α1
´α1
˛
‚`
¨
˝
3α2
α2
3α2
˛
‚`
¨
˝
3α3
8α3
9α3
˛
‚“
“
¨
˝
α1 ` 3α2 ` 3α3
´2α1 ` α2 ` 8α3
´α1 ` 3α2 ` 9α3
˛
‚“
¨
˝
0
0
0
˛
‚,
donde la última igualdad vectorial equivale al siguiente sistema lineal homogéneo
36 / 67

$
&
%
α1 ` 3α2 ` 3α3 “ 0
´2α1 ` α2 ` 8α3 “ 0
´α1 ` 3α2 ` 9α3 “ 0.
sistema que admite infinitas soluciones parametrizadas, por ejemplo
$
&
%
α1 “ 3t
α2 “ ´2t
α3 “ t,
con t P R. Existe al menos una eleción no trivial (existen infinitas) de los coeficientes de
la combinación lineal que permiten obtener el vector nulo, entonces estos vectores son
linealmente dependientes. Una elección se obtiene fijando un valor no nulo para t, por
ejemplo si t “ 1, tenemos
37 / 67

$
&
%
α1 “ 3
α2 “ ´2
α3 “ 1,
y ası́
α1v1 ` α2v2 ` α3v3 “ 3
¨
˝
1
´2
´1
˛
‚` p´2q
¨
˝
3
1
3
˛
‚` 1
¨
˝
3
8
9
˛
‚“
¨
˝
0
0
0
˛
‚.
De manera equivalente también se puede observar que al menos un vector depende
linealmente de los demás, por ejemplo
v3 “ ´
α1
α3
v1 ´
α2
α3
v2 es decir
¨
˝
3
8
9
˛
‚“ ´3
¨
˝
1
´2
´1
˛
‚` 2
¨
˝
3
1
3
˛
‚.
38 / 67

En el caso de vectores numéricos existe otro método para verificar la independencia lineal.
Definición
Sea A P Mm,npRq. El rango por filas de A es el máximo número de filas linealmente
independientes si consideradas como vectores numéricos de n componentes. El rango por
columnas de A es el máximo número de columnas linealmente independientes si
consideradas como vectores numéricos de m componentes.
Teorema
Sea A P Mm,npRq. El rango por filas de A, el rango por columnas de A y el rango de A
coinciden.
También es posible determinar un subconjunto de vectores linealmente independientes a
partir de los vectores considerados, en el caso estos sean linealmente dependientes.
Supongamos de tener n vectores numéricos y sea A la matriz cuyas columnas son estos
vectores. Identificado un menor no nulo de orden k ď n, entonces las columnas
39 / 67

consideradas en la submatriz de A asociada al menor forman un conjunto de vectores
linealmente independientes.
Ejemplo
Sea V “ R4 y K “ R. Vamos a determinar si los vectores
v1 “
¨
˚
˚
˝
0
0
2
2
˛
‹
‹
‚, v2 “
¨
˚
˚
˝
1
´1
´1
0
˛
‹
‹
‚, v3 “
¨
˚
˚
˝
´1
1
´1
´2
˛
‹
‹
‚, v4 “
¨
˚
˚
˝
0
0
´2
´2
˛
‹
‹
‚son linealmente independientes. En el
caso no lo fuesen, vamos a determinar un subconjunto maximal de vectores linealmente
independientes entre los vectores dados. Sea
A “
¨
˚
˚
˝
0 1 ´1 0
0 ´1 1 0
2 ´1 ´1 ´2
2 0 ´2 ´2
˛
‹
‹
‚,
40 / 67

la matriz cuyas columnas son los vectores dados. Se puede ver que rgpAq “ 2, eligiendo
como menor no nulo de orden 2 el menor det
ˆ
1 0
´1 ´2
˙
“ ´2 ‰ 0 correspondiente a la
submatriz At1,3ut2,4u. Dado que todos los orlados de esta submatriz dan menores nulos,
por el teorema de los orlados se concluye que los vectores dados son linealmente
dependientes y que un subconjunto maximal de vectores independientes entre ellos debe
tener dos vectores. Entoces, se pueden considerar los vectores linealmente independientes
v2, v4, correspondientes a las columnas consideradas en el menor escogido. En este caso
no es la única elección posible. Se pueden elegir otros menores no nulos con una elección
diversa de columnas y de vectores correspondientes. Por ejemplo, si la elección del menor
fuese det
ˆ
1 ´1
0 ´2
˙
“ ´2 ‰ 0, correspondiente a la submatriz At1,4ut2,3u, tenemos los
vectores linealmente independientes v2, v3.
41 / 67

