Solucion y rubrica Algebra lineal primera evaluacion -1 termino 2013-2014

1. SOLUCIÓN Y RÚBRICA
Primera Evaluación de Algebra Lineal
TEMA 1 (12 puntos)
Sea V  C 1 R  el espacio vectorial de todas las funciones continuas en el conjunto de
los reales R , que poseen primera derivada que es también continua en R . Se definen
los subconjuntos de V :
W  y x   V / y  x   2 y x   0
H  y x   V / y  x   2 y x   x
a) Determine si W y H son subespacios de V [8 PUNTOS]
b) Suponga que 1 ,2  H . ¿Se puede afirmar que 1  2  W ? [4 PUNTOS]
Solución:
a)
(i)
(ii)
W   , pues y  O( x)  W , ya que y x   2 y x   0
y   x   0  y ( x)  0
Sean y1 ( x) , y 2 ( x)  W entonces


y1 x   2 y1 x   0 y y 2 x   2 y 2 x   0 , sumando tenemos
pues


y1 x   2 y1 x   y2 x   2 y2 x   0 esto es


y1 x   y2 x   2 y1 x   2 y2 x   0
 y1  y2 ! x  2  y1  y2   0
Por lo tanto
y1  y 2  W
(iii)
Sean    y y( x)  W entonces y x   2 y x   0 multiplicando por
   , obtenemos
y  x   2 y x   0
Lo que equivale a
y  x  2 yx  0
Por lo tanto
y ( x) W
 W es subespacio vectorial de V

2. RUBRICA
DEFICIENTE
REGULAR
BUENO
EXCELENTE
Vacío o desarrollo incoherente, escribe la
definición de subespacio.
Escribe la caracterización de subespacio e intenta
aplicarla pero incompleto
Aplica correctamente la caracterización pero le
falta probar uno de los ítems o falla en alguno
Demostración correcta completa
0-1
2
3-4
5
iv) H  y x  V / y  x   2 y x   x no es subespacio vectorial pues no tiene neutro
de V , la función y  O(x) , pues y x   2 y x   0
y no cumple con
y  x   2 y  x   x
De otro modo
Supongamos que H es subespacio de W:
Si y  H, entonces y x   2 y x   x y también y  y  H, por lo tanto
 y  y ´ x  2  y  y x  x  0´ x  2 0x  x  0  x
lo que es una contradicción.
Por contraejemplo:
Sea y1 
1
1
1
1
x   e 2 x y y 2  x   2e 2 x están en H, pues y  x   2 y x   x
2
4
2
4
Pero para y1  y1 tenemos que y  x   2 y x   2 x .
RUBRICA
DEFICIENTE
REGULAR
BUENO
EXCELENTE
Vacío o desarrollo incoherente, intenta probar la uno de
los puntos de la caracterización de Subespacio.
Aplica caracterización en búsqueda de probar pero no es
efectivo.
Aplica contraejemplo pero están mal elegidas las
funciones
Demostración correcta completa por absurdo o por
contraejemplo
b) Suponga que 1 ,2  H . ¿Se puede afirmar que 1  2  W ?
Solución:
Si, se puede afirmar, pues:
Sean 1 ,2  H , esto es
1´ x   2 1 x   x
2 ´ x   2 2 x   x
0
1
2
3

3. Restando a ambos lados (operaciones en R)
1´ x  2 ´ x   2 1 x  22 x  x  x
Por algebra de funciones
1  2 ´ x  2 1  2 x  0
Por lo tanto
1  2  W
RUBRICA:
DEFICIENTE
REGULAR
BUENO
EXCELENTE
Vacío o desarrollo incoherente,
0
Aplica el concepto de que las funciones están en 1-2
H
Resta con intención de probar pero falla en algo
3
Demostración correcta completa
4

4. TEMA 2 (10 puntos)
Ratifique o rectifique las siguientes DEFINICIONES
DEFINICIÓN
RATIFIQUE O RECTIFIQUE
Se
dice
que
los
vectores
v1 ,v2 ,v3 , ,vn de un espacio vectorial
V son linealmente dependientes, si y
sólo si, al menos uno de ellos se puede
escribir como combinación lineal de
los n  1 vectores restantes
Sean V y W espacios vectoriales
sobre un campo K . Se dice que
T : V  W es una transformación
lineal si se cumple que:
:
v1 ,v2 V T v1  v2   T v1   T v2 
v1 ,v2 V T v1  v2   T v1   T v2 
Insuficiente
No realiza procesos
coherentes o deja el
espacio vacío, o sólo
califica la proposición
o pone ejemplos
0-1
Se dice que los vectores v1 ,v2 ,v3 , ,vn
de un espacio vectorial V
son
linealmente dependientes, si existen
escalares
no todos iguales a
cero, tales que:
Sean V y W espacios vectoriales sobre
un campo K . Se dice que la función
T : V  W es una transformación lineal
si se cumple que:
:
v1 ,v2 V T v1  v2   T v1   T v2 
Desempeño
Regular
Satisfactorio
Trata de confirmar
cualquiera de ambas
definiciones pero no lo
hace de manera
explícita.
2–5
Confirma
correctamente una de
las definiciones,
cualquiera de ellas,
pero la otra la plantea
de manera errónea.
6-9
Excelente
Planteamiento, cálculo
correcto y conclusión
adecuada
10

