VECTORES

1. PROGRAMA NACIONAL DE FORMACIÓN
INSTRUMENTACIÓN Y CONTROL
PROFESOR: JULIO C BARRETO G TRAYECTO I ÁLGEBRA
TEMA V: VECTORES UNIDADES ACREDITABLES I
ANTECEDENTES HISTÓRICOS
El álgebra lineal hace su aparición en la Matemática específicamente en el siglo XVII, con
trabajos de dos matemáticos franceses como lo son Pierre Fermat (1601-1665) y René Descartes,
pero debemos tener en cuenta que su estudio estuvo limitado hasta el final del siglo XVIII, al
plano y al espacio ya que la extensión a espacios vectoriales de dimensión 3n tiene lugar en la
primera mitad del siglo XIX. Giuseppe Piano (lógico y matemático italiano, 1858-1932) define
en 1888 de manera axiomática los espacios vectoriales de cualquier dimensión y Otto Teoplitz
(matemático alemán, 01/08/1881-15/02/1940), extiende a los espacios vectoriales más generales
sobre cuerpos cualesquiera, los principales teoremas del álgebra lineal.
El álgebra lineal ocupa un lugar importante en la matemática debido a sus aplicaciones a
diferentes ramas de la matemática y de la física, teniendo en cuenta que se adapta
particularmente al cálculo automático, de ahí la importancia que ocupa fundamentalmente en el
análisis numérico y en la investigación de operaciones. Por esto es de vital importancia que todo
estudiante a nivel universitario, debe adquirir el conocimiento básico del algebra lineal.
VECTORES Y EL ESPACIO n-DIMENSIONAL
Antes que todo llamaremos espacio n -dimensional n
R al conjunto de ternas ordenadas
a ),,,( naaa 21 donde naaa ,,, 21  son números reales.
DEFINICIÓN: Un vector es cualquier punto de n
R y, en general se designa con una letra
negrita ,,,,,, yxcba o también en mayúsculas por ,,, RQP (Los físicos los designan con
una letra y una flecha arriba como por ejemplo a

).
El opuesto de un vector a es el vector ,a que viene definido por
 a ),,,( naaa  21 .
El vector cero es el vector 0 dado por el punto ).0,,0,0( 
Se llama longitud, magnitud o módulo de un vector a ),,,( naaa 21 al número real:
a .
22
2
2
1 naaa  
Es evidente que a 0 y a 0 si y sólo si .0a

2. TEMA V: VECTORES
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 2 ÁLGEBRA
OPERACIONES CON VECTORES
ADICIÓN DE VECTORES
Dados dos vectores a ),,,( naaa 21 y b ),,,( 21 nbbb  de ,n
R la suma de ba  es el
vector definido por  ba ).,,,( 2211 nn bababa  
DIFERENCIA DE VECTORES
Sean los vectores a y ,b le diferencia es el vector ),( baba  donde b es el vector
opuesto de b el cual ya fue definido.
PRODUCTO POR UN ESCALAR
Si k es un número real y a ),,,( naaa 21 es un vector, el producto de un vector por un
escalar k a se define como el vector k a ).,,,( 21 nkakaka 
EJEMPLOS: Sean los vectores 2,0)1,( a y ).0,1,1(b Entonces
).1,1(1,1)1,020,(1(0,1,1)2,0)1,(  ba
).1,2,0(0)2),(1,(2,0)1,(  a
).1,3,(0)2,111(01,2,0)(0,1,1)( 1 ab
.5041(0)2)((1) 222
a
EJERCICIO: Dados los tres vectores ),,,( 625a ),,,( 782b ),,( 479c y el escalar
5k calcular: cbacbacbababba kkk ,,,,,),(,,, 
PROPIEDADES DE LOS VECTORES
La adición de vectores cumple con las siguientes leyes: Dados tres vectores ba, y c
tenemos que:
 1A abba  (Ley conmutativa)
 2A )()( cbacba  (Ley asociativa)
 3A Para todo vector a existe un vector nulo 0 tal que aaa  00 (Elemento neutro o
nulo de la adición)
 4A Existe un vector a para todo vector a tal que 0 )( aa (Elemento opuesto)