Un método alternativo para determinar un subconjunto maximal de vectores linealmente
independientes, en un conjunto de vectores numéricos dado, es mediante el algoritmo de
eliminación de Gauss.
Ejemplo
Sea V “ R4 y K “ R. Vamos a determinar si los vectores
v1 “
¨
˚
˚
˝
0
0
2
2
˛
‹
‹
‚, v2 “
¨
˚
˚
˝
1
´1
´1
0
˛
‹
‹
‚, v3 “
¨
˚
˚
˝
´1
1
´1
´2
˛
‹
‹
‚, v4 “
¨
˚
˚
˝
0
0
´2
´2
˛
‹
‹
‚son linealmente independientes, en
caso contrario determinar un subconjunto maximal de vectores linealmente independientes
entre ellos. Sea
A “
¨
˚
˚
˝
0 1 ´1 0
0 ´1 1 0
2 ´1 ´1 ´2
2 0 ´2 ´2
˛
‹
‹
‚,
42 / 67

la matriz cuyas columnas son los vectores dados. Usando el algoritmo de eliminación de
Gauss, obtenemos
A „
¨
˚
˚
˝
2 0 ´2 ´2
0 ´1 1 0
0 0 0 0
0 0 0 0
˛
‹
‹
‚.
Dado que existen dos pivotes, se tiene rgpAq “ 2. Además, porque se tiene un pivot en la
primera y uno en la segunda columna, los vectores iniciales v1, v2, correspondientes a las
primeras dos columnas de A, forman un subconjunto de vectores linealmente
independientes.
43 / 67

Bases y dimensión de un espacio vectorial
Un espacio vetorial real no trivial tiene siempre infinitos elementos. Aún ası́, a veces, para
describir en modo completo un espacio vectorial real, son suficientes solo un número finito
de elementos. Para ello, el concepto de generadores y de base de un espacio vectorial son
centrales
Definición
Sea V un espacio vectorial sobre un campo K. Sea G un conjunto, finito o infinito, de
vectores de V . Se dice que G es un conjunto de generadores (o es un sistema de
generadores) para el espacio vectorial V si cada vector de V puede ser obtenido mediante
alguna combinación lineal de un número finito de elementos de G. Si G es un conjunto
finito tv1, . . . , vmu, entonces decir que v1, . . . , vm generan el espacio vectorial V equivale
a decir que para cada v P V existen α1, . . . , αm P K tales que α1v1 ` . . . ` αmvm “ v.
De manera equivalente, que LK tv1, . . . , vmu “ V .
44 / 67

Hacer atención a que si tv1, . . . , vmu es un conjunto de vectores de V entonces estos
constituyen un sistema de generadores para el subespacio LK tv1, . . . , vmu Ď V y la
inclusión del subespacio es siempre verdadera. En la última inclusión la igualdad es válida
solo cuando se trata de un sistema de generadores para V .
Ejemplo
Sea V “ R2 y K “ R. Los vectores e1 “
ˆ
1
0
˙
, e2 “
ˆ
0
1
˙
son generadores para R2. En
efecto, para cada vector v “
ˆ
x
y
˙
P R2, es suficiente poner α1 “ x y α2 “ y para tener
α1e1 ` α2e2 “ x
ˆ
1
0
˙
` y
ˆ
0
1
˙
“
ˆ
x
0
˙
`
ˆ
0
y
˙
“
ˆ
x
y
˙
“ v.
y se puede escribir LRte1, e2u “ R2.
45 / 67