5. TEMA 3 (10 puntos)
Demuestre la siguiente proposición: “Si A  M mxn , entonces la imagen de A es igual al
espacio columna de A ”
SOLUCIÓN:
Denotemos la imagen de A como Im  A y el espacio columna de A como EC A .
Probaremos primero que Im  A  EC A y luego que EC A  Im  A .
i. Sea A  M mxn . Suponga que y  Im  A , entonces existe un vector x 
que y  Ax . Es decir
 y1   a11 a12
  
 y2    a21 a22
  
  
y 
 m   am1 am 2
n
tal
  x1 
 
  x2  .
 
 
amn   xn 
 
a1n
a2n
Ahora realicemos el producto de matrices indicado y démosle una forma
conveniente.
 y1   a11 x1  a12 x2   a1n xn   a11 x1   a12 x2 
 
  
 

 y2    a21 x1  a22 x2   a2n xn    a21 x1    a22 x2  
 
  
 

  
 y  a x  a x   a x  a x  a x 
 

 
 m   m1 1 m 2 2
m n   2m 1   m 2 2 
 a1n 
 a11 
 a12 






a21 
a22 
a
 x1 
 x2 
  xn  2n 









a 

a 

a 

 m1 
 m2 
 mn 
 a1n xn 


 a2n xn 




a x 

 mn n 
Observemos que y puede ser expresado como un combinación lineal de las
columnas de A . Por lo tanto, y  EC A , de manera que Im  A  EC A .
ii. Suponga ahora que y  EC A , entonces y se puede ser expresar como un
combinación lineal de las columnas de A , es decir
 y1 
 a11 
 a12 
 




 y2   C  a21   C  a22  
1
2
 


 



y 
a 
a 

 m
 m1 
 m2 
 a1n 


 a2n 
 Cn



a 

 mn 
Ahora realicemos las operaciones y démosle a la expresión una estructura
conveniente.
 a1n Cn   a11C1  a12C2   a1n Cn 
 y1   a11C1   a12C2 

 

  
 

 y2    a21C1    a22C2     a2n Cn    a21C1  a22C2   a2nCn 

 

  
 


  
 y  a C  a C 
 

a C  a C  a C   a C 
 

 m   2m 1   m 2 2 
m n
 mn n   m1 1 m 2 2
a1n   C1 
 a11 a12

 
a
a22
a2n   C2 
  21

 

 
amn   Cn 
 am1 am 2
 

6. Si decimos que
 C1 
 
C
x 2,
 
 
C 
 n
entonces y  Ax . Así y  Im  A , lo que prueba que
EC A  Im  A .
Por lo tanto, por i y ii, Im  A  EC A .
RUBRICA:
DEFICIENTE
Vacío o intenta escribir definiciones o escribe un ejemplo
0-2
REGULAR
Escribe definiciones de imagen y espacio columna de una 3 - 5
matriz, intenta escribir pasos de la demostración, pero no
sabe cómo trabajarlos.
BUENO
Escribe definiciones correctas y desarrolla una metodología 6 - 9
apropiada para la demostración pero no la completa.
EXCELENTE
Demostración correcta completa
10

7. TEMA 4 (14 puntos)
Califique como verdadera o falsa cada proposición que se enuncia a continuación.
Justifique su respuesta.
a) Sean H y W subespacios de un espacio vectorial V . Si V  H  W , entonces
V  H  W [7 PUNTOS]
FALSO.
Sea V= ℝ2 y sea H = { v ϵ ℝ2/ v = ( x, 0 ); x ϵ ℝ} y W { v ϵ ℝ2/ v = ( 0, y ); y ϵ ℝ}.
Por definición:
H⊕ W { v ϵ ℝ2/ v = h + w; h ϵ H y w ϵ W}
Esto es: v = ( x,0 ) + ( 0,y ), así se puede escribir a todo vector de ℝ2. Mientras que la
unión de H y W tendría a vectores de forma ( x, 0 ) o (0, y), lo cual no es ℝ2.
Desempeño
Regular
Satisfactorio
Insuficiente
No realiza procesos
coherentes o deja el
espacio vacío, o sólo
califica la proposición.
Trata de explicar la
calificación correcta de
la proposición pero no
lo hace de manera
convincente.
0-1
2-3
Confirma
correctamente la
proposición, pero el
contraejemplo no es
bien sustentado.
Excelente
Planteamiento, cálculo
correcto y conclusión
adecuada
4-6
7
b) Sean v1 ,v2 ,v3 vectores de un espacio vectorial V . Si u1 ,u 2 ,u3 son linealmente
independientes y son, respectivamente, los vectores coordenadas de v1 ,v2 ,v3 respecto
de una base B de V entonces dim V  3 [7 PUNTOS]
VERDADERO.
Suponga que la dimensión de V sea igual a 2. Es decir B una base de V, con:
B = {w1,w2}. Esto es:
u1=[v1]B =( a1, a2 ) ; u2=[v2]B =( b1, b2 ) ; u3=[v3]B =( c1, c2 ), esto implica que:
{( a1, a2 ) , ( b1, b2 ) , ( c1, c2 )} es un conjunto linealmente dependiente contradiciendo
la premisa.
Por otro lado si se considera que:
u1=[v1]B =( a1, a2, …an) ; u2=[v2]B =( b1, b2,…bn) ; u3=[v3]B =( c1, c2, …..cn), y por
hipótesis, el conjunto:

8. {( a1, a2, …an),( b1, b2,…bn),( c1, c2, …..cn)}
Es linealmente independiente, por lo se puede concluir que la dimensión debe ser de al
menos 3, ya que tenemos tres vectores linealmente independientes, formados con n
elementos.
Insuficiente
Desempeño
Regular
Satisfactorio
No realiza procesos
coherentes o deja el
espacio vacío, o sólo
califica la proposición.
Trata de explicar la
calificación correcta de
la proposición pero no
lo hace de manera
convincente.
0-1
2-3
Confirma
correctamente la
proposición, pero el
contraejemplo no es
bien sustentado o la
generalización no es
correcta.
4-6
Excelente
Planteamiento, cálculo
correcto y conclusión
adecuada
7

9. TEMA 5 (14 puntos)
Sea el espacio vectorial real V  M 2 x 2 . Sean los subespacios de V :
 a b 

H1  
 c d   M 2 x 2 / c  2a  b  d  a  b 




 1  1  2 2 
 ,

H 2  gen 

 

 5 1   2 1 
 a b 

  M 2 x 2 / a  3c  8b  5d 
H 3  


 c d 

a) Encuentre una base y determine la dimensión de H1  H 2 [5 PUNTOS]
b) Determine si H1  H 3 es un subespacio de V . Justifique su respuesta [4 PUNTOS]
  8  5
c) ¿ 
 19 4   H 2  H 3 ? Justifique su respuesta [5 PUNTOS]



SOLUCIÓN:
a)
por lo tanto

10. 

b)

Si se reemplaza en
la condición de
a=3(2a+b)-8(b)-5(a-b)
es un subespacio vectorial de
c)
, se determina que


11. El sistema tiene solución
Literal
Grado de cumplimiento
Puntaje
Deja el literal vacío o escribe incoherencias
a
b
c
0
Determina las bases de los dos subespacios
Plantea correctamente el sistema de ecuaciones pero comete errores de
cálculo
Plantea y resuelve correctamente el sistema de ecuaciones,
encontrando la intersección de los subespacios pero no define la base y
dimensión de la intersección
Plantea y resuelve correctamente el sistema de ecuaciones,
encontrando la intersección de los subespacios, base y dimensión
Deja el literal vacío o escribe incoherencias
Sólo plantea la unión de los subespacios
Plantea la unión de los subespacios pero determina que la unión no es
subespacio
Plantea la unión de los subespacios y determina que sí es subespacio
Deja el literal vacío o escribe incoherencias
Expresa la suma como el espacio generado por la unión de los dos
subespacios pero no resuelve el sistema
Resuelve el sistema pero no concluye si la matriz es elemento de la
suma
Resuelve el sistema y determina que la matriz es elemento de la suma
1
2-3
4
5
0
1
2-3
4
0
1
2-3
4

12. TEMA 6 (10 puntos)
Sea f : R 2  R 2 una función con regla de correspondencia:
 x   2x  y 
f 
 y  y  x 

  

a) Pruebe que f es un operador lineal en R 2 [4 PUNTOS]
b) Suponga que a cada punto de la recta definida por la ecuación 2 x  y  4 se le aplica
el operador f . Encuentre la ecuación del nuevo lugar geométrico y grafíquelo
[6 PUNTOS]
ℝ
Sean
y
entonces:
ℝ
ℝ
Criterio
Demuestra correctamente uno un axioma de la definición de
transformación lineal
Demuestra los dos axiomas de la definición de transformación lineal
Suponga que a cada punto de la recta definida por la ecuación
y
se
le aplica el operador . Encuentre la ecuación del nuevo lugar geométrico y
Grafíquelo (6 puntos):
ℝ
siendo la recta con ecuación
y
, entonces:
Por lo que la ecuación paramétrica de la imagen de la recta estará dada por:
y
Puntaje
2
2

13. Al despejar el parámetro en ambas ecuaciones e igualarlas, se tiene que otra
representación de la imagen de la recta está dada por:
y
Criterio
Expresa un punto cualquiera P de la recta dada en términos de un
parámetro
Aplica la transformada dada al vector OP
Expresa, ya sea en forma paramétrica o en la forma general, la ecuación de
la recta
Grafica tanto la recta dada como la imagen de la recta
Puntaje
1
2
1
2