3. TEMA V: VECTORES
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 3 ÁLGEBRA
La multiplicación de un escalar por un vector cumple las siguientes leyes: Dados dos
vectores ba, y dos escalares 21 kk , en R tal que se cumple:
 1M akkakkakk 212121  )()(
 2M akakakk 2121  )( (Ley distributiva)
 3M bkakbak 111  )( (Ley distributiva)
 4M aa 1 (Elemento neutro del producto)
VECTOR UNITARIO
Se llama vector unitario a un vector u cuya longitud es igual a la unidad. En general, el
símbolo au servirá para denotar un vector unitario de la misma dirección y el mismo sentido que
el vector ,a diferente de cero. Es claro que tal vector unitario se obtiene al multiplicar a por
,
a
1
es decir, .
a
a
ua  Este proceso se llama normalización.
EJERCICIO: Verificar que en realidad el vector au es un vector unitario.
Recordemos que se dice que un vector a tiene igual dirección y sentido que otro vector ,b
diferente de cero, si para cualquier ,0k es .kba  En caso que se cumpla que ,kba  0b y
,0k entonces se dice que a tiene igual dirección que b pero sentido opuesto. En el primer
caso los físicos dicen que los vectores son paralelos y en el segundo que son antiparalelos.
Además, para que un vector quede unívocamente determinado es necesario tener su dirección,
sentido y longitud.
OBSERVACIÓN: Un espacio n -dimensional o también llamado euclidiano se clasifican
así:
1
R = espacio unidimensional, línea recta real.
2
R = espacio bidimensional, pares ordenados.
R3
= espacio tridimensional, terna ordenadas.
.......
n
R = espacio n-dimensional, n-adas ordenadas o n -uplas.
ESPACIO CON PRODUCTO INTERNO
Para encontrar el ángulo entre dos vectores distintos de cero usamos la fórmula:



 
vu
vuv(u
Cos φ 2211

4. TEMA V: VECTORES
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 4 ÁLGEBRA
Dados los vectores son  , uuu 21 y  , vvv 21 y donde 2211 vuvu  se denota
como producto punto o producto interno de dos vectores.
EJEMPLOS:
1) Halla el ángulo que forman los vectores )6,2,3(u y )1,5,4(v
Solución: Calculemos lo siguiente:
461012. vu
7493649|||| u ; 4212516|||| v
Luego,
427
4
||||.||||
.
cos 
vu
vu
.
Buscando con la calculadora el ángulo cuyo coseno es
427
4
, se obtiene el siguiente
ángulo:
º94,84
2) Halla el valor de a para que los vectores )5,1,2(u y )6,2,(av  , sean perpendiculares.
Solución: Para que sean perpendiculares, el producto escalar ha de ser nulo, por tanto,
0)6,2,).(5,1,2(  a  03022  a
Y de aquí se obtiene .a 16
El producto punto para n
R se denota nnvu...vuvuvu  2211 las propiedades
que cumple son: Donde c es un escalar y que wvu ,, son vectores cualesquiera en .n
R
1) uvvu  (Ley de simetría)
2) wuvuwvu  )( (Ley distributiva)
3)    vucvuvcuvuc 
4) 0vv  y 0vv  si sólo si 0v (El producto interno es positivo)
5)
2
vvv  (Definición de norma de un vector)

5. TEMA V: VECTORES
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 5 ÁLGEBRA
DESIGUALDAD DE CAUCHY – SCHWARZ
La desigualdad de Cauchy – Schwarz dice que | v |||| u || |v |u | donde v |u | es
valor absoluto de vu  donde u y v son vectores viendo esta desigualdad podemos definir el
ángulo entre dos vectores en n
R así:
vu
vu
Cos φ


Esta fórmula nos define ángulos entre dos vectores, si vu 0 se dice que los ángulos
son ortogonales.
LA DESIGUALDAD DEL TRIÁNGULO
Dice si u y v son vectores entonces || v ||.|| u ||v |||| u 
EL TEOREMA DE PITÁGORAS
Este dice si u y v son vectores entonces || v |||| u ||v |||| u 222
 solo para
vectores ortogonales.
¿Será cierto que: || v |||| u ||v |||| u 222
 ?
Dar una interpretación geométrica.
EJERCICIOS:
1. Dados los vectores ),,( 312 u y ),,,( 224 v hallar vu , y el ángulo que forman los
vectores u y .v
PRODUCTO VECTORIAL O PRODUCTO CRUZ
Sea  321 eee ,, una base ortonormal (ortogonal y con norma unitaria) dextrógira y los
vectores 332211 eueueuu  y .332211 euvevevv 
Se llama producto cruz o producto vectorial de u y ,v se representa por ,vu al vector
     