En cambio, el vector e1 “
ˆ
1
0
˙
, considerado solo, no es un generador para R2, porque
existe al menos un vector, por ejemplo w “
ˆ
1
1
˙
, tal que para ninguna elección de
α1 P K se puede conseguir α1e1 “
ˆ
α1
0
˙
“
ˆ
1
1
˙
“ w. Es decir, LRte1u Ĺ R2.
Determinar si un conjunto finito de vectores genera un espacio vectorial es equivalente a
determinar si un sistema lineal con términos conocidos variables admite soluciones.
46 / 67

Ejemplo
Sea V “ R2 y K “ R. Determinar si los siguientes vectores v1 “
ˆ
1
1
˙
, v2 “
ˆ
2
1
˙
son
generadores para R2. Si los fuesen, entonces para cada elemento v “
ˆ
x
y
˙
P R2, existen
α1, α2 P K tales que se satisface α1v1 ` α2v2 “ v. Esta igualdad vectorial equivale a la
igualdad
ˆ
α1 ` 2α2
α1 ` α2
˙
“
ˆ
x
y
˙
, que a sua vez equivale al sistema
"
α1 ` 2α2 “ x
α1 ` α2 “ y.
Entonces, si este sistema lineal, en las incognitas α1, α2, admite soluciones para cada
x, y P R, sigue que los vectores dados son generadores para R2. Por ejemplo, mediante el
teorema de Cramer se tiene que para cada x, y, el sistema admite una sola solución para
47 / 67

α1 y α2. En ese caso tenemos LRtv1, v2u“R2. Resolviendo el sistema resulta
"
α1 “ 2y ´ x
α2 “ x ´ y.
Ejemplo
Sea V “ R2 y K “ R. Determinar si los siguientes vectores
v1 “
ˆ
1
1
˙
, v2 “
ˆ
1
3
˙
, v3 “
ˆ
0
´2
˙
constituyen un sistema de generadores para R2. Si son
generadores, entonces para cada elemento v “
ˆ
x
y
˙
P R2 existen α1, α2, α3 P K tales que
α1v1 ` α2v2 ` α3v3 “ α1
ˆ
1
1
˙
` α2
ˆ
1
3
˙
` α3
ˆ
0
´2
˙
“
ˆ
x
y
˙
. Esta igualdad vectorial
48 / 67

equivale a
ˆ
α1 ` α2
α1 ` 3α2 ´ 2α3
˙
“
ˆ
x
y
˙
, que a su vez equivale al sistema
"
α1 ` α2 “ x
α1 ` 3α2 ´ 2α3 “ y
que es compatibile porque rgpAq “ rg
ˆ
1 1 0
1 3 ´2
˙
“ rg
ˆ
1 1 0 x
1 3 ´2 y
˙
“rgpA|Bq “ 2.
Entonces LR tv1, v2, v3u “ R2. Resolviendo el sistema, se obtiene las infinitas soluciones
$
&
%
α1 “ 3x´y´2t
2 ,
α2 “ y´x`2t
2 ,
α3 “ t,
con t P R, para cada x, y fijada.
49 / 67

Ejemplo
Sea V “ R3 y K “ R. Determinar si los vectores v1 “
¨
˝
1
1
0
˛
‚, v2 “
¨
˝
2
2
1
˛
‚
, v3 “
¨
˝
´1
´1
´1
˛
‚son
generadores para R3. Si son generadores, entonces para cada elemento v“
¨
˝
x
y
z
˛
‚P R3
existen α1, α2, α3 P K tales que
α1v1 ` α2v2 ` α3v3 “ α1
¨
˝
1
1
0
˛
‚` α2
¨
˝
2
2
1
˛
‚` α3
¨
˝
´1
´1
´1
˛
‚“
¨
˝
x
y
z
˛
‚
. Esta igualdad vectorial
equivale a
¨
˝
α1 ` 2α2 ´ α3
α1 ` 2α2 ´ α3
α2 ´ α3
˛
‚“
¨
˝
x
y
z
˛
‚, que a su vez equivale al sistema
50 / 67

continuación del ejemplo $
&
%
α1 ` 2α2 ´ α3 “ x
α1 ` 2α2 ´ α3 “ y
α2 ´ α3 “ z.
Las primeras dos ecuaciones indican que x “ y. Entonces el precedente sistema no tiene
soluciones para cada x, y, z P R. Sigue que los vectores v1, v2, v3 no generan R3, si no el
subespacio propio LR tv1, v2, v3u Ĺ R3, de ecuación cartesiana x “ y.
Definición
Sea V un espacio vectorial sobre el campo K. Sea B un conjunto, finito o infinito, de
generadores para V . El conjunto B es una base para V si cada subconjunto finito di B
esta compuesto de vectores linealmente independientes. Ası́, si B es un conjunto finito
tv1, . . . , vnu, entonces los vectores v1, . . . , vn forman una base para V si son
contemporáneamente generadores y linealmente independientes.
51 / 67

Entonces, una base es un conjunto minimal de generadores para el espacio vectorial V .
Se note que cada espacio vectorial real no trivial tiene infinitas bases, mientras que el
espacio trivial no tiene bases pues contiene solo el vector nulo, el cual siempre es
linealmente dependiente.
Ejemplo
Sea V “ R2 y K “ R. Los vectores e1 “
ˆ
1
0
˙
, e2 “
ˆ
0
1
˙
forman una base para R2. Se
conoce de un ejemplo anterior que son generadores, es obvio que son linealmente
independientes porque son las columnas de la matriz identidad Ip2q con rango máximo
igual a 2 porque su determinante es igual a 1. Los vectores v1 “
ˆ
1
1
˙
, v2 “
ˆ
´1
1
˙
también forman una base para R2 (por qué?).
52 / 67

Ejemplo
Sea V “ Rn y K “ R. Los vectores
e1 “
¨
˚
˚
˚
˚
˚
˝
1
0
0
.
.
.
0
˛
‹
‹
‹
‹
‹
‚
, e2 “
¨
˚
˚
˚
˚
˚
˝
0
1
0
.
.
.
0
˛
‹
‹
‹
‹
‹
‚
, . . . , en “
¨
˚
˚
˚
˚
˚
˝
0
0
0
.
.
.
1
˛
‹
‹
‹
‹
‹
‚
,
forman una base para Rn. El elemento ei es el vector que tiene todas las componentes
iguales a 0 menos la i-ésima que es igual a 1. Se verifica que son generadores para Rn:
dado v “
¨
˚
˚
˚
˝
x1
x2
.
.
.
xn
˛
‹
‹
‹
‚
P Rn, es suficiente escoger α1 “ x1, . . . , αn “ xn para tener
53 / 67

x1e1 ` x2e2 ` . . . ` xnen “x1
¨
˚
˚
˚
˝
1
0
.
.
.
0
˛
‹
‹
‹
‚
` x2
¨
˚
˚
˚
˝
0
1
.
.
.
0
˛
‹
‹
‹
‚
` . . . ` xn
¨
˚
˚
˚
˝
0
0
.
.
.
1
˛
‹
‹
‹
‚
“
¨
˚
˚
˚
˝
x1
x2
.
.
.
xn
˛
‹
‹
‹
‚
“v.
Además e1, . . . , en son linealmente independientes: sigue del hecho que son las columnas
de la matriz identidad Ipnq que tiene determinante 1 y rango n. Esta base de Rn es
particularmente importante y se denomina base canónica, indicada con En. La base
canónica siempre existe para los espacios vectoriales Kn, pero para los espacios diferentes
de Kn puede que no tenga sentido hablar de base canónica.
Determinar si un conjunto finito de vectores es una base de un espacio vectorial es
equivalente a determinar si un sistema lineal con términos conocidos variables admite una
sola solución.
54 / 67

Teorema
Sea B una base de un espacio vectorial V sobre el campo K. Entonces cada vector v P V
se escribe de manera única como combinación lineal de un número finito de elementos de
B.
Definición
Sea B “ tv1, . . . , vnu una base con un número finito de elementos de un espacio vectorial
V sobre el campo K. Por el precedente teorema, para cada v P V existen únicos escalares
α1, . . . , αn P K tales que v “ α1v1 ` . . . ` αnvn. Estos coeficientes α1, . . . , αn son
denominados coordenadas (o pesos) del vector v respecto a la base B.
Fijado un vector y fijada una base, las coordenadas son univocamente determinadas, pero
cambian si se cambia la base.
55 / 67