.cofactoreslosdeMetodos
matriz.unadetedeterminandeDefinición
3
22
11
2
31
31
1
32
32
321
321
321
312212311312332
e
vv
uu
e
vv
uu
e
vv
uu
vvv
uuu
eee
evuvuevuvuevuvuvu































detdetdet
det

6. TEMA V: VECTORES
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 6 ÁLGEBRA
     
.cofactoreslosdeMetodos
matriz.unadetedeterminandeDefinición
3
22
11
2
31
31
1
32
32
321
321
321
312212311312332
e
vv
uu
e
vv
uu
e
vv
uu
vvv
uuu
eee
evuvuevuvuevuvuvu































detdetdet
det
Las propiedades del producto cruz son: Sean los vectores ,u ,v w y un escalar c en los
números reales:
1.  uvvu  (Ley anticonmutativa).
2.   wuvuwvu  (Ley distributiva).
3.   cuvucvvuc 
4. 0uu
EJEMPLOS:
1) Calcula el producto vectorial de los vectores )3,7,1( u y ).4,0,5(v
Solución: Conviene colocar el primer vector y debajo de este el segundo:
 
 405
371
,,-v
, -,u


Luego,
35)11,28,(
05-
71
,
5-4
13-
,
40
3-7








 vu
2)Dados los vectores 6),1,(4,y v5)2,(3,u  halla un vector perpendicular a ambos y el
área del paralelogramo que determinan.
Solución: Un vector perpendicular a ambos es el producto vectorial:
6)1,(4,v
5)2,(3,u


Luego,
5)-2,7,(
14
23
,
46
35
,
61
52








vu
El producto vectorial puede obtenerse también desarrollando el siguiente determinante:

7. TEMA V: VECTORES
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 7 ÁLGEBRA
)5,2,7(527185832012
614
523  kjijikkji
kji
vu
El área del paralelogramo que determinan es el módulo del producto vectorial:
Área = 78)5(27|||| 222
vu
O bien, Área = 2
u78
3)Halla un vector w cuyo módulo sea 4 y además perpendicular a )1,0,2(u y ).2,1,3( v
Solución: Sabemos que el producto vectorial de dos vectores es un vector perpendicular a
cada uno de ellos, por tanto, )2,1,1(
1-3
02
,
32
21
,
21-
10
vu 







 . Lo dividimos por su
módulo para obtener un vector de módulo unidad: )2,1,1(vu  . Es perpendicular a u y a v.
6)2()1(1||vu|| 222
 ; 




 


6
2,
6
1,
6
1)2,1,1(
6
1
||vu||
vu
El vector unitario obtenido lo multiplicamos por 4 y obtenemos el vector buscado:







 





 

3
64
,
3
62
,
3
62
6
2
,
6
1
,
6
1
4w
VERSOR
Representación gráfica del versor asociado a un vector:
u

u u u
 
 
u
VECTOR PROYECCIÓN
Se necesita obtener la proyección del vector

a en la dirección del vector

b . Ello se
simboliza:
b
a

Proy
1
u u
u



8. TEMA V: VECTORES
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 8 ÁLGEBRA
PROPIEDADES
Sea ,Proy ax
b


 entonces verificar geométrica y algebraicamente se cumple que:
i. bx

ii.   bxa

 iii.   xxaa


EJERCICIOS:
1. Los vectores ,2kia  kjib  2 y kjic 22  están expresados en una base
ortonormal. Calcula: ;ba )( aca  y )..( baa 
Solución: kjiba  52 ; kjiaca 4108)(  ; 0).( baa
2. Demuestre que sí u y v son vectores cualesquiera, se tiene que
).()()( vuvuvu  2
3. ¿Es cierto que )()( wvuwvu  ? Para cualesquiera trío de vectores ,,, vu y .w
Falso: Sugerencia, use los vectores ),,(),,( 001001  vu y ).,,( 010w
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
 Anton, H. (1994). Introducción al Álgebra Lineal. Tercera Edición. Editorial Limusa, S.
A de C. V. Noriega Editores. México.
 Barreto, J. (2015). Introducción al algebra lineal con aplicaciones a los circuitos
eléctricos, al balanceo de ecuaciones químicas, a la investigación de operaciones y la
programación lineal. Colección de Universitaria. Volume 1. Spanish Edition. ISBN-
10: 1506029175. ISBN-13: 978-1506029177. Año 2015.
https://www.createspace.com/5230822
 Luís, González. (1981). Álgebra II. Universidad Nacional Abierta. Décima primera
reimpresión 2007. Caracas, Venezuela.
 Tom Apóstol. (2005). Calculus. Cálculo con funciones de varias variables y álgebra
lineal, con aplicaciones a las ecuaciones diferenciales y a las probabilidades. Editorial
Reverté.
 Serge Lang. (1976). Álgebra Lineal. Fondo Interamericano S. A. México D. F
Proy
b
a k b
 
a

b
a

Proyb b