Ejemplo
Sea V “ R2 y K “ R. Sea E2 “
"
e1 “
ˆ
1
0
˙
, e2 “
ˆ
0
1
˙*
la base canónica de R2 y sea
B “
"
v1 “
ˆ
1
2
˙
, v2 “
ˆ
´1
3
˙*
otra base de R2. Las coordenadas del vector v “
ˆ
3
´2
˙
respecto a la base canónica son α1 “ 3 y α2 “ ´2:
α1e1 ` α2e2 “ 3
ˆ
1
0
˙
´ 2
ˆ
0
1
˙
“
ˆ
3
´2
˙
“ v.
Calculamos las coordenadas de v “
ˆ
3
´2
˙
respecto a la base B. Buscamos α1
1, α1
2 P K
tales que
α1
1v1 ` α1
2v2 “ α1
1
ˆ
1
2
˙
` α1
2
ˆ
´1
3
˙
“
ˆ
3
´2
˙
.
56 / 67

continuación del jemplo
Se obtiene el sistema: "
α1
1 ´ α1
2 “ 3
2α1
1 ` 3α1
2 “ ´2.
Dado que B es una base, el sistema admite una sola solución:
"
α1
1 “ 7
5
α1
2 “ ´8
5.
que representan las coordenadas del vector v respecto a la base B:
7
5
v1 `
´8
5
v2 “ v
57 / 67

En el caso de los vectores numéricos, las coordenadas de un vector coinciden con las
componentes del mismo vector si y solo si se consideran las coordenadas respecto a la
base canónica.
Proposición
Sea V un espacio vectorial sobre el campo K y sea B “ tv1, . . . , vnu una base para V .
Entonces, para cada vector v P V , el conjunto tv, v1, . . . , vnu es un conjunto de vectores
linealmente dependientes.
Entonces una base es un conjunto maximal de vectores linealmente independientes en un
espacio vectorial.
Teorema (Teorema de la dimensión )
Sea V un espacio vectorial sobre el campo K. Si existe una base B de V que tiene un
número finito n de elementos, entonces cada base de V tiene el mismo número de
elementos de B.
58 / 67

El precedente teorema sugiere la siguiente definición.
Definición
Sea V un espacio vectorial sobre el campo K. Si existe una base B de V con un número
finito n P Zě0 de elementos (y ası́ cada base de V tiene n elementos), entonces se dice
que V tiene dimensión finita n. Si existe al menos una base de V que tiene un número
infinito de elementos (y ası́ cada base de V tiene un número infinito de elementos),
entonces se dice que V tiene dimensión infinita. La dimensión de V se indica con
dimK pV q o dimpV q si el campo esta claro en el contesto.
El espacio trivial es el único de dimensión igual a cero.
Ejemplo
Sea V “ Rn y K “ R. Dado que la base canónica Epnq “ te1, . . . , enu de Rn tiene n
elementos, entonces dimRpRnq “ n. En modo análogo se tiene que dimK pKnq “ n, para
cada campo K.
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Ejemplo
Sea V “ M2,3pRq y K “ R. Las matrices
E11 “
ˆ
1 0 0
0 0 0
˙
, E12 “
ˆ
0 1 0
0 0 0
˙
, E13 “
ˆ
0 0 1
0 0 0
˙
,
E21 “
ˆ
0 0 0
1 0 0
˙
, E22 “
ˆ
0 0 0
0 1 0
˙
, E23 “
ˆ
0 0 0
0 0 1
˙
,
forman una base de M2,3pRq, entonces dimRpM2,3pRqq “ 2 ¨ 3 “ 6.
En general, sea V “ Mm,npRq y K “ R. Consideramos las matrices
Eij “ pδkl q P Mm,npRq con i “ 1, . . . , m y j “ 1, . . . , n y con
δkl “
#
1 si k “ i, l “ j
0 en otro caso .
60 / 67

Estas matrices son exactamente mn y forman una base para Mm,npRq, entonces
dimRpMm,npRqq “ mn. En modo análogo se tiene que dimK pMm,npKqq “ mn, para cada
campo K.
Ejemplo
El espacio vectorial Rrxs, de los polinomios en la variable x con coeficientes reales, tiene
dimensión infinita.
Para el espacio vectorial Rrxsăn de los polinomios en la variable x de grado menor de n
con coeficientes reales, una base es constituida por t1, x, x2, . . . , xn´1u, denominada a
veces ”base canónica” para el espacio Rrxsăn. Por lo tanto, dimRpRrxsănq “ n.
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La dimensión de un espacio vectorial depende del campo sobre el cual se considera el
espacio.
Ejemplo
Sea C el campo de los números complejos. Podemos considerar C como espacio vectorial
complejo, es decir como espacio vectorial sobre el mismo campo C. En tal caso, una base
es cualquier número complejo no nulo, pues cada número complejo es un múltiplo
complejo de otro, dado que C es un campo, y ası́ dimCpCq “ 1. También podemos
considerar C como espacio vectorial real, es decir como espacio vectorial sobre el campo
R. En este caso, una base es dada, por ejemplo, por los números complejos 1 e i, que son
linealmente independientes sobre R, y ası́ dimRpCq “ 2.
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Teorema (Teorema del completamiento de una base)
Sea V un espacio vectorial de dimensión finita n sobre el campo K y sean v1, . . . , vk
vectores de V linealmente independientes, con k ă n. Entonces existen n ´ k vectores
vk`1, . . . , vn de V , tales que junto a los precedentes forman una base de V .
Il precedente teorema, afirma que siempre es posible escoger una base que contiene
vectores linealmente independientes ya considerados.
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Ejemplo
En este ejemplo veamos como completar una base. Sea V “ R4 y K “ R. Sea
$
’
’
&
’
’
%
¨
˚
˚
˝
1
2
0
1
˛
‹
‹
‚,
¨
˚
˚
˝
´1
3
1
2
˛
‹
‹
‚
,
/
/
.
/
/
-
un conjunto de vectores linealmente independientes de R4. Deseamos
encontrar una base que contenga los precedentes vectores. Se elija cualquier base de R4,
por ejemplo la base canónica. Se construye la matriz
A “
¨
˚
˚
˝
1 ´1 1 0 0 0
2 3 0 1 0 0
0 1 0 0 1 0
1 2 0 0 0 1
˛
‹
‹
‚,
con las primera columnas los vectores linealmente independientes dados y las otras son los
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elementos de la base escogida. Aplicando el algoritmo de eliminación de Gauss se obtiene:
A „
¨
˚
˚
˝
1 ´1 1 0 0 0
0 1 0 0 1 0
0 0 1 0 3 ´1
0 0 0 1 1 ´2
˛
‹
‹
‚.
Los vectores que corresponden a las columnas que contienen los pivotes de la matriz en
forma escalonada forman la base deseada. Entonces, en este caso, tenemos la base
B “
$
’
’
&
’
’
%
¨
˚
˚
˝
1
2
0
1
˛
‹
‹
‚,
¨
˚
˚
˝
´1
3
1
2
˛
‹
‹
‚,
¨
˚
˚
˝
1
0
0
0
˛
‹
‹
‚,
¨
˚
˚
˝
0
1
0
0
˛
‹
‹
‚
,
/
/
.
/
/
-
. Es claro que si en vez de considerar la base canónica
consideramos otra base para construir la matriz y aplicar el algoritmo de eliminación de
Gauss, entonces la base que incluye a los vectores iniciales sera diferente.
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El teorema del completamiento de la base afirma que si la dimensión n de un espacio V es
conocida, entonces para obtener una base es suficiente encontrar n vectores linealmente
independientes y estos son automáticamente generadores y ası́ una base para V .
Definición
Sea V un espacio vectorial de dimensión finita sobre el campo K y sea W un subespacio
vectorial de V . Entonces la codimensión de W en V es
codim
K
pW q “ dimK pV q ´ dimK pW q.
Teorema (Fórmula de Grassmann)
Sea V un espacio vectorial de dimensión finita sobre el campo K y sean U y W dos
subespacios vectoriales de V . Entonces
dimK pU ` W q “ dimK pUq ` dimK pW q ´ dimK pU X W q.
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Si los dos subespacios U y W son en suma directa, la precedente fórmula resulta
dimK pU ‘ W q “ dimK pUq ` dimK pW q.
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